2000年全国初中数学联合竞赛试题及答案

200。年全国初中数学联合竞赛试题2000年全国初中数学联合黄寡试卷第一试(&月2日上午8：30 9:30)一、选择题(本题满分42分，•小题『分］K计算6一血二6V5的值是C).U)1；5)3⑹之凡(D)5Hx_y6,i-15y4jt3-5^y+6y2人若3了2^-5yx,则解二一十3"的值是㈠.9 932,(,b)4；fc)5s(D)6。力+1a1+13、设应门是不相等的任意正教，文二‘ 。，则礼尸这两个载一定C).CA)都不大于2(B)都不小干2f(C)至少有1个大于2；(D)至少有L个小于2.4、正整数月小于1M并满足等式f.其中国表示不超过/的最大整数，这样的正整数”有《1.(A)2个I(B)3个：(C)个।(D)16个.5、已知一个梯形的四条边的长分别为h2s，4,则此梯形的面积等于().役?是实数，二次函数J=♦―4乂_P的图象与X轴有两个不同的交点H(40),9(七，0).⑴求证；2网+岩+3P>0；(2)若A'间的距离不超过120-3|,求p的最大值.二、(本题满分25分)EFCH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为且NBEG与NCFH都是锐角.已知EG=",FH=’,四边形EFOH的面积为S..q2ssin6=—(1)求证， «s(2)试用”/S表示正方形AKD的面积.三、(本题满分25分)设关于戈的二次方程&一6*+8卜+(26-6E—4〃+上=4的两根部是整数，求时足条件的所有实数点的值.第一试试题答窠―、。、(C)；2>(A)s3、(C)：4、(I))s6、(D)；6、(5)-二、L20；2、1553、4;4、&也,第二试部分试题答窠三」*吟2005年全国初中数学联赛初赛试卷及答案3月25日下午330—4:8或3月26日上午9,00-11；»一、选择甩：(母小苞。分，共计42分)b若小b为实牍，则下列命肢中正确住)是( )(A>a>b=>r>b:iB)a*b=^a^b?:(Qi|>b=^a:>b;:(D)a>|b=a>b?2s己科Z>-e3,不5r：=3，则。口.ygfos的值是( )(A)O (B)3 (02?施 (D)3小8S3、有-粕型域是由若干坟黑白和IBJ的牛嫡创而成，黑火为正五边形，白皮为正六边形，(如图).如只缰制好的这种足球寰皮有12快・则白皮有C)快.(A)16 (B)18 (C)20 (D)224、在KtAABC中，料边AB=5,而宜用边EC、AC之长是一元一次方程Y—(⑶-一U二0的两根.0Jn笆值是()(A)4 (B)-1 (C)436-1 (D>-4或1，在巨角坐标系中,慢义行邪忌整放臼点称为整疝，设工为整燹•当直线・.f-3与尸的交点头:整数时.k的道可以取()(A)2个5>4个(C)6个⑸8个TOC\o"1-5"\h\z6、如都自爱x-1是二次函数bax'Er的图像的对即铀，贝雨( )(A)a-t>*c=O(B)b>a*c(C)c>2b (D)abcVO二、螃题：(巴小题7分，共计28分)I) 2..b已知！x为三而实造,且/+xF・a.朋上士■.x2、已知a大23且使关于工的二法万程S-a、-a=0有尖衣，则宓万程的根x所能取日的最大值是 .3sp是⑥。的直运的的延长笈LL一点，FC与④。相切于点C,NAK的角平分蔑交M于Q，刘NFQC-.4>对于一门自然数如如果毙找5!自然教会和b・更叩a+b+犯川称「为一个",好数”.例如:3-卜1+1X1,则3是一个《好数”，在1。20这20个臼魅，中，・好数”共有_个.三、(本题满分20分)设A、B是抛物线、=?不7宜一2上的点•原点忖于线段AB的中点.处。波末A、B曲我的坐标.四、(本酬分25分)如回,AE是◎。的百役.A^d.过A*o0的切线并在H上取一点：C，审AC二AD，伟结0C叫。。千点工，DD的见长线交AC于&求AE由长.五、(本题满分25分)设x-a*b—c,尸a+c—b,*b+c—a>H中a、b、c是得定的物软，如果占了，石-W码试求fhbc的用有可能的包参考解答及评分标准一、选择题（每小题7分，共计42分）LD2sB3、CLD2sB3、C4sA6、C二、埴空题（每小题7分3共计28分）lxae-23x454、12三、解」..原点是线段AB的中点n点A和点B关于原点对称设点Alxae-23x454、12三、解」..原点是线段AB的中点n点A和点B关于原点对称设点A的坐标为设b）5则点B的坐标为（―a>-b） 5分又AsB是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得:b=2a2+4a-2-b=2/-4a-210分解之得：a■1,b-4或者a--1sb--415分故A为(1,4),B为(-1,-4)或者A(-1,-4),B(1,4).……20分解：如图连结AD,贝lJ/l=/2=N3=/4/.△CDE^^CAD.T-lT+lCDCA 三. =—— ①2 2DEAD又•「△ADEsZiBDA.AE_AB

