数学选修2-1圆锥曲线与方程复习小结

第二章《圆锥曲线与方程》复习小结【自主学习】【学习目标】1.了解圆锥曲线的实际背景，感受其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.经历从具体情境抽象出模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形和简单性质；3.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题；4.进一步体会数形结合的思想，了解曲线与方程的关系.【本章知识结构框图】统一定义画方程的曲线统一定义画方程的曲线求曲线的方程求曲线的交点圆锥曲线的概念曲线与方程圆锥曲线的性质圆锥曲线的概念曲线与方程圆锥曲线的性质圆锥曲线的方程焦半径公式圆锥曲线共同特征曲线的方程焦半径公式圆锥曲线共同特征曲线的方程应用应用椭圆定义椭圆定义应用双曲线定义应用双曲线定义几何背景几何背景抛物线定义抛物线定义相离椭圆的标准方程相离椭圆的标准方程应用双曲线的标准方程应用双曲线的标准方程相切相切几何背景抛物线的标准方程几何背景抛物线的标准方程相交相交椭圆几何性质椭圆几何性质圆锥曲线的弦圆锥曲线的弦应用双曲线几何性质应用双曲线几何性质抛物线几何性质抛物线几何性质【本章知识与方法导析】一、根据本章知识框图构建立体几何知识系统1.曲线与方程（1）概念：.（2）轨迹与轨迹方程的区别.2．熟练掌握求轨迹方程的常见方法试说明以下几种方法的用法及适用题型（1）五步法（直译法）求轨迹方程，你能说出是哪五步吗？.（2）待定系数法.（3）相关点法（代入法）.（4）定义法.（5）参数法.3．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质椭圆双曲线抛物线定义图形标准方程顶点坐标对称轴焦点坐标离心率渐近线准线4.直线与圆锥曲线的位置关系（1）判断方法代数方法：.几何方法：.（2）弦长的求法（弦长公式）.……5．体会本章蕴含的解析思想（1）坐标法——研究几何问题的有力工具几何图形（定量）——建立坐标系（定位）——用坐标运算研究几何性质，这是本章研究圆锥曲线的基本思路，也是坐标法用法的具体体现.（2）数形结合思想圆锥曲线与方程，一个是几何图形，一个是代数方程，坐标法建立起了它们的关系，必然在研究过程中，数与形的结合是非常重要的手段，也是解决问题的重要途径.（3）“设而不求”思想研究直线与圆锥曲线位置关系，用韦达定理“设而不求”，能简化运算.（4）“形散神聚”——圆锥曲线的统一椭圆、双曲线、抛物线是三种外型上差异很大的几何图形，本质上却有统一的背景和定义——都是平面截圆锥得到的截口曲线；都是平面内到一定点的距离和到一条定直线（不经过定点）距离的比值是一个常数的点的轨迹，比值不同就形成了不同的曲线.6.需要注意的问题（1）研究圆锥曲线，注意“位”和“量”两个方面，比如求标准方程，除需要基本量之外，还要注意焦点的位置；（2）解决直线与圆锥曲线的交点问题时，用代数方法注意对消元后一元二次方程二次项系数是否为0的讨论；用数形结合法时注意特殊情况，如与双曲线渐近线平行，与抛物线对称轴平行等特殊情况；（3）运用定义的意识，回归定义是一种重要的解题策略，如：求轨迹时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则可根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；涉及椭圆、双曲线上的点与焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决.【课堂点金】【重难点突破】1.轨迹问题【例1】已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足求点T的轨迹C的方程.【解析】法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在△QF1F2中，，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（－，0）在轨迹上. 当|时，由，得. 又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则因此① 由得②, 将①代入②，可得 综上所述，点T的轨迹C的方程是【评析】（1）法一是直译法，法二是相关点法，注意掌握求轨迹方程的常见方法；（2）注意轨迹与轨迹方程的区别，在回答轨迹是什么图形时，注意对图形定位和定量两个方面的描述.【变式1】已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.【解析】设线段AB的中点为C，如图，则|PA|=|PB|，故|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|FB|=2>|AF|，由椭圆定义知点P的轨迹是以A、F为焦点、长轴为2的椭圆，所以轨迹方程为.2.圆锥曲线的定义及标准方程【例2】中，固定底边BC，让顶点A移动，已知，且，求顶点A的轨迹方程．【解析】取BC的中点O为原点，BC所在直线为轴，BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系，因为，所以B()，．利用正弦定理，从条件得，即．由双曲线定义知，点A的轨迹是以B、C为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为()．【评析】（1）本题用定义法求轨迹方程，最后一个环节“查漏补缺”是画龙点睛之笔，注意的范围限制；（2）熟练掌握三种圆锥曲线的定义，加强应用意识.