选修2-2 322复数代数形式的乘除运算

选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算一、选择题1、复数z＝eq\f(i,1＋i)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2、设a，b为实数，若复数eq\f(1＋2i,a＋bi)＝1＋i，则()A．a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2)B．a＝3，b＝1C．a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(3,2)D．a＝1，b＝33、设复数z的共轭复数是eq\x\to(z)，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\x\to(z)2是实数，则实数t等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)4、设a是实数，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是实数，则a等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．25、设z＝3＋i，则eq\f(1,\x\to(z))等于()A．3＋iB．3－iC.eq\f(3,10)i＋eq\f(1,10)D.eq\f(3,10)＋eq\f(1,10)i6、已知复数z＝1＋i，则eq\f(z2－2z,z－1)等于()A．2iB．－2iC．2D．－27、若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2等于()A．4＋2iB．2＋iC．2＋2iD．3＋i二、填空题8、若实数x，y满足(1＋i)x＋(1－i)y＝2，则xy＝______.9、设x、y为实数，且eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)，则x＋y＝__________________________________________________________.10、已知eq\f(a＋2i,i)＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.三、解答题11、已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．12、已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝eq\f(z,2＋i)，且|ω|＝5eq\r(2)，求ω.13、计算：eq\f(3＋4i,4－3i)＋9＋2i.以下是答案一、选择题1、A[∵z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限．]2、A[∵eq\f(1＋2i,a＋bi)＝1＋i，∴a＋bi＝eq\f(1＋2i,1＋i)＝eq\f((1＋2i)(1－i),(1＋i)(1－i))＝eq\f(3＋i,2)，∴a＝eq\f(3,2)，b＝eq\f(1,2).]3、A[∵z2＝t＋i，∴eq\x\to(z)2＝t－i.z1·eq\x\to(z)2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，又∵z1·eq\x\to(z)2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝eq\f(3,4).]4、B[∵eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a－ai,2)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a＋1,2)＋eq\f(1－a,2)i为实数，∴eq\f(1－a,2)＝0，∴a＝1.]5、D[eq\f(1,\x\to(z))＝eq\f(1,3－i)＝eq\f(3＋i,10)＝eq\f(3,10)＋eq\f(i,10).]6、A[eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f((1＋i)2－2(1＋i),1＋i－1)＝eq\f(2i－2－2i,i)＝eq\f(－2,i)＝eq\f(－2i,i2)＝2i.]7、A[∵z1＝1＋i，z2＝3－i，∴z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝3＋3i－i－i2＝3＋2i＋1＝4＋2i.]二、填空题8、1解析由(1＋i)x＋(1－i)y＝2，得(x＋y)＋(x－y)i＝2.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴xy＝1.9、4解析eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)⇒eq\f(x(1＋i),(1－i)(1＋i))＋eq\f(y(1＋2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq\f(5(1＋3i),(1－3i)(1＋3i))⇒eq\f(1,2)x(1＋i)＋eq\f(1,5)y(1＋2i)＝(eq\f(1,2)x＋eq\f(1,5)y)＋(eq\f(1,2)x＋eq\f(2,5)y)i＝eq\f(1,2)(1＋3i)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(1,5)y＝\f(1,2),\f(1,2)x＋\f(2,5)y＝\f(3,2)))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5，))∴x＋y＝4.10、1解析∵eq\f(a＋2i,i)＝b＋i，∴a＋2i＝bi－1.∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.三、解答题11、解方法一(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2－2i，∴|z1|＝eq\r(22＋(－2)2)＝2eq\r(2).方法二|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3＝1×(eq\r(2))3＝2eq\r(2).(2)∵|z|＝1，∴设z＝cosθ＋isinθ，|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝eq\r((cosθ－2)2＋(sinθ＋2)2)＝eq\r(9＋4\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))).∴当sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝1时，|z－z1|2取得最大值9＋4eq\r(2)，从而得到|z－z1|的最大值为2eq\r(2)＋1.12、解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i，由题意，得a＝3b≠∵|ω|＝|eq\f(z,2＋i)|＝5eq\r(2)，∴|z|＝eq\r(a2＋b2)＝5eq