二次根式知识点及习题

用：若，则，如:知识点五：二次根式的性质一叽贰、0）文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：用：若，则，如:知识点五：二次根式的性质一叽贰、0）文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即=a乂憾0）；若a是负数，则等于a的相反数-a,即百2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。知识点六：与的异同点1、不同点：（&尸与表示的意义是不同的，五『表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实中，而中a可以是正实数，0,负实数。但（血）与都是非负数，即一讯、嵐一0）数a的平方的算术平方根；在（血）（血丫工。，賦王Q。因而它的运算的结果是有差别的，"尸”2。）=”1=■=,而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，（亦尸=；时，（后无意义，而翻=_区二次根式知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：取值范围二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a^0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a<0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即乏0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，艮庐0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若拓+翕则a=0,b=0；若亦+创=°，则a=0,b=0；若罷+卜则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）'的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式"了m（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应1_2=2=知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有V2、V3、Va（a>0）、Vx+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有V4、V9、VaA2、V（x+y）A2、VxA2+2xy+yA2等（3）最终结果分母不含根号。知识点八：二次根式的乘法和除法积的算数平方根的性质Vab=Va・Vb（a>0，b>0）乘法法则Va・Vb=Vab（a>0，b>0）二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。除法法则VamVb=Vamb（a>0，b>0）二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算数平方根的商，等于这两个数商的算数平方根。有理化根式。如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式，也称有理化因式。知识点九：二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。3二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。知识点十：二次根式的混合运算1确定运算顺序2灵活运用运算定律3正确使用乘法公式4大多数分母有理化要及时5在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化知识点十一：分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:Va/Vb=VaxVb/VbxVb=Vab/b/TjV~EX-/tT二£aFbii.分母是多项式要利用平方差公式如1/Va+Vb=Va—Vb/(Va+Vb)(Va—Vb)=Va—Vb/a—b如图_匚污4门5,(庞一须岛一_£_b注意：1.根式中不能含有分母2.分母中不能含有根式。二次根式”经典练习题二次根式”经典练习题典型例题】一.利用二次根式的双重非负性来解题（ja>0（a±o）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。1.下列各式中一定是二次根式的是（）。A、、•：一3；B、"vx；C、<x2+1；D、x—1取何值时，下列各式在实数范围内有意义。（1）匸；（（1）匸；（2）｛需2x+14)■5+x\'x+45)_,丨兀+3-'x+3⑹若E一1'则x的取值范围是—⑺若芮二治’则x的取值范围<5+<5+xx+4（7）注：（书写格式（4）由5+x±0且x+4工0得x±—5且xM—4.°.当乂三一5且乂工一4时代数式在实数范围内有意义）若<3m-1有意义，则m能取的最小整数值是若jssm是一个正整数，则正整数m的最小值是5..当x为何整数时,COx—1+1有最小整数值，这个最小整数值为6.若|2004—a+Qa-2005=a，则a—20042=7•若y二、x—3+x+4，则x+y=IIm2—9+9—m2+28.设m、n满足n二，贝0\mn=m一39.若m适合关系式<3x+5y—2—m+J2x+3y—m=Jx—199+y•J199—x—y，求m的值.10.若三角形的三边a、b、c满足a2-4a+4+-3=0,则第三边c的取值范围是11.方程14x—81+*x—y—m=0，当y>0时，m的取值范围是（）