一般说来，涉及到曲线上的点与焦点（定点）的距离，很有可能使用定义；（3）注意圆锥曲线的第二定义，它能很好的将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，达到简化运算的目的.焦半径公式，会推导即可，不必死记硬背.【变式2】（复习参考题B组第2题）如图，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB//OP，，求椭圆的方程.【解析】由题意轴，把代入椭圆方程，解得.所以，点的坐标是.直线的斜率,直线的斜率.由题意，得所以，.由已知，得.所以解得,所以.因此，椭圆的标准方程为3.焦点三角形问题【例3】已知双曲线的焦点在轴上，离心率为2，为左右焦点，P是双曲线上一点，且，求双曲线的标准方程.【解析】设双曲线方程为令，在中，由余弦定理，所以，，双曲线标准方程为.【评析】（1）由两焦点和曲线上一点形成，我们把这种三角形叫焦点三角形.焦点三角形问题的主要类型有：周长、面积、角度等，通常会用到圆锥曲线的定义、正弦定理、余弦定理、面积公式等.（2）焦点三角形的面积主要有两种求法：；（3）涉及到焦点、顶点、曲线上点（顶点以外）等问题，抓住几个特征三角形，举一反三.这是一个考察重点，容易出现离心率的值（或范围）的运算.【变式3】（复习参考题B组第1题）已知点P是椭圆上一点，且在轴上方，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，求的面积.【解析】椭圆即，所以右焦点直线PF2为，代入椭圆方程，消去得因为，所以，即点的纵坐标，所以.4.圆锥曲线的简单性质【例4】已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．（Ⅰ）求该双曲线的方程；（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标.【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得解得从而，该双曲线的方程为.（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组解得所以点的坐标为.【评析】（1）熟练掌握圆锥曲线的简单性质，掌握研究性质过程中的数形结合思想；（2）提高运算能力，是圆锥曲线学习的另外一个目的，注意自己梳理汇总常见算法，包括联立化简、复杂根式化简等.【变式4】设椭圆C：的左APQFOAPQFOxy且 （1）求椭圆C的离心率；（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆C的方程.解：⑴设Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知设，得因为点P在椭圆上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2－c2）=3ac，,故椭圆的离心率e＝EQ\f(1,2)⑵由⑴知，于是F（－EQ\f(1,2)a，0），Q△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=EQ\f(1,2)|FQ|=a所以，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为5.直线与圆锥曲线的位置关系【例5】经过点且与双曲线仅交于一点的直线有（）A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】（代数方法）直线方程设为，代入双曲线方程得当时，，此时直线与双曲线仅有一个交点；当时，，所以；综上，有四个值，即由4条直线符合题意.（几何方法）由图形观察知，当直线与渐近线平行或与双曲线相切时，直线与双曲线有1个焦点，故符合的直线有4条.【评析】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法；（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）；（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论；（4）若P在双曲线内部（含焦点的区域）时，过P只能作两条直线与双曲线仅有一个交点，它们分别与渐近线平行；若P在双曲线上时，过P能作3条直线与双曲线仅有一个交点，它们是1条切线，2条与渐近线平行；若P在双曲线外部（不含焦点的区域），且不在渐近线上时，过P能作4条直线与双曲线仅有一个交点，它们是2条切线，2条与渐近线平行；若P在双曲线的渐近线上且不为原点时，过P能作2条直线与双曲线仅有一个交点，它们是1条切线，1条与渐近线平行；若P为原点时，不能作与双曲线仅有一个交点的直线.【变式5】设抛物线的准线与轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是（） A．[－，] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]【解析】易知抛物线的准线与轴的交点为Q(-2,0)，于是，可设过点Q(-2,0)的直线的方程为，联立当时，直线与抛物线有交点，当时，，综上，.故选C.6.中点弦问题【例6】已知双曲线方程.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线，使与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．【解析】(1)即设的中点弦两端点为，则有关系．