"DE"AT10分由①、②及AB=AC,可得AE=CD15分…20分又由△CDEsdCAD可得也=空，SPAE…20分设AE=xg则CE=d—x9于是x;=d(d—x)却有虹=太=也二IdC负值已舍去） 25分2解？a+b—c=x,a+c—b=％b+c-a=z,.-.a=—(x+y)b=—(x+z)c=i(y+z)又「y=x2,20052005年全国初中数学联赛决赛试卷及答案-X皆拧市』福融-守，共书守]、化荀,——lh5工为正事数，且3^+疗=巴乐lh5工为正事数，且3^+疗=巴乐t的餐小值,■H小外见就3-相-驰我A而拜海班正缄CEk用款或国，务泅戛边长值故为：、至II,』叫运/四也弟的血稚史A..7BjS-.57?6如D-102工设田4,i=l--l-Tfr=-5=--4=.:㈤ &<f+l胤卜到古式一目艮立的把A.a>b>eB.i&osC.oa>bd&b>s4图申国三中爆零座分出两个半径为1的酸具外创瞬冷翻而腾如删刊«一取阴晶的面相等于上下面块面粗之和，巾除呷陋央共3-A.亨氏室&内二一.口、|Jl6-?tJTOC\o"1-5"\h\z三，己中二沈口史gi=*\,♦>+用图落5H国口不， -4£p=,工-b+r+上i+罔+q=arl-b+ei-2a-k皿 .A,-：p〉qE：p=qCpy口,p-q大中关茶不能福蜜 /丁-0/|I7*心若卬>]■■11M也河互不相尊由正有蒙,#(£{2005—1-X2005—x^(2W5-if.K1005-3(3005—即=9QW©京+^+3；+zj由末位率字呈 .&13,JGiD.7—墉审&:关祥丹-1.不想过1*的自子萨*,将R*t式：刑怩耕的密相用，耳和为__.为 Sttl3=7h>胴x=__□丸商潮*泮艮帚*普"W*备司.则工+产-一事已知铲通二的二个工国启E,C褥旦IA>B>G国I/不菖D.B-c以坂箕“一人中5型小君，如z用最分值为.三骅若置，:第L?；：1G,零二5?等算分)1.a：th ar«k且也#1^11+>^=11,it弭一无二14方程ai：+艇+u=0啊K：；：而■,卜子1的福口-11：蚓WA**申.AB>AG6EE勺料是AB、AC屯上由三，口口除EC由西里HEE于F.交CA的延长嵯于F，过E作BC的姜疣，交B于G交EAffi辿i£蛙于5证画B€.D:.FG?QE*W1i桐宝干-鬲一、浅修孰.自适7分，共42分）4+如+50企的结果呈一_•M无理教D、白分钝Cs6叔D、任数1一+3一二[+14十柳+30心3-依-4。64+^50+274^+93-我] - 1一1 + ]=?-5卧7+50二』O+5/+33一蛾+47+5虎7-5aJ5 '^-50所I烛D2、展风晒条边长lh上为5、161114：则这个四边形的山枳为一.A.78.5以97.5C、03D.1021?!3题靠得？5:+W-2X6X14Xco8a=lQ'+l/-2XlOXllXeB《⑶。一。)221"UOcosQ=221+220cosa丁・—a・。・•・a=S0v•••四逗形的有四为15X7+5X11=90成立的是 ・A.6>b>cB>b>c>oC、c>i>bD、c>b>a军:去卜用特值法.单厂4,则有I1 1 .=1—65-2J5_2(5-2^/51।Q36"干药'b^"V=_ic=-5o-、Fr'.1 S-25心-2)118L万丽"4"一一何而.*.c>b>tu选D窜*Za---—77-- .r尸+1r(r+l)卜.1_/.-6b了c=-j1/K4r+Jr+1)乩因为mx.,Xi*Xrx.为互不怕等的正音数，fHU(2OT5-x；)\(2CO5—x：)、(30)5-2、(3006-xJ、(3005-x力为互不相筹的僧城而侑24：分解为5个互不相等的偶覆之根.只有鞋一的形式;24:=2・(-2)Y-6・(f)所以(285一士)、恸05-*：)、(2005-xi)x(2O0S-x<).