多目标决策层次法讲义

自我介绍

姓名：盛积良职称：教授学历：博士研究生学位：博士专业：管理科学与工程研究方向：金融工程、管理决策相关参考资料运筹学，胡运权，清华大学出版社（第三版）管理决策与应用熵学，邱婉华，机械工业出版社复杂系统建模与仿真，方美琪、张树人系统工程理论与方法，汪应洛，高等教育出版社决策理论与方法，郭立夫等，高等教育出版社数据包络分析及其应用，吴文江，中国统计出版社数据包络分析，魏权龄，科学出版社投资学，博迪，机械工业出版社Options,Futures,andotherderivatives,清华大学出版社公司理财，Ross，机械工业出版社相关杂志管理科学学报系统工程理论与实践系统工程学报管理工程学报中国管理科学系统管理学报情报学报Managementscience(MS)Operationresearch(OR)国家自然科学基金委管理科学部30种重要期刊层次分析法AnalyticHierarchyProcessAHP层次分析法建模一问题的提出日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准（一个或多个）选择某一种方案。例1购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。例2旅游假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。例3择业

面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以去选择，一般依据工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。例4科研课题的选择由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。

面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不便。T.L.saaty等人20世纪在七十年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法。层次分析法（AnalyticHierarchyProcess,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统化的、层次化的分析方法。过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分析的数学工具之一。层次分析法的基本思路：与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体一致。选择钢笔质量、颜色、价格、外形、实用钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4质量、颜色、价格、外形、实用进行排序将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序经综合分析决定买哪支钢笔二层次分析法的基本步骤买钢笔质量颜色价格外形实用可供选择的笔1建立层次结构模型

一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间是准则层或指标层。例1的层次结构模型准则层方案层目标层选择旅游地景色费用居住饮食旅途苏州、杭州、桂林例2层次次结结构构模模型型准则则层层A方案案层层B目标标层层Z若上上层层的的每每个个因因素素都都支支配配着着下下一一层层的的所所有有因因素素，，或或被被下下一一层层所所有因因素素影影响响，，称称为为完全层次次结构，否则称称为不完全层层次结构构。目标层合理选择科研课题A成果贡献B1人才培养B2课题可行性B3课题D1课题D2课题D3应用价值

