二次函数临界问题

二次函数临界问题一、内容分析：函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形结合的数形结合能力。本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问题的数学经验是核心。二、典型例题例1.在平面直角坐标系中，已知A(3,2),B(-1,2)，完成下面问题：若一次函数y二-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为_1WbW5_.若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_kV-1/3或k21若二次函数y二ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为___a22Z2.若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为__-7三壬小结：以上四个问题具有什么共同点区别又是什么解题过程中有哪些相同的步骤都有线段AB(不动图形)，都含一个待定系数(直接影响图形运动方式)，所求为此待定系数范围。相同步骤：1、画出不动图形2、确定动图形运动方式3、画出临界状态4、代入临界点求出范围54、代入临界点求出范围5、检验临界点合理性例2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y二m(x-1)2-l(m>0)与x轴的交点为A,B.定义横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若线段AB上(包括端点)恰有5个整点,结合函数的图象，求m的取值范围.分析：临界位置与x轴两交点为x=-1或x=3，可以取到x=3时,y=4m-1WO,mW1/4与x轴两交点为x=-2或x=4，不可以取到x=3时，y=9m-1>0,m>1/9综上，1/9<mW1/4例3：抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点D,与x轴交于点E、F(点E在点F的左侧)，记抛物线在D、F之间的部分为图象G(包含D、F两点)，若直线y二kx-1与图象G有两个公共点，请结合函数图象，求k的值或取值范围.分析：临界位置平行于x轴，k=0,不可以取到过点(3,0)，k=1/3，可以取到综上：0<kW1/3变式：抛物线y=x2-4x+3与y轴交于点D，与x轴交于点E、F(点E在点F的左侧)，将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x轴翻折，得到一个新的函数图象，若直线y二x+b与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b的值或取值范围.b<-13/4或b>-3例4：(1)已知：y=x2-2x一3,y=kx+b，12若只有当-2vxv2时，yvy，则y解析式为—y=-2x+i.1222(2)将y=x2-2x-3(y<0)的函数图象记为图象A,图象A关于x轴对称的图象记为图象B.已知一次函数y=kx+b.设点H(m,0)是X轴上一动点，过点H作X轴的垂线，交图象A于点P,交图象B于点Q,交一次函数图象于点N.若只有当1vmv3

时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出b的值6或-6.['；01101；O1(3)已知：y=x2-2x-3,『2=ax2+bx+c(a工0)设点H(m,0)是x轴上一动点，过点H作X轴的垂线，交y于点P，交y于点Q.若只有当-1vmv3时，点p在点q下12方，请写出一个符合题意的y解析式_y_=-x2+2x+3__(满足y二a(x+1)(x-3),其中22a<0开口向下或者0<a<1开口大于『丄即可).(4)已知：y=2x+1,y=x+m，若当x>1时，y>y，请写出一个符合1212题意的m的值—_m=o(只需交点横坐标mTW1即可，即mW2).小结解题策略：1、根据已知条件画出确定的图形；2、对于不确定的图形，确定其运动方式；3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况(移图)；4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围(代入计算)；5、检验边界合理性.三、真题演练1(2016北京27题)27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2—2mx+加一l(rn>0)与x轴的交点为A,B.求抛物线的顶点坐标；横、纵坐标都是整数的点叫做整点。当m=1时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。解析：(1)解：将抛物线表达式变为顶点式：--，则抛物线顶点坐标为(1,-1).(2)解：①二二：时,抛物线表达式为二：--■，因此A、B的坐标分别为(0,0)到A、B两点坐标分别为1-二;K：，即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散，进而得到二弋；;：1,::::二：（2015北京27题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0,2）且平行于x轴的直线,与直线y=x-1交于点A，点A关于直线x=1的对称点为B，抛物线C:y=x2+bx+c经过点A，B。（1）求点A，B的坐标；⑵求抛物线C1的表达式及顶点坐标;⑶若抛物线C:y二ax2（a丰0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a2的取值范围。（2014北京23题）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0,-2）,B（3，4）．

1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A,B之间的部分为图象G（包含A,B两点）.若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围.解：(1)Ty=2xNmx+n经过点A(0,-2),B(3,4)代入,得：-n二-2-18+3m+n=4■Im二一4；n二一2抛物线的表达式为：y二二"V"二对称轴为：x二-1（2）由题意可知：C（-3,-4）二次函数：'=的最小值为一4；

由图像可以看出D点坐标最小值即为一4；4y=-x最大值即BC的解析式：34-4Wt-（2013北京23题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2一2mx-2（m丰0）与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B。

求点A,B的坐标；设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；3)若该抛物线在2x1这一段位于直线的上方,并且在2x3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。【解析】⑴当x0时，y2.・•・A(0,2)抛物线对称轴为x』12m・B(1，0)(2)易得A点关于对称轴的对称点为A(2,2)则直线l经过A、B.没直线的解析式为ykxb2kbkb022kbkb022，解得・直线的解析式为y2x・直线的解析式为y2x2丁抛物线对称轴为x1抛物体在2x3这一段与在1x0这结合图象可以观察到抛物线在2x1方在1x0这一段位于直线l的下方；・•・抛物线与直线l的交点横坐标为1；当x1时，y2x(1)24则抛物线过点(-1，4)当x1时，m2m24，m2・抛物线解析为y2x24x2.段关于对称轴对称I—段位于直线l的上5.(20125.(2012北京23题)已知二次函数y(t1)x22(t2)x在x0和x2时的函数值相等。(1)求二次函数的解析式；

若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m)，求m和k的值；设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧)，将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G，同时将(2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围。33解：(1)由题意得(t+1)-22+2(t+2)-2+-=-.22解得t=-113•••二次函数的解析式为y一-x2+x+2-13⑵Q点A(-3,m)在二次函数y一-x2+x+-的图象上m=--x(-3)2+(-3)+3=-622.••点A的坐标为(-3,-6).Q点A在一次函数y=kx+6的图象上,.k=4.(3)由题意，可得点B,C的坐标分别为(-1,0),(30).平移后，点B,C的对应点分别为B'(-1-n，0)，C'(3-n，0).将直线y=4x+6平移后得到直线y=4x+6+n.如图1，当直线y=4x+6+n经过点B'(-1-n,0)时，图象G(点B'除外)2在该直线右侧，可得n=2；3如图2，当直线y=4x+6+n经过点C'(3-n,0)时，图象G(点C'除外)在该直线左侧，可得n=6.2由图象可知，符合题意的n的取值范围是-<n<6.3(2011北京23题)在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

TOC\o"1-5"\h\z⑴求点A的坐标；._当ZABC=45。时，求m的值；5-已知一次函数y=kx+b,点P(n,0)是x轴上的一个动-点，在(2)的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一】次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+(m—3)x—3(m,>0)的图象于N.若只有当一2VnV2时，点M位于点N—―百_―的上方，求这个一次函数的解析式.'分析：(1)令y=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m>0,-所以求得点A的坐标；-5-二次函数的图象与y轴交于点C,即求得点C,由ZABC=45°,从而求得；由m值代入求得二次函数式,并能求得交点坐标,则代入一次函数式即求得．解答：解：(1)"."点A、B是二次函数y二mx2+(m-3)x-3(m>0)的图象与x轴的交点,令y=0,即mx2+(m-3)x-3=0_3解得xi=-1,丄二-又•••点A在点B左侧且m>0二点A的坐标为(-1,0