——xj分别等于2、卜2)、4、6、(-£)所以(28S-xJ4ia»5-x：y+(2M5——)斗(200S-xJ4(M05-x：)2=2:+(-2)'+4叶^十(P)：=?6展开得।5・2005:U01Q(NL±^rj+x|+x/+k；r：+x：+x；tCj：=96..n；/；乜：+k；+s，96520052-K010(s]-^3-^3+:^^5-l(mod10\选A二、加空割f共28分)1、不超过ICO的自然数中.将凡是3或5的信数的敷伯;U，其加为一.Si(3X1+9X2+ 3X33)+(5X1+5X2+ 6X20)-(16X1+15X2+ 15X6)=1683+1053-315=24182、店Y+9xH3+gJf+13=7x,则x=•W.分子有理化幡. 吆J =7%,十曲13-V7x-5x+13Vx*o,・•・/7/+9川3J7lf+I5=Z即&i+以+13=力£-5H13+2西边¥方化司得，7--2=2加72+13再平方代前得：21zJ-2z-48=0r解之得刀=与或"V造为&若般X、y#昆则*.y=——'解决It跟设x+y=a,JTI]y-a"X..(于+63|x+伊+43)(丁制=优+63)|才+4)即(63-#"+(3'+『)0二(3Y+才4.+3$.6$+1.6‘(1)...+©)一(夕+巧(ar)-.+6*)().即(62-43|大+(53+4。咤|5邛+5'.甲+5363+，.63⑵(2)-⑴的|55-/|a=(53)<(33|2+|53-33)-4^|55-33)^：.0=一十一十乙十6三432解法2,金吐R是关于舶方程以+备.的两艮化简甭，/-(x+y-f-Gk-iG'x+Ty-d6*)=0由韦达定理得3+5'=x+y-矛-6、中=?+4、5，+6、4324、已知$2用三1分形A3的三个内角A、B、C湎足，A>E>C,用.表示A-D,D-C以及90*-A中的撬小看，则a的炭大伯为・解；v8=mg{£-B.5-C.90'-4la<A-B,a<B-C.a<90Q-A..6aM2(H—2)+12—，।+3(90°—工)三2700一(d十8+C)w90°d415°另一方面，/4-B=B-C=9C|O-n=1$«4,有月・75。田・60。,(7・41满足®长条件.故团型吗最大值15。三.柒管超孱二道R分.繇2,3m各25分)a、b、c为英型•ac<C0*且J5b+^/^C=[l•Ui甑：一兀二次方程ax'+bx+LO仃大于7而小于1的根.4Fl谈了1X1 +&T+C(9 3.一(9 3.一a十一匕十亡1164="(%+IZb+l6c)(o+6+0•・・内园倔"b=一电限3-电3-标©33，94+12b+16c)ia+〉+ci=9a3-电3-标©33=[(四一回-/⑴<0「•一元二次方程ax-c=。有大干1而小干】优根.2、说用AAEC中，zD>AC.CD、BE分别是好、KC边上时高.DE与8的廷长蛀子交于T,过。作K的堂续交鸵于F,过EfFK的全密CD于C,证明.八G,T三点共线.证法力设过。、£的基经分别交B2于乐N.在RtABEC与RtAED?中.由时号定理得，CE'=Cn・CB，B5;=BH-K,空C蜃・'赢.奇又RtGCNsRy^ocB,R12XBX?sr<△bEC,月方 CR••.皿=_.CN9FMBMCD BE.GNBDBECNBDBECB^BEC£|h•市二CDCR赢=8”而二眄81在RgBEC\艮必函中,由面积关系如BE•i^=Hn-X.BD-CP=LJI-K.BECS.KN_TN•，BD8二询=求J由⑴⑵得，—=—AG、三点关线FMTM证法2：设CD、耗相交千点为口H为△烟的电、记DREG就与BC的交点分a为匕N、R•••「War〃ex.DF_AH_EG一初一丽一丽

