2020-2021初三数学二模试题分类汇编-圆的综合综合及详细答案

2020-2021初三数学二模试题分类汇编一一圆的综合综合及详细答案一、圆的综合1.如图，点A、B、C分别是。。上的点，CD是。。的直径，P是CD延长线上的一点,AP=AC(1)若/B=60°,求证：AP是。。的切线；(2)若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E,CD=4,求BEAB的值.【答案】(1)证明见解析；(2)8.【解析】(1)求出/ADC的度数，求出/P、/ACQ/OAC度数，求出/OAP=90,根据切线判定推出即可；(2)求出BD长，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.试题解析：连接AD,OA,•••/ADC=ZB,/B=60；/ADC=60；.「CD是直径,/DAC=90；/ACO=180-90-60」30；-.AP=AC,OA=OG/OAC=ZACD=30；/P=ZACD=30,°/OAP=180-30-30-30」90:即OALAP,.OA为半径，・•.AP是。O切线.(2)连接AD,BD,.「CD是直径,/DBC=90；•.CD=4,B为弧CD中点,BD=BC=e,/BDC=ZBCD=45,°/DAB=ZDCB=45；即/BDE=/DAB,•••/DBE=ZDBA,.,.△DBE^AABD,]BDAB.用二呵.•.BE?AB=BD?BD=V2X2G=8考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质.2.如图，OA过？OBCD的三顶点O、D、C,边OB与。A相切于点O,边BC与。。相交于点H,射线OA交边CD于点E,交。A于点F,点P在射线OA上，且ZPCD=2ZDOF,以。为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点 B的坐标为（0,-2）.（1）若/BOH=30,求点H的坐标；（2）求证：直线PC是。A的切线；（3）若OD=Ji0,求。A的半径.环【答案】（1）（1,-石）；（2）详见解析；（3）刍.3【解析】【分析】（1）先判断出OH=OB=2,利用三角函数求出MH,OM,即可得出结论;(2)先判断出/PCD=/DAE,进而判断出/PCD=/CAE,即可得出结论;(3)先求出O—3,进而用勾股定理建立方程， r2-(3-r)2=1,即可得出结论.【详解】(1)解：如图，过点H作HM，y轴，垂足为M.••.四边形OBCD是平行四边形，/B=/ODC••四边形OHCD是圆内接四边形/OHB=ZODC/OHB=ZB.•.OH=OB=2•・在RtAOMH中，••/BOH=30；MH=1OH=1,OM=旧MH=底，••点H的坐标为(1,-百)，(2)连接AC..OA=AD,/DOF=ZADO/DAE=2/DOF••/PCD=2ZDOF,••/PCD土DAE「OB与。。相切于点A••OBXOFOB//CD•••CDXAFZDAE=ZCAE•••/PCD土CAE/PCA=ZPCD+/ACE之CAE+ZACE=90直线PC是。A的切线；(3)解：OO的半径为r.在Rt^OED中，DE=-CD=1OB=1,OD=Ji02 2・•.OE—3•.OA=AD=r,AE=3-r.2=1在RtADEA中，根据勾股定理得，r22=1解得r=5.3

【点睛】【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键.3.如图，AB为。。的直径，点E在。。上，过点E的切线与AB的延长线交于点D,连接BE,过点。作BE的平行线，交。。于点F,交切线于点C,连接AC(1)求证：AC是。。的切线；(2)连接EF,当/D=。时，四边形FOBE是菱形.【答案】(1)见解析；(2)30.【解析】【分析】(1)由等角的转换证明出 OCA二OCE,根据圆的位置关系证得AC是。。的切线.(2)根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF得证OBE为等边三角形，而得出BOE60,根据三角形内角和即可求出答案【详解】(1)证明：.「CD与。。相切于点E,OECD,••CEO90,又.OCPBE,COEOEB,/OBE=/COA,.OE=OB,OEBOBE,••COECOA,X/OC=OCOA=OE••OCA0OCE(SA0,••CAOCEO90,又•「AB为。O的直径，•.AC为。O的切线；(2)解：二•四边形FOBE是菱形，，OF=OB=BF=EF，OE=OB=BEOBE为等边三角形，BOE60,而OECD,D30.故答案为30.【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关Ir4.如图，在4ABC中，AB=AC,以AB为直径作OO,。。交BC于点D,交CA的延长线于点E.过点D作DF,AC,垂足为F.(1)求证：DF为。。的切线；(2)若AB=4,ZC=30。，求劣弧？E的长.•八一 、一，一 4【答案】(1)证明见解析(2)—3【解析】分析：(1)连接AD、OD,根据直径所对的圆周角为直角，可得 ZADB=90,然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD,再根据中位线的性质求出 ODLDF,进而根据切线的判定证明即可；(2)连接OE,根据三角形的外角求出/BAE的度数，然后根据圆周角定理求出 /BOE的度数，根据弧长公式求解即可 .详解：(1)连接AD、OD..「AB是直径，ZADB=90°.,.AB=AC,.1.BD=CD,又•.OA=OB,，OD是^ABC的中位线，..OD//AC,•.DFXAC, ODXDF

