数学九年级上册弧长和扇形面积示范课堂课件公开课

第二十四章圆24.4弧长和扇形面积第二十四章圆24.4弧长和扇形面积1图片欣赏一、创设情境，引入新知图片欣赏一、创设情境，引入新知2问题1

如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题2

怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.一、创设情境，引入新知情境引入问题1如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在3与弧长相关的计算问题1半径为R的圆,周长是多少？OR问题2下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?OR180°OR90°OR45°ORn°二、合作交流，探究新知与弧长相关的计算问题1半径为R的圆,周长是多少？OR问题24(1)

圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(2)

圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(3)

圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(4)

圆心角是n°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.二、合作交流，探究新知(1)圆心角是180°，占整个周角的，因此5

用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.注意算一算

已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为

.知识要点弧长公式二、合作交流，探究新知用弧长公式进行计算时，要注意公式中n6二、合作交流，探究新知解：由弧长公式，可得弧AB的长答：管道的展直长度为2970mm．圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.S弓形=S扇形+S三角形二、合作交流，探究新知(单位：mm，精确到1mm)解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，二、合作交流，探究新知若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为(结果用含π的式子表示)．S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形-S三角形∴弧AA'所在圆的半径为10cm.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.解：由弧长公式，可得弧AB的长二、合作交流，探究新知圆的不变时，扇形面积与例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.二、合作交流，探究新知弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积D.因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.答：管道的展直长度为2970mm．D.因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.D.答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是.②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.∴弧AA'所在圆的半径为10cm.②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.问题2怎样来计算弯道的“展直长度”？D.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.半径半径OBA圆心角弧OBA扇形概念学习二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积圆7下列图形是扇形吗？√×××√二、合作交流，探究新知下列图形是扇形吗？√×××√二、合作交流，探究新知8例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.问题2下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?问题扇形的面积与哪些因素有关？问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S＝S扇形OAB-SΔOAB过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.二、合作交流，探究新知(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？∵等边三角形ABC的边长为10cm，二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.解由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'的长.二、合作交流，探究新知过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）合作探究问题1半径为r的圆,面积是多少？Or问题2下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?二、合作交流，探究新知例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，9二、合作交流，探究新知=Or180°Or90°Or45°Orn°二、合作交流，探究新知=Or180°Or90°Or45°Or10半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意知识要点二、合作交流，探究新知半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积11

大小不变时，对应的扇形面积与

有关，

越长，面积越大.圆心角半径半径圆的

不变时，扇形面积与

有关，

越大，面积越大.圆心角半径圆心角总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.O

●

ABDCEFO

●ABCD问题扇形的面积与哪些因素有关？二、合作交流，探究新知大小不变时，对应的扇形面积与12圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.∴弧AA'所在圆的半径为10cm.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.∵等边三角形ABC的边长为10cm，①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；二、合作交流，探究新知解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，问题扇形的面积与哪些因素有关？过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.二、合作交流，探究新知(3)圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.想一想扇形的面积公式与什么公式类似？(1)圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A‘B’C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想扇形的面积公式与什么公式类似？ABOO二、合作交流，探究新知圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.13OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形弓形的面积公式

二、合作交流，探究新知OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三14例1

制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.

答：管道的展直长度为2970mm．700mm700mmR=900mm(100°ACBDO三、运用新知例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，15例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积.（精确到）(1)O.BAC

讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.三、运用新知例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面16O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？

阴影部分面积=扇形OAB的面积-

△OAB的面积三、运用新知O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是17解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-DC＝，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.

从而∠AOD＝60˚,∠AOB=120˚.O.BACD(3)三、运用新知解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交18

有水部分的面积：S＝S扇形OAB

-SΔOABOBACD(3)三、运用新知有水部分的面积：S＝S扇形OAB-SΔOABOBAC192.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）B．C.D.1.已知弧所对的圆周角为90°,半径是4,则弧长为

.CABCOHC1A1H1O1四、巩固新知2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC203.如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是

.ABCD四、巩固新知3.如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是21解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，即

4.如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为

(结果用含π的式子表示)．四、巩固新知解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120225.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积.OABDCE解：四、巩固新知5.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是236.如图，一个边长为10cm

的等边三角形模板ABC

在水平桌面上绕顶点C

按顺时针方向旋转到△A‘B’C

的位置，求顶点A

从开始到结束所经过的路程为多少.ABA'B'C解由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA'所在圆的半径为10cm.∴l弧AA'答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为四、巩固新知6.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC24弧长计算公式：扇形定义公式阴影部分面积求法：整体思想弓形公式S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形割补法五、归纳小结弧长计算公式：扇形定义公式阴影部分面积弓形公式S弓形=S扇形25再见再见26第二十四章圆24.4弧长和扇形面积第二十四章圆24.4弧长和扇形面积27图片欣赏一、创设情境，引入新知图片欣赏一、创设情境，引入新知28问题1