DMEN.GNSNm出台比定理得，，故孔。后点关纥DMEN.GNSNm出台比定理得，，故孔。后点关纥值法3,在△/□«：中.白线PET分别交D，CA、AD于T、E、D,虫鹿涅劳斯定理器,BTCEAD 小 =1G)7VE4DB设CD、FE相交于f?H,则H为△诋的幸心,AM1BC・.・DfJ_9C、B11BC二山〃DF〃EC.CSCGADKP八r-BTCGHP,•・—,.—,—.R人(1i仔 ,1EAGMDBPB TCGHFB国修左劳方定理的逆定理得：-G>T三点共为了证明F、&T二点共线,只爬证或 = 即可FM0W一DP二*3二期B尸dnN四&-BD-乙APR而一口但•飞BMBR$mKB"市anNCBEBQ 3cgCGsm乙SCOCEsmZZCPON=工谢=\CNCG^/LBCD=CN'3mspBDBCCSBCX—=—,■ =—B武BDCNC8.DP_&C^ZABEEG_BC^AACDf,"BD^nZCSE9557"CE^XBCD•.'CD1AB.M-LCA..*.BD、E、C四门其IE.'.ZABE=Z/CD (2)又———————・SDsinZCjBff=CEsm£BCD$mZ5CDstnZC5S将⑵⑴代入《1)得.得■瑞,徐「G、TM共仇3.Rsb.c为正空数・fia,+b'=cS求c的8M•,生军：显然c>1.由题设将:(c:-a)(<?,*•)-bl2007年全国初中数学联赛决赛一试试题及答案第一试一，选择题(本题满分dZ分，每小题？分)本题共有6小题，每题均洽出了代号为周尻GD的四个答案，其中有且仅有一个是正解的.将你所选择的答案的代号埴在题后的括号内,每小题选对得7分二不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内3一律得。分.TOC\o"1-5"\h\z1.已知三乂=满足2二3二工，则至工的值为( ：近y-n十五 y—⑷1. (B)L (C) (D)3 3 2【答】B.342 3 5码o35工一/ 一3114、上解由—— - 得y—3x,z——x1.所以 - ——9馥齿xy-z 2 尸十223工+3工3(B).注:本题也可用特殊值法来判断.2.当了分别取值一^,—1—f^―,…，-rL2,…=2005,2006f2007200720062005 2时，计算代数式上W的值，将所得的结果相加，其和等于 ()1+/(A)—1.(B)1.(C)0.(D)2007.【答】C.TOC\o"1-5"\h\z।_（1）2 2 ] 2解因为一A+匕±=勺二+七勺=0,即当k分别取值1，〃（盟为正

