应力状态分析及强度理论

关于应力状态分析及强度理论第一页，共六十一页，2022年，8月28日14-1应力状态的概念构件在拉伸扭转弯曲基本变形情况下，并不都是沿横截面破坏的。如低碳钢屈服时，在与试件轴线成45的方向上出现滑移线如铸铁压缩时，试件沿轴线45的斜截面破坏再如铸铁轴扭转时，沿45的螺旋面破坏第二页，共六十一页，2022年，8月28日为了分析各种破坏现象，建立组合变形的强度条件，还必须研究各个不同斜截面上的应力。哪一个面上？

哪一点？

过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（StateoftheStressesofaGivenPoint）。计算应力一定要指明：第三页，共六十一页，2022年，8月28日围绕一点取单元体微元单元体单元体边长无穷小；应力沿边长无变化；单元体各个面上的应力是均匀分布的；两个平行面上的应力大小相等。第四页，共六十一页，2022年，8月28日回顾梁横力弯曲时横截面上点的应力:考虑中性层上的A点正应力等于0，切应力最大考虑梁边缘上的B点正应力最大，切应力为0

同一面上不同点的应力各不相同。此即应力的点的概念第五页，共六十一页，2022年，8月28日单向拉伸斜截面上的应力

经过计算可得到单向拉伸斜截面上的应力为:第六页，共六十一页，2022年，8月28日

即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。第七页，共六十一页，2022年，8月28日主单元体、主应力与主平面主单元体(Principlebody)：各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrinciplePlane)：切应力为零的截面。主应力(PrincipleStress）：主面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，第八页，共六十一页，2022年，8月28日单向、二向、三向应力状态三个主应力中只有一个不等于0单向应力状态第九页，共六十一页，2022年，8月28日三个主应力中有两个不等于0二向（平面）应力状态第十页，共六十一页，2022年，8月28日三个主应力都不等于0三向（空间）应力状态第十一页，共六十一页，2022年，8月28日14-2平面应力状态分析1斜截面上的应力

二向应力状态是工程中最为常见的一种应力情况，一般的单元体如图：正应力拉伸为正压缩为负切应力绕单元体顺时针转为正，反之为负第十二页，共六十一页，2022年，8月28日斜截面上的应力

通过截面外法线的方位定义截面的位置X轴正向到斜截面外法线逆时针转角为正第十三页，共六十一页，2022年，8月28日数学整理后，可得任意斜截面上的正应力和切应力:第十四页，共六十一页，2022年，8月28日10MPa20MPa30MPa例14-1单元体如图，求的斜截面上的应力x解：建立坐标系第十五页，共六十一页，2022年，8月28日可见sa和ta随着a的变化而变化，是a的函数，所以对a求导数可得到其极值。

10MPa20MPa30MPasata第十六页，共六十一页，2022年，8月28日2应力极值

若a=a0时，导数为0通过上式可以求出相差p/2的两个角度a0，它们确定两个相互垂直的面，其中一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在平面。第十七页，共六十一页，2022年，8月28日若将a0的值代入切应力公式:可得:ta0=0得到以下结论:1)切应力为0的平面上，正应力为最大或最小值；2)切应力为0的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，所以主应力就是最大或者最小的正应力。第十八页，共六十一页，2022年，8月28日将a0代入sa的计算公式，计算得到最大和最小正应力采用同样的方法对ta式求导第十九页，共六十一页，2022年，8月28日则a1确定的斜截面上的切应力是最大值或最小值。代入公式:若a

=a1时，第二十页，共六十一页，2022年，8月28日最大正应力所在的平面:最大和最小切应力所在的平面与主平面的夹角为45°最大切应力所在的平面:第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日50MPa30MPa30MPa求斜截面上的应力及三个主应力30第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日例14-2

讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其数值为:在圆轴表层，取出单元体。第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日n1和n2是截面的法线。因此主单元体应如图所示3个主应力按照代数排序第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日

圆截面铸铁试件扭转时，表面各点smax所在平面联成倾角为45°的螺旋面。由于铸铁抗压不抗拉，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日例14-3

如图所示横力弯曲的梁，求出I-I截面上的弯矩和剪力后，计算得到单元体A上的正应力

s=-70MPa,切应力t=50MPa，确定该点的主应力大小及主平面的方位。第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日取x轴向上：代入第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日

在求出梁横截面上一点的主应力后，把其中一个主应力方向与横截面相交，求此交点的主应力方向，再将其与下个相邻截面相交，可得到全梁上的一条折线，对其取极限，得到一条曲线–主应力迹线。主拉应力迹线主压应力迹线

在钢筋砼梁中，钢筋的作用是抵抗拉伸（参见第六章），所以应使钢筋尽可能沿着主拉应力迹线的方向放置。第三十页，共六十一页，2022年，8月28日三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态14-3空间应力状态特例：平面应力状态，一个主应力为零应力状态第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日三个主应力的关系：空间应力状态中：3广义胡克定律第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日=++++胡克定律:横向应变:第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日利用同样的方法可以求得y和z方向上的线应变。最后可得:切应变和切应力之间，

与正应力无关，因此:以上被称为广义胡克定律。第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日当单元体的周围六个面皆为主平面时:e1、e2、e3为主应变。主应变和主应力的方向是重合的。第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日14.4材料的破坏形式1、材料破坏的基本形式Ⅰ.