即/ODF=90°.，DF即/ODF=90°.，DF为。。的切线;(2)连接OE...AB=AC,，/B=/C=30°, /BAE=60°,•./BOE=2ZBAEaZBOE=120；点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键.5.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EGBE=ED,以AD为直径的半圆过点E,圆心为O.（1）如图①，求证：四边形ABCD为菱形；（2）如图②，若BC的延长线与半圆相切于点F,且直径AD=6,求弧AE的长.・… _ 一”. ・… _ 一”. 兀【答案】（1）见解析；（2）-2【解析】试题分析：（1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC±BD即可得出结论；（2）先判断出AD=DC且DELAC,/ADE=/CDE，进而得出ZCDA=30°,最后用弧长公式即可得出结论.试题解析：证明：（1）二.四边形ABCD的对角线交于点E,且AE=EC,BE=ED,.•・四边形ABCD是平行四边形.二•以AD为直径的半圆过点E, /AED=90°,即有ACBD,••・四边形ABCD是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD是菱形，・•・4ADC为等腰三角形，AD=DC且DELAC,/ADE=/CDE如图2,过点C作CG,AD,垂足为G,连接FO.丁BF切圆。于点F,1•.OFXAD,且OF-AD3,易知，四边形CGOF为矩形，，CG=OF=3.2在Rt^CDG中，CD=AD=6,sin/ADC=CG=1,../CDA=30°,，/ADE=15°.CD2

连接OE,则/AOE=2X/ADE=30°,连接OE,则/AOE=2X/ADE=30°,，Ae30180 2质并结合题意加以灵活运用是解题的关键.6.如图，CD为。。的直径，点B在。。上，连接BCBD,过点B的切线AE与CD的延长线交于点A,ZAEO/C,OE交BC于点F.（1）求证：OE//BD;2（2）当OO的半径为5,sinDBA—时，求EF的长.BDCDBOEOEOBDCDBOEOEO25【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为—【解析】试题分析：（1）连接OB,利用已知条件和切线的性质证明；（2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可 ^试题解析：（1）连接OB,「CD为。。的直径， CBD CBO OBD90.AE是。。的切线， ABOABDOBD90.ABDCBO..OB、OC是。。的半径， OB=OCCCBO.，C ABD.••EC,•••EABD.•••OE//BD. 2 BD2（2）由（1）可得sinZC=/DBA=—,在Rt^OBE中，sin/C=———,OC=5,5 CD5BD4，CBDEBO90•••EC, ACBD^AEBO.

1.OE//BD,CO=OD,•.CF=FB.- 1OOFBD2.2八八2'eEFOEOF—27.某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径.如图，若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm,水最深的地方的高度为4cm,求这个圆形截面的半径.【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径COXAB,交AB于点D设半彳仝为r,得出AD、OD的长，在RtAAOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.详解：解：过点O作OCAB于D,交。。于C,连接OB,•.OCXAB.•.BD=1AB=1X16=8cm2 2由题意可知，CD=4cm•二设半径为xcm,则OD=(x-4)cm在RtABOD中,由勾股定理得：OD2+BD2=OB2(x-4)2+82=x2解得：x=10.答：这个圆形截面的半径为 10cm.C点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解.8.如图，A是以BC为直径的。。上一点，AD±BC于点D,过点B作。。的切线，与CA的延长线相交于点E,G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F,延长AF与CB的延长线相交于点P.(1)求证：BF=EF:（2）求证：PA是。。的切线;（3）若FG=BF,且。。的半径长为3J2,求BD的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）272分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得 △BFg△DGC且△FEg△GAC,得到对应线段成比例，再结合已知条件可得 BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到 /FA8/EBQ结合BE是圆的切线，得到PA!OA,从而得到PA是圆。的切线；（3）点F作FHI±AD于点H,根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出 BD的长度.详解：证明：（1）.「BC是圆。的直径，BE是圆。的切线,••EBXBC；又;AD±BC,•.AD//BE.•.△BFC^ADGQAFEC^AGAC,.BFCFEFCFDG一CG'AG-CG'BFEF• = ，DGAG•・G是AD的中点,DG=AG,BF=EF;(2)连接AO,AB.•.BC是圆。的直径,••/BAO90:由(1)得：在Rt^BAE中，F是斜边BE的中点,.AF=FB=EF,可得/FBA=ZFAB,又「OA=OB,/ABO=ZBAO,.BE是圆O的切线，/EBO=90；••/FBA+ZABO=90；••/FA9/BAO=90;即/FAO=90°,••PAXOA,•.PA是圆O的切线；(3)过点F作FH,AD于点H,•.FH//BC,由(2),知/FBA=ZBAFBF=AF.•BF=FG,.AF=FG,・•.△AFG是等腰三角形.•.FHXAD,.•.AH=GH,DG=AG,DG=2HG.即西1DG2'.FH//BD,BF//AD,ZFBD=90；••・四边形BDHF是矩形,.•.BD=FH,1.FH//BC••.△HFG^ADCQ