i+d）Q1+/力+ii+用 n整数,时，计算所得的代数式的值之和为他而当穴=1时，二=0•因此，当工分别1412取值」一，」一，」—一♦•,-91,2,•••,2005,2006,2007时，计算所200720062005 2得各代数式的值之和为0.故选（c）.b jtj.设风瓦c是△43C的三边长，二次函数y=（a--）/-ex-4—在x=1时2 2取最小值-三儿则也儿?。是5（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（A）等腰三角形.（B）锐角三角形.（C）钝角三角形.（D）直角【答】上蟀由题意可得，2Q-5)b蟀由题意可得，2Q-5)b2———C-2=1一3 4所以c=-b।a=—b5 5因此〉+1=*,所以△刃&C是直角三角形.故选（D）..已知锐角△力5c的顶点/到垂心长的距离等于它的外接圆的半径，则N月的度数是（

（A）30°. （B）45°. （C）60'. （D）75°.【答】C.解锐角△/BC的垂心在三角形内部，如图，设△为87的外心为O,O为BC的中点，3。的延长线交。O于点连CE、AS,则CEl/AH.AE//CH,则03= =CE=20D,所以N050=30°,SOD=60°,所以/月=/8。。=60°.故选（C）.5.设M是△幺BC内任意一点5区KAB、丛KBC、△Q4的重心分别为。、E、尸，则SaOHF：SzLABC的值为TOC\o"1-5"\h\z,、2 ,、4 ,、2(A)(B)-. (c)-. (B)(A)9 9 3【答】A.解分别延长松、KE、KF,与的三边3、BC、C4交于点"、N、P,由于0、E、「分别为△"?、△KCA的重心，易知肱、N、尸分别为43、BC、匕4的中点，所以%^易证△。即s△MbJP,且相似比为2:3,所以'△D8F-=§'彳观丽=g$AABC・所以S△万F：SuBC1=§•故选（A）.6.袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）d十/十3ab—十力）（02—就十｝?）+=a2-Gb+b"十3ab=（a+=1.2.对于一切不小于2的自然故万，关于了的一元二次方程--5+2）了-2/二。的两个根记作乐也（ «>2 ） ,则1 1 1 1003 十 十•一十 - （町一2）（々一2）（与一2）（与一2） 加,一2）（小如。］一2） 4016.解由根与系数的关系得即+包=??+2,%・旬=-2/,所以⑸-2）仇-2）=a&-2（即+与）+4=H-2（府+2）+4=-2双〃+1）,nil111/1、则 = ）,-2）的一2） 2«（«+1） 2H«+1111

+ +•••+ -2）电-2）（a5-2）（4-2） （电08-2）（“8-2）iri111 ,1 11111、ioo32923、34， 、20072008J 2、22008， 40163.已知直角梯形为38的四条边长分别为/E=2,BC=8=10,/〃=6,过B、D两点作扇，与胡的延长爱交于点E,与CE的延长线交于点斤，则郎-赤'的值为4 .解延长8交€>。于点G,设8区£>G的中点分别为点M,然,则易知川0=ZW.因为BC=3=10,由割线定理，E（一"易证BF=DG，所以\.?<LZ_BE-BF=BE-DG=21BM-即=2(BM-AM)=2AB=44.若1。0。+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数。的值是17解设1。帖+64=/,201日十64二/“则32M掰小410（h两式相诚得1010=/-加二（篦十㈤（用一㈤，因为101是质数J且-101＜柱-掰＜1019所以用+班=1CH,故"=加—极=2月—101.代入201a+64=«a,整理得笛一402〃+20237=0,，解得将=59,或理=343（舍去）.所以曰=-101=17.2007年全国初中数学联赛决赛第二试试题及答案第二试CAO一、（本题前分2。分）设物,用为正整薮，且用芒2,如果对一切33处3二次函数y=d十（3-相£）x-3耀士的图象与x轴的两个交点1间的距离不小于磔十%求林，君的值.解因为一元二次方程/+（3-科£）茁-3掰£=。的两根分别为部£和一％所以二次函数;F=#+（3-丽）“3修£的图冢与方轴的两个交点间的距离为何十3卜由题意f 院+甘之桃+对，即（第f+尹士⑵+用尸，即。?/一十（6厘一4吊）匕十?一/0.由题意知，耀4#0,且上式对一切实教上恒成立，所以w2-4＞0,A-（6.—4羯产-4（加-4）＜9一『）＜0,

2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午8:30—9:30、选择题:（本题满分42分，每小题7分）1、设a2+1=3a,b2+1=3b,且、选择题:（本题满分42分，每小题7分）1、设a2+1=3a,b2+1=3b,且awb,则代数式579112、如图，设AD,BE,CFABC的三条高，若EF=3,则线段BE的长为（(aY42125244+4的值为（a2 b23、从分别写有数字1,2,35的5张卡片中任意取出两张，把第(D)(D)一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则TOC\o"1-5"\h\z所组成的数是3的倍数的概率是（ ）（A）- （B）— （C）2 （D）-5 10 5 24、在^ABC中，/ABC=12°,/ACB=132°,BM和CN分别是这两个角的外角平分线,且点M,N分别在直线AC和直线AB上，则（ ）(A)BM>CN (B)BM=CN (C)BM<CN (D)BM和CN的大小关系不确定5、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价 10%或20%,若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为 r,则r的最小值为（ ）(A)(9)3 (B)(9)4 (C)(8)56、已知实数x,y满足(x-^X2008)(y-Jy22008)=2008,则3x2—2y2+3x-3y—2007的值为( )(A)-2008 (B)2008 (C)-1 (D)1二、填空题：(本题满分28分，每小题7分)51同a5a42a3a2a21、设a= ,则 3 = 。2 a3a2、如图，正方形ABCD的边长为1,M,N为BD所在直线上的两点，且AM=75,/MAN=135,则四边形AMCN的面积为

