小学奥数-数论之同余问题

7/7小学奥数—数论之同余问题数论同余问题

余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲容堆学生来讲是非常重要的。

定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。

如：35除以5,7余0，除以3余2；63除以3,7余0，除以5余3；30除以3,5余0，除以7余2。则35+63+30除以3余2，除以5余3，除以7余2。

定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

一、带余除法的定义及性质：

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,

0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：

r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商

(1)当0

r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商

(2)当0

一个完美的带余除法讲解模型:

如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，

现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后

共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是

余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：

1.余数的加法定理

a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等

于4，即两个余数的和3+1.

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.

2.余数的乘法定理

a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.

3.同余定理

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：

若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

三、弃九法原理：

在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：

++++=

例如：检验算式1234189818922678967178902889923

1234除以9的余数为1

1898除以9的余数为8

18922除以9的余数为4

678967除以9的余数为7

178902除以9的余数为0

这些余数的和除以9的余数为2

而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同。

而我们在求一个自然数除以9所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去，所以这种方法被称作“弃九法”。

所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。

以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。

利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用

注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。

例如：检验算式9+9=9时，等式两边的除以9的余数都是0，但是显然算式是错误的

但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。

四、中国剩余定理：

1.中国古代趣题：

中国数学名著《子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“信点兵”。

信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖邦问大将军信统御兵士多少，信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

子算经的及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

2.核心思想和方法：

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和先由5735

?=是否可以，很显然70除以3余1

7的“下一个”倍数35270

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

kk

?+?+?±=-，其中k是从1开始的自然数。

270321245[3,5,7]233[3,5,7]

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

?+?+?-?=得到所求

那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

例题精讲：

【模块一：带余除法的定义和性质】

【例1】(第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643(14)

a=，14

=?+，所以43

÷=，得1992464314

r=．【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【解析】(法1)因为甲=乙1132

?+=；

?++乙=乙12321088

?+，所以甲+乙=乙1132

则乙(108832)1288

=-÷=，甲1088

=-乙1000

=．

(法2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的(111)

+倍，所以得到乙数10561288

=-=．

=÷=，甲数1088881000

【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【解析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题即“不整除问题”

转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差”，也可以得到一个除数的倍数。

本题中310-37=273，说明273是所求余数的倍数，而273=3×7×13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有39，91.

【例1】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数

是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数

=2083-115=1968．

【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求

这2个自然数各是多少？

【解析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到

40164016933xyxy=+??+++=?,解方程组得85621

xy=??=?，即这两个自然数分别是856，21.【例2】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以

19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【解析】设所得的商为a，除数为b．(19)(23)(31)2001ababab+++++=，7332001ab+=，由19b，求abba?．

【解析】abba-能被7整除，即(10)10)9abbaab+-+=?-（（）

能被7整除．所以只能有7ab-=，那么ab可能为92和81，验算可得当92ab=时，29ba=满足题目要求，92292668abba?=?=

【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，

那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【解析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数．那么可知该数应该为1186751-=和673334-=

的公约数，所求答案为17．

【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整

数是_________．

【解析】因为3921351113903=-,6861390314589=-，

由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个

数整除．98)686,392(=，所以所求的最大整数是98．

【例6】(2003年市少年数学智力冬令营试题)20032与22003的和除以7的余数是________．

【解析】找规律．用7除2，22，32，42，52，62，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2

的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2

的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为20033667222?+=，所以20032除以7余4．又两

个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以2

2003除以7余1．故20032与22003的和除以7的余数是415+=．

【巩固】(2004年市少年数学智力冬令营试题)在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的

和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．

【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．

因为252507+=++=，25360253679+++=++++=+，

所以这样的数组共有下面4个：()2003,2000，()2003,2000,1998，

()1995,2001,2003,2000，()1995,2001,2003,2000,1998．

【例7】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数

之和是50，那么这个整数是______．

【解析】(70110160)50290++-=，503162÷=，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能

是29和58，11058152÷=，5052>，所以除数不是58．

7029212÷=，11029323÷=，16029515÷=，50152312=++，所以除数是29

【巩固】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为

25，那么n=________

【解析】n能整除258251299163=-++．因为2538...1÷=，所以n是258大于8的约数．显然，n

不

能大于63．符合条件的只有43．

【巩固】分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除

所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，

1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员

打5盘是最多的。

【例8】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、

26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，

但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这

种《成语大词典》的定价是________元．

【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以

他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以

每本《成语大词典》的定价是(1417182126)332++++÷=(元)．

【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克