FHHGCDDG12’CD2FHHGCDDG12’CD2232.15,3.O的半径长为，BC=672，.•.BD=-BC=2垃.3点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质 .结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键 ^9.已知，ABC内接于eO,点P是弧AB的中点，连接PA、PB;(1)如图1,若ACBC,求证：ABPC;(2)如图2,若pa平分CPM,求证：ABAC;24(3)在(2)的条件下，若sinBPC，AC8,求AP的值.25图1 卸【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2J5.【解析】【分析】(1)由点P是弧AB的中点，可得出AP=BP通过证明APCBPC,ACEBCE可得出AEC BEC进而证明ABPC.(2)由PA是/CPM的角平分线，得到/MPA=ZAPC,等量代换得到/ABC=ZACB,根据等腰三角形的判定定理即可证得AB=AC.⑶过A点作AD±BC有三线合一可知AD平分BC,点O在AD上，连结OB,则/BOD=/BAC,根据圆周角定理可知/BOD=ZBAC,/BPC=ZBAC,由/BOD=ZBPC可得BDsinBODsinBPC——，设OB=25x,根据勾股定理可算出 OB、BD>OD、AD的OB长，再次利用勾股定理即可求得 AP的值.【详解】解：(1).••点P是弧AB的中点，如图1,，AP=BP,在△APC和4BPC中APBPACBC,PCPC•.△APC^ABPC(SS§,/ACP=/BCP,在△ACE和△BCE中ACBCACPBCP,CECE•.△ACE^ABCE(SAS,/AEC=/BEG••/AEG/BEC=180:/AEC=90；••ABXPC;•••PA平分/CPM,/MPA=ZAPC,•・•/APG/BPG/ACB=180；/MPA+/APC+/BPC=180；/ACB=/MPA=/APC,•••/APC=/ABC,/ABC=/ACB,•.AB=AC；(3)过A点作ADXBCXBC于D,连结OP交AB于E,如图2,卸 ffi：由(2)得出AB=AC,・AD平分BC,・•点O在AD上，连结OB,则/BOD=/BAC,••/BPC=/BAC,24BDsinBODsinBPC=———，25OB设OB=25x,贝UBD=24x,-OD=>yOB_B5T=7x，在RtVABD中，AD=25x+7x=32x,BD=24x,•AB=JAD2_BD2=40x,,.AC=8,.-.AB=40x=8,解得：x=0.2,.•.OB=5,BD=4.8,OD=1.4,AD=6.4,丁点p是AB的中点，••OP垂直平分AB,1•.AE=—AB=4,/AEP=/AEO^90,2在RtAEO中，OE=Jao2~AE23,PE=OP-OE=5-3=2,在RtAPE中，AP=Jpe2AE2J2242275•【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大 ^10.在平面直角坐标系中，已知点A（2,0）,点B（0,2y3）,点o（0,0）.AAOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB',点A、B旋转后的对应点为A,B',记旋转角为农圉I 图2（I）如图1,AB恰好经过点A时，求此时旋转角a的度数，并求出点B'的坐标；（n）如图2,若0°Va<90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证：AAUBB';（出）若0°Va<360°,求（n）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）.【答案】（I）a=60°,B'（3,代）；（II）见解析；（出）点P纵坐标的最小值为-2.【解析】【分析】(I)作辅助线,先根据点A(2,0),点B(0,八：3)，确定/ABO=300证明4AOA是等边三角形，得旋转角“=60。,证明ACOB是30。的直角三角形，可得B'的坐标；(II)依据旋转的性质可得/BOB'=/AOA'="OB=OB',OA=OA',即可得出/OBB'=/OA'A11=_(180-a),再根据/BOA'=90°+四边形OBPA的内角和为360°,即可得到/BPA'=90°,即AA'XBB';II(出)作AB的中点M(1,\3),连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP、AB=2为半径的圆，即可得到当PM//y轴时，点P纵坐标的最小值为13-2.【详解】/ABO=30；/BAO=60,由旋转得：OA=OA',/A'=/BAO=60°,・•.△OAA，是等边三角形，-a=/AOA'=60°,.OB=OB'=2"阳,/COB'=90―60=30；111•••B'C=OB，=,.•.OC=3,•.B'(3,\序)，(II)证明：如图2,「/BOB'=ZAOA'=aOB=OB',OA=OA',11./OBB'=/OA'A=1(180-讣,••/BOA'=90°-+3^形OBPA'的内角和为360:••/BPA'=360-(180-a)—(90°+即90；即AA'XBB';

