电动力学第二章 郭硕鸿第三版

第二章静电场静电场：静止电荷或电荷分布不随时间变化产生的电场一•主要内容：应用电磁场基本理论解决最简单的问题：电荷静止或电荷分布不随时间变化，产生的场不随时间变化的静电场问题。本章研究的主要问题是：在给定自由电荷分布及介质和导体分布的情况下如何求解静电场。由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，并不直接求解静电场的场强，而是通过静电场的标势来求解。首先根据静电场满足的麦克斯韦方程，引入标势，讨论其满足的微分方程和边值关系。在后面几节中陆续研究求解：分离变量法、镜像法和格林函数法。最后讨论局部范围内的电荷分布所激发的电势在远处的展开式。知识体系:1.静电场的微分方程：VxE=0V・D=p边值关系：n1.静电场的微分方程：VxE=0V・D=p边值关系：nxE2—E1）=0「n•"—D1）=厂广静电场的能量：W=1』E•DdV22.静电边值问题的构成：O中

£—^22Onpv2中=—r1£1S2So中—£1On=一b微分方程边值关系A引入电势：E=—V中S*2中i£丛I、2on|W=1』12pV2^=—£=—bS边界条件（由唯一性定理给出）斜或?边界条件（由唯一性定理给出）son、S3.静电边值问题的基本解法:（1）镜像法（2）分离变量法条件：电势满足拉普拉斯方程：V2p=0（3）电多极矩（4）格林函数法二.内容提要：静电场的电势及其微分方程：（1）电势和电势梯度因为静电场为无旋场，即VxE=0，所以可以引入标量函数中，引入后E=—V中电势差：空间某点电势无物理意义，但两点间电势差有意义选空间有限两点P—Q甲_甲=~^qE-dl参考点：（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点中8=0（QT8）中p="E-dl（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。电荷分布在有限区域时的几种情况的电势（1）真空中点电荷平（P）=j°°*^-dl=-^~P4k8r34k8r无限大均匀线性介质中点电荷：平=£4ksr（2）电荷组：平（p）=£—g—.]4双r（3）连续分布电荷：无穷远处为参考点9（P）=JP4*（2）电势满足的微分方程和边值关系

泊松方程：V2^=--£其中P仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。⑵对p=0的区域：电势满足拉普拉斯方程：V2甲=0边值关系A・两介质界面上边值关系9|=r|Sd99|=r|Sd9£dn2S-£—11dn=-b（S为分界面）(n由1—2)SB・导体与介质界面上的边值关系=-b=jbdSSS=jbdSSnE=—=—-n£dnC・导体与导体界面上的边值关系[9lL=[9lL=92I气告=biSdn其中。］,七是导体的电导率静电场的能量W=1jE-DdV

2^用电势表示:W=1jp甲dV2v1注意：①1p甲不是静电场的能量密度；p是自由电荷密度，而甲则是空间所有电2荷的电势

②W=2jP中dV只适用于静电场。用电势表示:唯一性定理：均匀单一介质当区域v内自由电荷分布p（x）已知，中满足v2^=-£，若v边界上甲|已知，或V边界上竺已知，则V内场（静电场）唯一确定。dnS一当①甲I或竺已知

sdn均匀单一介质中有导体当区域V内有导体存在，给定导体之外的电荷分布p（x），每个导体电势七或带电量，则当①甲I或竺已知

sdn静电边值问题的构成:V2(p=-—18微分方程d中

V2(p=-—18微分方程d中

8-^2-2dn气I=也1

1S2sd中-81dnS叫sdnS-C＞边值关系—边界条件（1）镜像法：理论依据：唯一性定理，采用试探解的方法。1.镜像法概念、条件•镜像法：用假想点电荷来等效地代替导体或介质边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。•条件：①所求区域内只能有少许几个点电荷（只有点电荷产生的感应电荷才能用点电荷代替。）或是简单的连续分布。导体边界面形状规则，具有一定对称性。给定边界条件。•要求：①做替代时，不能改变原有电荷分布（即自由点电荷位置、Q大小不能变)。泊松方程不能改变。所以假想电荷必须放在所求区域之外。不能改变原有边界条件，通过边界条件确定假想电荷的大小和位置。一旦用了假想等效电荷，不能再考虑边界面上的电荷分布。坐标系根据边界形状来选择。(2)分离变量法：•条件：电势满足拉普拉斯方程：V2甲=0A・空间处处p=0，自由电荷只分布在某些介质(如导体)表面上，将这些表面视为区域边界，可以用拉普拉斯方程。B・在所求区域介质中有自由电荷分布，若这个自由电荷分布在真空中，产生的势中0为已知，则区域V中电势可表示为两部分的和甲二甲+甲，甲不满足V2中=0，但表面上的电荷产生的电势使V2时=0满足，仍可用拉普拉斯方程求解。注意：边值关系还要用中\而不能用甲l。•拉普拉斯方程V2甲=0的通解：轴对称通解：平(R,。)=z(aRn+业1)P(cos6)nRn+1nnP(cos6)为勒让德函数，P=1P(cos6)=cos6P(cos6)=2(3cos26-1)…球对称通解：若甲与6,中均无关，即甲具有球对称性，则通解为：bP(R)—a+—R•解题步骤1.选择坐标系和电势参考点坐标系选择主要根据区域中分界面形状参考点主要根据电荷分布是有限还是无限

2.分析对称性，分区域写出拉普拉斯方程在所选坐标系中的通解3.根据具体条件确定常数（1）外边界条件：电荷分布有限甲导体边界可视为外边界，甲|s给定，或给定总电荷Q,或给定。电荷分布无限，一般在均匀场中，E=E0—用t-E0rcos0=-E0z（直角坐标或柱坐标）（2）内部边值关系：介质分界面上8—^11dn=8—2dnS表面无自由电荷4・电多极矩讨论电荷分布在小区域内,而场点又距电荷分布区较远，即l<<r（1）电势的多极展开：（）1rpG）,朴1=——Jdv'4兀8y4兀8r=中（0）+中（1）+中（2）+q1…111yd2=—P-V+yD4兀8R4兀8,,R4兀86j.式中Q=』pdv'体系的总电荷VP=』px'dv'——体系的电偶极矩VD=j3xxp（x）dvf——电四极矩ijVij

（1）意义：小区域内电荷体系在远处的电势可以看成是位于原点的点电荷，偶极子，电四极子，电八极子等产生的势的叠加。（2）电偶极矩尸=JP*小'依赖于原点的选取，但当系统中正、负电荷数量一样多时，尸与原点无关。（3）对点电荷系统P=Zq*，D=3工q**TOC\o"1-5"\h\ziiiii\o"CurrentDocument"ii（4）当电荷分布关于原点对称时P二0一（2）小区域电荷体系在外电场中的相互作用能W=JpCdv二W（0）+W（1）+W（2）+其中W（0）=qp（0）,q二jpOv是点电荷在外电场中的相互作用能iW（1）=p・V七（0）=-p•Ee（0）是电偶极子在外电场中的相互作用能W（2）=