A、0<A、0<m<1B、m>2C、m<2D、m<2la(a>b)二.利用二次根式的性质Ja2=|a|=<0(a=0)(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来-a(a<0)解题1.已知Jx3+3x2=—x\；x+3，贝y()WOW—3C.x三一3D.—3WxW02..已知a<b，化简二次根式i；—a3b的正确结果是()A.-a、Labb.-aPabc.aPabd.a、.-ab若化简|1-x|-Jx2-8x+16的结果为2x-5则x的取值范围是()A、x为任意实数B、1WxW4C、x±1D、xW4已知a,b,c为三角形的三边，则*(a+b—c)2+、：(b—c—a)2+”(b+c—a)2=TOC\o"1-5"\h\z当-3<x<5时，化简x2+6x+9+•、；x2—10x+25=。6、化简Ix—yl-\；x2(x<y<0)的结果是()A.y一2xB.yC.2x一yD.—y7、已知：a+\1—2a+a2=1,则a的取值范围是()。A、a=0；B、a=1；C、a=0或1；D、a<1iV~8、把(x-2)根号外的因式移入根号内，化简结果是()。x—2A、站2—x；B、x—2；c、—lx—2D、—、：2—x三.二次根式的化简与计算(二次根式的化简是二次根式运算中的基本要求，其主要依据是二次根式的积商算术平方根的性质及二次根式的性质：(賦)E(a±0),即Ja2=1aI。1•把下列各式化成最简二次根式:(2).412(2).412—402(3)■25m52~"(4)*x4+x2y22•下列各式中哪些是同类二次根式:v12，“,50，3，丫1o；(2)5\.a3b3c,v'a3b2v12，“,50，3，丫1o；(2)5\.a3b3c,v'a3b2c3，:竺Ia谆'气:bC3.计算：(1)6、：'27-(—3.3),4a'6b■cI♦,♦I⑷竺■^24戸!~5~"5)—『3飞54i'2a2b2lab(6)-(—_t14.计算(1)r8+于迈2）(\9x3+3^v亦)-(4’4-+4y：|!)5．已知气7+2忙…187=10'则X等于（A．4B．±2C．26..已矢口x=x:2—1,y=■-■2+1,D．±4■<x+Jy+3求-y*x+y、；x+3、；xy的值。四．二次根式的分母有理化21已知：x二，求x2一x+1的值。v'3—1/—4273+近、2..已知:x=-=,y=l，求代数式3x2—5xy+3y2的值。J3+42J3—J2TOC\o"1-5"\h\zr1,1|1||1'1+迈十迈+朽十爲+訂十…丽+『而4.已知x'15+x—19+x=—2，试求<19+x+、；'15+x的值。五•关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1•估算'31—2的值（）A.在1和2之间B.在2和3之间C.在3和4之间D.在4和5之间2•若丫3的整数部分是a,小数部分是b,则J3a—b二已知9+J3与9^'13的小数部分分别是a和S求ab—3a+4b+8的值若a，b为有理数，且、：8+亍18+=a+b站2，贝yba=.8六.二次根式的比较大小（1）5迈00和2訂（2）—5v6和—6\污（3）\.叼—和.15—（倒数法）

二次根式提高测试题、选择题二次根式提高测试题TOC\o"1-5"\h\z1•使打二X+1有意义的x的取值范围是()X—12.—个自然数的算术平方根为a(a>0)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为()(A)a—1,a+1(B)x/a—1,\/a+1(C)—1,\：a2+1(D)a2—1,a2+13.若x<0，贝卄JX2—x等于()(A)0(B)—2x(C)2x(D)0或2x4.若a<0,b>0，则\—a3b化简得()(A)—a\—ab(b)—a^ab(c)a、j—ab(d)a•ab5.(A)5.(A)m2+2(b)m2—2C)Vm+2(D)材m—26.已知a,b是实数，且<a2—2ab+b2=b—a，则a与b的大小关系是（7.A）a7.A）a<b（B）a>b已知下列命题：-弱）=2-弱;③a2+(—3)2=(a+3)(a—3)；(C)a>b(d)a<b②寸(3—兀》一|3—兀|=6；④\：'a2+b2=a+b.其中正确的有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个8•若4、，8•若4、，'——m■2m—3与1—亍612051(A)(B)263化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为（13(C)§15(D)-19.当a<—时，化简\1—4a+4a2+|2a—1|等于()(A)2(B)2—4a(C)a(D)010.化简\4x2—4x+1—C2x—3)得()11．12．13．14．15．16．17．18．三、1920．21．22．23．(A)2(B)-4x+4(C)-2(D)4x一4二、填空题若2x+1的平方根是±5，则朋x+1二时，式子遁一¥有意义.x—4已知：最简二次根式、：''4a+b与a-V23的被开方数相同，则a+b二若x是*8的整数部分，y是V8的小数部分，则x=，y=已知<2009=px+y，且0<x<y,贝9满足上式的整数对