又据对称性知，所以是中点弦所在直线的斜率，由、在双曲线上，则有关系．两式相减是：∴∴所求中点弦所在直线为，即．（法二）当直线斜率不存在时，A不是弦的中点；设直线斜率为，则直线方程为，代入曲线方程，得，（*）设的中点弦两端点为，则所以，.代入（*）式，知，所以，所求中点弦所在直线为，即．(2)可假定直线存在，而求出的方程为，即方法同(1)，联立方程，消去y,得然而方程的判别式，无实根，因此直线与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线不存在．【评析】（1）通过将弦端点的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁.（2）实际上，若给的定点P在椭圆内或抛物线内、双曲线内（含焦点的区域），则，即一定存在以P为中点的弦；若定点P在双曲线外，则有可能不存在以P为中点的弦.【变式6】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．【解析】解法一：设、关于直线对称，直线方程为，代入得，，设、，中点，则∵点在直线上，∴∴，代入，得，即解得解法二：设，关于对称，中点，则相减得：∴，则∵在抛物线内部，∴化简而得，即，解得．7.求范围问题【例7】已知椭圆与直线相交于两点A、B．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．【解析】由，得因为，所以此时 由，得，∴即，故由，得∴由得，∴所以椭圆长轴长的取值范围为 【评析】求范围和最值的方法：几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．【变式7】已知P是椭圆C：的动点，点关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为，求点P的横坐标的取值范围.【解析】由，得，设，，，解得或又或 8.定点、定值问题【例8】已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.求线段的中点的轨迹的方程;设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点.【解析】（1）由已知得,则直线的方程为:,令得,即,设,则,即代入得:,即的轨迹的方程为.(2)在中令得,则不妨设,于是直线的方程为:,直线的方程为:,则,则以为直径的圆的方程为:,令得:,而在上,则,于是,即以为直径的圆过两定点.【评析】定点与定值问题的处理一般有两种方法：（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．【变式8】已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以，.又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，.所以直线EF的斜率.即直线EF的斜率为定值，其值为.9.解析几何中的向量方法【例9】设双曲线C：的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于轴的直线与双曲线C交于不同的两点P、Q.（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且，求点T的坐标；（2）求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程；（3）过点F（1，0）作直线与（Ⅱ）中的轨迹E交于不同的两点A、B，设，若（T为（Ⅰ）中的点）的取值范围.【解析】（1）由题，得，设则由.3,1.3,1212020202021yxyxQAPA即又在双曲线上，则②联立①、②，解得由题意，∴点T的坐标为（2，0）（2）设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为（x，y）由A1、P、M三点共线，得③由A2、Q、M三点共线，得eq\o\ac(○,4)联立③、④，解得∵在双曲线上，∴∴轨迹E的方程为（3）容易验证直线的斜率不为0.故可设直线的方程为中，得设则由根与系数的关系，得⑤⑥∵，FBFA，FBFA将⑤式平方除以⑥式，得由∵又故令∴，即∴..217)47(816288)(||222ttttfTBTA而，∴∴【评析】向量是代数与几何的桥梁，在本章中承担着重要角色，主要注意掌握以下内容：（1）向量的坐标运算：加、减、数乘、数量积；（2）向量共线的充要条件；（3）向量垂直的充要条件.用向量处理垂直问题，有着相当明显的优越性，不用讨论斜率是否存在，而且一般不会出现分式运算.【变式9】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2EQ\r(2).记动点C的轨迹为曲线W.(1)求W的方程；(2)经过点（0,EQ\r(2)）且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围；（3）已知点M（EQ\r(2)，0），N（0,1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.解：(Ⅰ)设C（x,y）,∵,,∴,∴由定义知，动点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为2EQ\r(2)的椭圆除去与x轴的两个交点.∴.∴.∴W:.(2)设直线l的方程为，代入椭圆方程，得.整理，得.①因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于，解得或.