A'图2（出）点P纵坐标的最小值为入序-2.理由是:如图，作AB的中点M（1、3），连接MP,B••/APB=90,1，点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=^AB=2为半径的圆，除去点（2"）,・•.当PM±x轴时，点P纵坐标的最小值为炉-2.【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含30。角的直角三角形的性质，四边形内角和以及圆周角定理的综合运用，解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心，以MP为半径的圆.11.如图所示，AB是半圆。的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A,速度为1cm/s,若AB10cm,点。到AC的距离为4cm.S3S3S3S3(1)求弦AC的长；(2)问经过多长时间后，^APC是等腰三角形.【答案】(1)AC=6;(2)t=4或5或14s时，^apc是等腰三角形;5AC的(1)过。作ODLAC于D,根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得长；(2)分AC=PCAP=AGAP=CP三种情况求t值即可AC的【详解】(1)如图1,过。作ODLAC于D,易知AO=5,OD=4,从而易知AO=5,OD=4,从而AD=7u72-01)2=3,•.AC=2AD=6;(2)设经过t秒4APC是等腰三角形，则AP=10-t①如图2,若AC=PC过点C作CHI±AB于H,••••/A=ZA,/AHC=ZODA=90；•.△AHC^AADO,10-t•.AC:AH=OA:AD,即AC: =5:3,解得t二上士s,5I••・经过"s••・经过"s后4APC是等腰三角形；②如图3,若AP=AC,B由PB=x,AB=10,得至UAP=10-x,又「AC=6,则10-t=6,解得t=4s,，经过4s后4APC是等腰三角形；③如图4,若AP=CP；P与O重合,则AP=BP=5,・•.经过5s后4APC是等腰三角形.综上可知当t=4或5或单s时，4APC是等腰三角形.5【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当△BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况.12.在直角坐标系中，。为坐标原点，点A坐标为(2,0),以OA为边在第一象限内作等边AOAB,C为x轴正半轴上的一个动点(OC>2),连接BC,以BC为边在第一象限内作等边△BCD),直线DA交y轴于E点.(1)求证：△OBC^^ABD(2)随着C点的变化，直线AE的位置变化吗？若变化，请说明理由；若不变,请求出直线AE的解析式.(3)以线段BC为直径作圆，圆心为点F,当C点运动到何处时，直线EF//直线BO;这时OF和直线BO的位置关系如何？请给予说明.【答案】(1)见解析；(2)直线AE的位置不变，AE的解析式为：yT3x2J3;(3)C点运动到(4,0)处时，直线EF//直线BO；此时直线BO与。F相切，理由见解析【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可得到 OB=AB,BC=BD,/OBA=/DBC,等号两边都加上/ABC,得到/OBC=/ABD,根据“SAS到△OBX△ABD.(2)先由三角形全等，得到