在没有明显塑性变形情况下的脆性断裂；Ⅱ.产生显著塑性变形而丧失工作能力的塑性屈服。2.应力状态对材料破坏形式的影响试验证明：同一种材料在不同的应力状态下，会发生不同形式的破坏。压应力本身不能造成材料的破坏，而是由它所引起的切应力等因素在对材料的破坏起作用；构件内的切应力将使材料产生塑性变形。在三向压缩应力状态下，脆性材料也会发生塑性变形；拉应力则易于使材料产生脆性断裂；而三向拉伸的应力状态则使材料发生脆性断裂的倾向最大。变形速度和温度对材料的破坏形式也有较大影响。第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日1强度理论的概念14－5

强度理论(Thefailurecriteria)轴向拉、压弯曲剪切扭转弯曲

切应力强度条件(Strengthconditionforshearstress)

正应力强度条件(Strengthconditionfornormalstress)第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日(2)材料的许用应力，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的强度条件.上述强度条件具有如下特点(1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态；2、强度理论的概念(Conceptsforfailurecriteria)

是关于“构件发生强度失效起因”的假说.第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日基本观点

构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的表面现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类型，而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所引起的.

根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与形式,进行分析,提出破坏原因的假说.在这些假说的基础上,可利用材料在单向应力状态时的试验结果,来建立材料在复杂应力状态下的强度条件.第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日（1）脆性断裂:无明显的变形下突然断裂.2材料破坏的两种类型（常温、静载荷）(Twofailuretypesformaterialsinnormaltemperatureandstaticloads)屈服失效(Yieldingfailure)

材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力.2.断裂失效(Fracturefailure)（2）韧性断裂:产生大量塑性变形后断裂.第四十页，共六十一页，2022年，8月28日引起破坏的某一共同因素形状改变比能最大切应力最大线应变最大正应力第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的萌芽；杜奎特(C.Duguet)提出了最大切应力理论；麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论，这是后来人们在他的书信出版后才知道的.3四个强度理论

(Fourfailurecriteria)

伽利略播下了第一强度理论的种子；第一类强度理论

—以脆断作为破坏的标志包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论第二类强度理论—以出现屈服现象作为破坏的标志包括：最大切应力理论和形状改变比能理论第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料

就会沿最大拉应力所在截面发生脆断破坏.

最大拉应力理论（第一强度理论）

(Maximum-normal-stresscriterion)

基本假说：最大拉应力1是引起材料脆断破坏的因素.脆断破坏的条件：

1=u4第一类强度理论(Thefirsttypesoffailurecriteria)强度条件:1[第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日最大伸长线应变理论（第二强度理论)

(Maximum-normal-straincriterion)根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿垂直于最大伸长线应变方向的平面发生破坏.基本假说：最大伸长线应变1是引起材料脆断破坏的因素.脆断破坏的条件最大伸长线应变强度条件第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日最大切应力理论(第三强度理论)

(Maximum-shear-stresscriterion)基本假说:最大切应力max是引起材料屈服的因素.根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效.屈服条件5第二类强度理论(Thesecondtypesoffailurecriterion）

在复杂应力状态下一点处的最大切应力为强度条件第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日畸变能密度理论（第四强度理论）(Maximum-distortion-energycriterion)基本假说：畸变能密度vd是引起材料屈服的因素.单向拉伸下，1=

s，

2=

3=0，材料的极限值

强度条件屈服准则第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日相当应力（Equivalentstress)把各种强度理论的强度条件写成统一形式r

称为复杂应力状态的相当应力.第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日适用范围(Theappliancerange)(2)塑性材料选用第三或第四强度理论；(3)在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏，故选用第一或第二强度理论；各种强度理论的适用范围及其应用（Theappliancerangeandapplicationforallfailurecriteria)(1)一般脆性材料选用第一或第二强度理论；(4)在二向和三向等压应力状态时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论.第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日强度计算的步骤(Stepsofstrengthcalculation)

(1)外力分析：确定所需的外力值；(2)内力分析：画内力图，确定可能的危险面；(3)应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体，求主应力；(4)强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行强度计算.第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日例题14-5根据强度理论,可以从材料在单轴拉伸时的可推知低碳钢类塑性材料在纯剪切应力状态下的.纯剪切应力状态下:1=,2=0,3=–按第三强度理论得强度条件为：另一方面，剪切的强度条件是：所以[]=0.5

第五十页，共六十一页，2022年，8月28日[]为材料在单向拉伸时的许用拉应力.材料在纯剪切应力状态下的许用切应力为[].

按第四强度理论得强度条件为：按第三强度理论得到：按第四强度理论得到：[]=0.5

[]≈0.6

第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日

例题14-6对于图示各单元体，试分别按第三强度理论及第四强度理论求相当应力.

120MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa120MPa(a)(b)

140MPa

110MPa

(C)140MPa80MPa70MPa第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日

(c)140MPa80MPa70MPa(d)50MPa70MPa40MPa30MPa（3）单元体（c）（4）单元体（d）第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日F解：危险点A的应力状态如图例题14-7直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN,材料为铸铁，[]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度.故安全.FTTAA

第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日例题14－8两端简支的工字钢梁承受载荷如图所示已知其材料Q235钢的许用为=170MPa，=100MPa.

试按强度条件选择工字钢的型号.0.42200kN200kNCDAB0.421.662.50第五十五页，共六十一页，2022