∴满足条件的k的取值范围为（3）设P（x1,y1）,Q(x2,y2),则＝（x1+x2，y1+y2),由①得.②又③因为，，所以.所以与共线等价于.将②③代入上式，解得.所以不存在常数k，使得向量与共线.【总结提升】1.各类圆锥曲线的焦半径可系统归纳如下：设设圆锥曲线C上任意一点，F是其焦点，是与F相应的准线.eq\o\ac(○,1)当C为椭圆时，若F是左焦点，那么|PF|=，（改为“；”）若F是右焦点，那么那么|PF|=；②当C为双曲线时，若F是左焦点，那么|PF|=;若F是右焦点，那么那么|PF|=；③当C为抛物线时，|PF|=.特别地：若AB是圆锥曲线的焦点弦，且A（），B（），那么：④当AB是椭圆的左焦点弦时，；当设AB是椭圆的右焦点弦时，.当AB为通径时,.⑤当AB是双曲线的左焦点弦时，；当设AB是双曲线的右焦点弦时，；当AB为通径时；⑥设AB是抛物线的过焦点的弦，那么|AB|=.2.设而不求的应用“设而不求”是解决直线和圆锥曲线位置关系的主要手段，代数结构恒等变形与转化能力，驾驭方程组的基本能力.设直线，圆锥曲线C：，联立，消去，总可以整理得到关于的一元二次方程：其判别式（1）位置关系的判定与C相离；与C相交；与C相切（2）弦长问题设与C相交于A（），B（），直线的斜率为，则弦长|AB|==这里必须注意隐藏了条件“”及韦达定理（3）中点问题设与C相交于A（），B（），线段AB的中点为C那么（4）解析几何问题中的向量结构注意两个应用方向,一是利用向量的几何性（中点、定比分点等），二是将想了结构坐标化（即将向量方程转化为代数方程组、将向量不等式转化为代数不等式组），进而用设而不求方法求解.纵观近年高考试题，以后者为主.3.解析几何问题中常见的数学方法.（1）坐标法；（2）定义法；（3）配方法；（4）判别式法；（5）消元法；（6）换元法；（7）待定系数法；（8）点差法.【自主评价】【自主评价1】一、选择题(共5个小题，每小题只有一个正确答案)1.已知是三角形的一个内角，且，则方程表示（）（A）焦点在x轴上的椭圆（B）焦点在y轴上的椭圆（C）焦点在x轴上的双曲线（D）焦点在y轴上的双曲线【解析】B.由知.2.设的最小值是（） A． B． C．－3 D．【解析】，其中，故选C.3.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=()A.B.2C.D.3【解析】过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A.4.设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为().A.B.5C.D.【解析】双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以,,故选D.5.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为().A.B.C.D.【解析】抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,故选B.二、填空题(共3个小题)6.已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数的取值集合为.【解析】联立方程为(1)当a＝0时，此时方程组恰有一组解(2)当a≠0时，消去x得①若＝0，即a＝－1方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解②若≠0，即a≠－1，令△＝0得1＋，解得a＝－此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，直线与曲线只有一个公共点时实数的取值集合为．7.已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上，则椭圆的离心率为.【解析】

设，AB的中点为,代入椭圆方程得，,两式相减,得.因为AB的中点为在直线上，，，而8.已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为．则动点的轨迹方程为.【解析】由条件知，动点的轨迹为椭圆，其中半焦距为，点P在y轴上时最大，由余弦定理得，动点的轨迹方程．三、解答题(共2个小题)9.抛物线的焦点为F，过点（0，）交抛物线于不同两点A、B，以AF、BF为邻边作平行四边形FARB.求顶点R的轨迹方程.【解析】设直线AB：，A（，B（），R，由已知F（0，1） 联立可得又AB和RF是平行四边形FARB的对角线，故而由于直线和抛物线交于不同两点，故由此得或顶点R的轨迹方程为（）.10.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，两点在抛物线y＝2x2上，是AB的垂直平分线．(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论；(2)当直线的斜率为2时，求在轴上的截距的取值范围．【解析】(1)F∈|FA|＝|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等．∵抛物线的准线是x轴的平行线，y1≥0，y2≥0，依题意y1，y2不同时为0．∴上述条件等价于y1＝y2(x1＋x2)(x1－x2)＝0∵x1≠x2∴x1＋x2＝0即当且仅当x1＋x2＝0时，过抛物线的焦点F．(2)设在y轴上的截距为b，依题意得的方程为y＝2x＋b，过点A、B的直线方程可写为y＝－x＋m所以x1、x2满足方程：2x2＋x－m＝