/BAD=/BOC=60,。由等边ABCD,得到/BAO=60;根据平角定义及对顶角相等得到/OAE=60；在直角三角形OAE中，由OA的长，根据tan60的定义求出OE的长，确定出点E的坐标，设出直线AE的方程，把点A和E的坐标代入即可确定出解析式.(3)由EA//OB,EF//OB,根据过直线外一点作已知直线的平行线有且只有一条，得到 EF与EA重合，所以F为BC与AE的交点，又F为BC的中点，得到A为OC中点，由A的坐标即可求出C的坐标；相切理由是由F为等边三角形BC边的中点，根据主线合一”得到DF与BC垂直，由EF与OB平行得到BF与OB垂直，得证.【详解】(1)证明：•「4OAB和4BCD都为等边三角形，.•.OB=AB,BC=BQ/OBA=/DBC=60,°•••/OBA+/ABC=ZDBC+ZABC,即/OBC=/ABD,在^OBC和^ABD中，OBABOBCABD,BCBD.,.△OBC^AABD.(2)随着C点的变化，直线AE的位置不变，-/△OBC^AABD,/BAD=ZBOC=60；又「/BAO=60,/DAC=60；/OAE=60,°又OA=2,在Rt^AOE中，tan60°=OE,OA贝UOE=2石，•••点E坐标为(0,-2石)，设直线AE解析式为y=kx+b,把E和A的坐标代入得:02kb2>/3b'解得,k解得,k、3b 273'••・直线AE的解析式为：y显2石.C点运动到(4,0)处时，直线EF//直线BO;此时直线BO与。F相切，理由如下:••/BOA=ZDAC=60；EA//OB,又EF//OB,则EF与EA所在的直线重合，・•点F为DE与BC的交点，

又F为BC中点，•.A为OC中点，又AO=2,则OC=4,•・当C的坐标为(4,0)时，EF//OB,这时直线BO与。F相切，理由如下：.「△BCD为等边三角形，F为BC中点，.-.DF±BC,又EF//OB,••FBIOB,•・直线BO与。F相切，(1)解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,(1)解答时先根据角的大小关系得到Z1=Z3,根据直角三角形中角的大小关系得出【点睛】本题考查了一次函数；三角形全等的判定与性质；等边三角形的性质和直线与圆的位置关系.熟练掌握相关性质定理是解题关键.13.如图，在Rt^ABC中，点O在斜边AB上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与BC,AB相交于点D,E,连接AD.已知/CAD=/B.(1)求证：AD是。。的切线；求。。的半径.ODXAD，从而证明AD为圆。的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】(1)证明：连接OD,cB\r,.OB=OD,Z3=ZB,,••ZB=Z1,Z1=Z3,在RtZXACD中,Z1+Z2=90,Z4=180-(Z2+Z3)=90,•••ODXAD,则AD为圆。的切线；1.•.DF=BF=-BD=32.AC=4,CD=2,ZACD=90•ad=Vac"_cd7=2^vZCAD=ZB,ZOFB=ZACD=90ABFO^AACD,BFQBAC~AD日口3OB即—=—产42,5.'.OB=2OO的半径为.2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键图图#••.PD是。。的切线,•••OPXPD,/OPD=90；•••sinPDOOP2OD4/PDB=30•••sinPDOOP2OD4/PDB=30:同法当DP与。。相切时,12/BDP'=30°,・・•/PDB的最大值为・・•/PDB的最大值为30°.故答案为30.(3)①结论：AD=2PC.理由：如图2理由：如图2中，连接AB,AC.02.OA=OB,/AOB=60；・•.△AOB是等边三角形,••BC=OC,.-.AC±OB,02.OA=OB,/AOB=60；・•.△AOB是等边三角形,••BC=OC,.-.AC±OB,••/AOC=/DOP=60°,/COP=/AOD,AOOD「2OCOP.,.△COP^AAOD,ADAO八———2PCOC.•.AD=2PC.②如图3②如图3中，当PD//OA时，设OD交。。于K,连接PK交OC于H.,.OP=OK,/PO&60；・•.△OPK是等边三角形，•.PD//OA,/AOP=/OPD=90°,•••/POH+/AOC=90；/AOC=60；/POH=30；L•.PH=2OP=1,OH=73PH=33,PC=,PH2—CH2 ,T（1,3）2 5—23，.AD=2PC,•・AD2=4（5+2百）=20+873.如图④中，当PA// OA时，作PKLOB于K,同法可得：PC2=12+（73-1） 2=5-2向，AD2=4PC2=20-8技③由题意1③由题意1巾CX3，在旋转过程中，点C到PD所在直线的距离d的取值范围为1甫W3【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题.B15.如图所示， ABC内接于圆O,CDAB于D；(1)如图1,当AB为直径，求证：OBCACD;(2)如图2,当AB为非直径的弦，连接OB,则(1)的结论是否成立？若成立请证明,不成立说明由；(3)如图3,在(2)