3、已知二次函数y=x2+ax+b的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为 m,n,且|m|+|n|<1。设满足上述要求的 b的最大值和最小值分别为 p,q,则|p|+|q|=。4、依次将正整数 1,2,3,…的平方数排成一串： 149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是。答案： B、D、C、B、B、D;-2、5、1、1。TOC\o"1-5"\h\z2 2解答：一、1、由题设条件可知a2-3a+1=0,b2-3b+1=0,且a丰b,所以a,b是一兀二次方程x2-3x+1=0的两根，故a+b=3,ab=1,. . 2 2 2 2因此工+2=0_^_=(ab) 2ab=321=7，a2b2 a2b2 (ab)2 12 '2、因为AD,BE,CF^AABC的三条高，易知B,C,E,F四点共圆,于是△AEF^AABC,故"=空=3,即cos/BAC=3,所以sin/BAC=4。ACBC5 5 5在Rt^ABE中，BE=ABsin/BAC=6X4=24；5 53、能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个，其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个，所以所组成的数是3的倍数的概率是-8-=Z；2054、・./ABC=12°,BM为/ABC的外角平分线，・./MBC=1(180-12°)=84,°2又/BCM=180°-ZACB=180°-132°=48°,，BCM=180°-84°-48°=48；..BM=BC,又/ACN=1(180°-ZACB)=-(180T32)=24,°/BNC=180—ABC-ZBCN=2 2180°-12-(ZACB+ZCAN)=12=ZABC,•.CN=CB,因此，BM=BC=CN;5、容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况。设5种商品降价前的价格为a,过了n天，n天后每种商品的价格一定可以0<k<n,表示为a?(1-10%)k?(1-20%)nk=a?(—)k?(—)nk,其中k0<k<n,10 10要使r要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为:a?(—)i?(—)ni,a?(—)i+1?(-8)ni1,10 10 10 10a?(—)i+2?(—)ni2,a?(—)i+3?(—)ni3,a?(—)i+4?(—)ni4,10 10 10 10 10 10/9、i4/8、ni4a()()其中i为不超过n的自然数，所以r的最小值为 10 10 =(_)4;/9\i/8、ni8a(一)()

10 10-■^2 2 2 20086、.•(x7x2008)(y-Jy2008)=2008,•.x-Jx2008= y,y22008“2008,y-Jy22008= 2008 =x+收2008,“2008,' x x22008由以上两式可得x=y,所以（x-尿2008）2=2008,解得x2=2008,所以3x2-2y2+3x-3y-2007=3x2-2x2+3x-3x-2007=x2-2007=1;1>.a21>.a2=(Al)2=3_J5=1

2 2-a, a2+a=1,原式=a3(a2a)2a3(a2a)2

a(a21)3 3 3 3a2a12_1a_3 3 3 3a2a12_1a_1a= ~=a(a)a1a-(1+a+a2)=-(1+1)=-2；TOC\o"1-5"\h\z2、设BD中点为O,连AO,则AO，BD,AO=OB=诋，MO=JAM2AO2=3^-2，2 2MB=MO-OB=夜。又/ABM=/NDA=135°,/NAD=ZMAN-ZDAB-ZMAB=135°-90―MAB=45°-ZMAB=ZAMB,所以△ADNs^mba,故处=型，从而DN=JAD?ba=1-X1=叵,根据对称性可知，MBBA MB.2 2四边形AMCN的面积S=2SAman=2LxMNXAO=2-lx(且+五+&)虐=勺；2 2 2 2 23、根据题意，m,n是一元二次方程x2+ax+b=0的两根，所以m+n=-a,mn=b。-.1|m|+|n|&1, |m+n|<|m|+|n|&1,|m-n|<|m|+|n|&1。.•方程x2+ax+b=0的判别式^=a2-4b>0,b<—=-(m~—)-<—。4 4 44b=4mn=(m+n)2-(m-n)2>(m+n)2-1>-1,故b>—,等号当m=-n=—时取\o"CurrentDocument"4 2得；4b=4mn=(m+n)2-(m-n)2<1-(m-n)2&1,故bJ,等号当m=n=1时取得。4 2所以p=1,q=--,于是|p|+|q|=1;4、12到32,结果都只各占1个数位，共占1毛=3个数位；42到92,结果都只各占2个数位，共占2X6=12个数位；102到312,结果都只各占3个数位，共占3X22=66个数位；322到992,结果都只各占4个数位，共占4X68=272个数位；1002到3162,结果都只各占