如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？问题2

怎样来计算弯道的“展直长度”？因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.一、创设情境，引入新知情境引入问题1如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在29与弧长相关的计算问题1半径为R的圆,周长是多少？OR问题2下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?OR180°OR90°OR45°ORn°二、合作交流，探究新知与弧长相关的计算问题1半径为R的圆,周长是多少？OR问题230(1)

圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(2)

圆心角是90°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(3)

圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.(4)

圆心角是n°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.二、合作交流，探究新知(1)圆心角是180°，占整个周角的，因此31

用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.注意算一算

已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为

.知识要点弧长公式二、合作交流，探究新知用弧长公式进行计算时，要注意公式中n32二、合作交流，探究新知解：由弧长公式，可得弧AB的长答：管道的展直长度为2970mm．圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.S弓形=S扇形+S三角形二、合作交流，探究新知(单位：mm，精确到1mm)解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，二、合作交流，探究新知若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为(结果用含π的式子表示)．S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形-S三角形∴弧AA'所在圆的半径为10cm.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.解：由弧长公式，可得弧AB的长二、合作交流，探究新知圆的不变时，扇形面积与例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.二、合作交流，探究新知弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积D.因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.答：管道的展直长度为2970mm．D.因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.D.答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；如图，☉A、☉B、☉C、☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是.②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.∴弧AA'所在圆的半径为10cm.②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.问题2怎样来计算弯道的“展直长度”？D.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.半径半径OBA圆心角弧OBA扇形概念学习二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积圆33下列图形是扇形吗？√×××√二、合作交流，探究新知下列图形是扇形吗？√×××√二、合作交流，探究新知34例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.问题2下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?问题扇形的面积与哪些因素有关？问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积S＝S扇形OAB-SΔOAB过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.二、合作交流，探究新知(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？∵等边三角形ABC的边长为10cm，二、合作交流，探究新知二、合作交流，探究新知因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.解由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'的长.二、合作交流，探究新知过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）合作探究问题1半径为r的圆,面积是多少？Or问题2下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?二、合作交流，探究新知例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，35二、合作交流，探究新知=Or180°Or90°Or45°Orn°二、合作交流，探究新知=Or180°Or90°Or45°Or36半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.注意知识要点二、合作交流，探究新知半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积37

大小不变时，对应的扇形面积与

有关，

越长，面积越大.圆心角半径半径圆的

不变时，扇形面积与

有关，

越大，面积越大.圆心角半径圆心角总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.O

●

ABDCEFO

●ABCD问题扇形的面积与哪些因素有关？二、合作交流，探究新知大小不变时，对应的扇形面积与38圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.∴弧AA'所在圆的半径为10cm.圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别为AB、AC的中点，将△ABC顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为（）②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.∵等边三角形ABC的边长为10cm，①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的；二、合作交流，探究新知解析：点A所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为，圆心角为90°的扇形弧长之和，问题扇形的面积与哪些因素有关？过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.二、合作交流，探究新知(3)圆心角是45°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.想一想扇形的面积公式与什么公式类似？(1)圆心角是180°，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的__________.如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺时针方向旋转到△A‘B’C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？想一想扇形的面积公式与什么公式类似？ABOO二、合作交流，探究新知圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.39OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三角形

S弓形=S扇形+S三角形弓形的面积公式

二、合作交流，探究新知OO弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积S弓形=S扇形-S三40例1

制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度l=2×700+1570=2970（mm）.

答：管道的展直长度为2970mm．700mm700mmR=900mm(100°ACBDO三、运用新知例1制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，41例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面高，求截面上有水部分的面积.（精确到）(1)O.BAC

讨论：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？阴影部分.三、运用新知例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是，其中水面42O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？线段DC.过点O作OD垂直符号于AB并长交圆O于C.(3)要求图中阴影部分面积，应该怎么办？

阴影部分面积=扇形OAB的面积-

△OAB的面积三、运用新知O.BACD(2)O.BACD(3)(2)水面高0.3m是43解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交AB于点C,连接AC.∵OC＝0.6,DC＝0.3,∴OD＝OC-DC＝，∴OD＝DC.又AD⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.

从而∠AOD＝60˚,∠AOB=120˚.O.BACD(3)三、运用新知解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交44

有水部分的面积：S＝S扇形OAB

-SΔOABOBACD(3)三、运用新知有水部分的面积：S＝S扇形OAB-SΔOABOBAC452.如图，Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BC=2,O、H分别