5个数位，共占5>217=1085个数位；此时还差2008-(3+12+66+272+1085)=570个数位。3172到4112,结果都只各占6个数位，共占6X95=570个数位。所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是4112的个位数字，即为1;2008年全国初中数学联赛2008年4月13日上午10:00—11:30第二试(A)一、(本题满分20分)已知a2+b2=1,对于满足条件0wxW1的一切实数x,不等式a(1-x)(1xax)-bx(b-x-bx)>0(1)恒成立，当乘积ab取最小值时，求a,b的值。解：整理不等式(1)并将a2+b2=1代入，得(1+a+b)x2-(2a+1)x+a>0 (2),在(2)中，令x=0,得a>0；令x=1,得b>0。易知1+a+b>0,0<2a1 <1,2(1ab)故二次函数y=(1+a+b)x2-(2a+1)x+a的图象(抛物线)的开口向上，且顶点的横坐abb211 (3)4标在0和1之间。由题设知，不等式(2)对于满足条件0<xabb211 (3)4它的判别式△=(2a+1)2-4a(1+a+b)&0,即ab/。由方程组4消去b,得16a4-16a2+1=0,所以a2消去b,得16a4-16a2+1=0,所以a2所以a1=_6_2或a2=_6—2,b1=而行或b2=WLX2。所以ab的最小值为1,为1,此时a,b的值分别为a=族/4 4b=灰心和a=八加二、(本题满分25分)如图，圆O与圆D相交于A,B两点，BC为圆D的切线，点C在圆。上，且AB=为圆D的切线，点C在圆。上，且AB=BC。证明：点O在圆D的圆周上;设^ABC的面积为S,求圆D的的半径r的最小值。解：(1)连OA,OB,OC,AC,因为O为圆心，AB=BC,所以DOB=90°-ZOBA△OBA^AOBC,从而/OBA=/OBC,因为OD^AB,DBXBC,所以/=90°-ZOBC=/DBO,所以DB=DO,因此点O在圆DOB=90°-ZOBA(2)设圆O的半径为a,BO的延长线交AC于点E,易知BE^AC。设AC=2y(0<y<a),OE=x,AB=l,贝Ua2=x2+y2,S=y(a+x),l2=y2+(a+x)2=y2+a2+2ax+x2=2a2+2ax=2a(a+x)=-2aS。y因为/ABC-2/OBA-2/OAB-/BDO,AB-BC,DB-DO,所以△BDOABC,

TOC\o"1-5"\h\z2i2 2所以BD=BO,即r=_a_,故r=生，所以r2=aL=£_72aS=_S?昌3>S,即r4S,ABACl2y2y 4y24y2 y2y2 2其中等号当a=y时成立，这时AC是圆O的直径.所以圆D的的半径r的最小值为叵。2三、（本题满分25分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2=509（4a+511b） （1）求a,b的值。6a3bo4a511b 6a3b4a511b解：（1）式即（^a___）2= ,设m=____,n= ,则n=m2,509m6a509n4a 2b= = （2）,故3n-511m+6a=0,所以3m-511m+6a=0（3）,由（1）式可知，（2a+b）2能被质数509整除，于是2a+b能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式^ =5112-72a为完全平方数。不妨设^=5112-72a=t2（t为自然数），贝U72a=5112-12=（511+t）（511-1）,由于511+t和511-t的奇偶性相同，且511+t>511,所以只可能有以下几种情况：511 t 36a 511 t 36a e511 t 18a 向511 t511 t 2 511 t 4 511 t12a，④511t6a,两式相加分别得6 511t1236a+2=1022,18a+4=1022,12a+6=1022,6a+12=1022,均没有整数解；⑤511t4a，⑥511t2a，两式相加分别得4a+18=1022,解得a=251;511t18 511t362a+36=1022,解得a=493,而493=1729不是质数，故舍去。综合可知 a=251。此时方程(3)的解为m=3或m=502(舍去)。3把a=251,m=3代入(2)式，得b=50936251=7。3第二试(B)一、(本题满分20分)已知a2+b2=1,对于满足条件x+y=1,xyR的一切实数对(x,y),不等式ay2-xy+bx2R(1)恒成立，当乘积ab取最小值时，求a,b的值。解：由x+y=