c1科学意义

c2难易程度c3研究周期c4财政支持c5方案层准则层1例3层次结构构模型准则层2构建了层层次结构构模型，，决策就就转化为为待评方方案关于于具有层层次结构构的目标标准则体体系的排排序问题题，AHP方法法采用优优先权重重作为区区分方案案优劣程程度的指指标。优先权重重是一种种相对度度量数，，表示方方案相对对优劣的的程度，，其数值值介于0和1之之间。在给定的的决策准准则之下下，数值值越大，，方案越越优，反反之越劣劣。方案层各各方案关关于目标标准则体体系整体体的优先先权重，，是通过过递阶层层次从上上到下逐逐层计算算得到的的。这个个过程称称为递阶阶层次权权重解释释过程。。递阶层次次权重解解释的基基础，是是测算每每一层各各元素关关于上一一层次某某元素的的优先权权重。这种测算算是通过过构造判判断矩阵阵来实现现的，也也就是以以相邻上上一层某某元素为为准则，，该层次次元素两两两比较较判断，，按照特特定的比比例标度度将判断断结果数数量化，，形成判判断矩阵阵。然后，计计算判断断矩阵的的最大特特征值和和相应的的特征向向量，以以特征向向量各分分量表示示该层次次元素相相对相邻邻上一层层某元素素的优先先权重，，整个计计算沿着着递阶层层次结构构，从上上到下逐逐层进行行。最后，计计算出方方案层各各方案关关于整个个目标准准则体系系的优先先权重。。层次分分析法因因此而得得名。设某层有个因素，2构构造成对对比较矩矩阵要比较它它们对上上一层某某一准则则（或目目标）的的影响程程度，确确定在该层中中相对于于某一准准则所占占的比重重。（即即把个个因素对对上层某一目目标的影影响程度度排序））用表示第个因素相对于第个因素的比较结果，则则称为成对比较较矩阵。上述比较较是两两两因素之之间进行行的比较较，比较较时取1-9尺尺度。尺度第个因因素与第第个个因素素的影响响相同第个个因素比比第个个因因素的影影响稍强强第个个因素素比第个个因素的的影响强强第个个因素素比第个个因素的的影响明明强第个个因素比比第个个因因素的影影响绝对对地强含义比较尺度度：（1-9尺尺度的含义））2,4,6,8表示第个因素相对于第个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺度倒数的含义，根据。由上述定定义知，，成对比比较矩阵阵则称为正互反阵阵。比如，例例2的旅旅游问题题中，第第二层A的各因素素对目标标层Z的影响两两两比较较结果如如下：满足以下下性质11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311分别表示示景色、费费用、居住、饮饮食、旅途。由上表，，可得成成对比较较矩阵旅游问题题的成对对比较矩矩阵共有有6个（（一个5阶，5个3阶阶）。问题：两两进行行比较后后，怎样样才能知知道，下下层各因因素对上上层某因素素的影响响程度的的排序结结果呢？？3层次次单排序序及一致致性检验验层次单排排序：确定下层层各因素素对上层层某因素素影响程程度的过过程。用权值表表示影响响程度，，先从一一个简单单的例子子看如何何确定权权值。例如一一块石石头重量量记为1，打碎碎分成各各小块，，各块的的重量分别记为为：则可得成成对比较较矩阵由右面矩矩阵可以以看出，，即，但在例2的成对比比较矩阵阵中，在正互反反矩阵中中，，若,则称称为为一一致阵。。一致阵的的性质：：5.的的任一列列(行)都是对对应于特特征根的的特征征向量。。若成对比比较矩阵阵是一致致阵，则则我们自自然会取取对应于于最大特征根根的的归一一化特征征向量且且若成对比比较矩阵阵不是一一致阵，，Saaty等人建议议用其最最大特征根对对应的归归一化特特征向量量作为权权向量W，则这样确定定权向量量的方法法称为特征根法法.由于于连连续续的的依依赖赖于于，，则则比比大大的的越越多多，，的的不不一致致性性越越严严重重。。用用最最大大特特征征值值对对应应的的特特征征向向量量作作为为被被比比较较因素对上上层某因因素影响响程度的的权向量量，其不不一致程程度越大大，引起的判判断误差差越大。。因而可可以用数数值的大大小来衡衡量的不一致致程度。。定义一致性指指标其中为的对角线元素之和，也为的特征根之和。则可得一一致性指指标定义随机一致致性指标标随机构造造500个成对对比较矩矩阵随机一致致性指标标RI的数数值：一致性检检验：利用一一致性指指标和一一致性比比率<0.1及随机一一致性指指标的数数值表，，对进进行行检验的的过程。。一般，当当一致性性比率的不一致致程度在在容许范范围之内内，可用用其归一一化特征征向量作为权向向量，否否则要重重新构造造成对比比较矩阵阵，对加加以调整。。时，认为为4层次次总排序序及其一一致性检检验确定某层层所有因因素对于于总目标标相对重重要性的的排序权权值过程程，称为层次总排排序从最高层层到最低低层逐层层进行。。设：对总目标Z的的排序为的层次单排序序为即层层第个个因素对总总目标的权值值为：层的层次总排排序为：AB层次总排序的的一致性检验验设层对对上层(层)中中因素的层次单排序序一致性指标标为，，随机一一致性指为，，则层次总排序序的一致性比比率为：当时，认为层次总排序通过一致性检验。到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。1.建立层次次结构模型该结构图包括括目标层，准准则层，方案案层。层次分析法的的基本步骤归纳如下3.计算单排排序权向量并并做一致性检检验2.构造成对对比较矩阵从第二层开始始用成对比较较矩阵和1~9尺度。对每个成对比比较矩阵计算算最大特征值值及其对应的的特征向量，，利用一致性性指标、随机机一致性指标标和一致性比比率做一致性性检验。若检检验通过，特特征向量（归归一化后）即即为权向量；；若不通过，，需要重新构构造成对比较较矩阵。计算最下层对对最上层总排排序的权向量量。4.计算总排排序权向量并并做一致性检检验进行检验。若若通过，则可可按照总排序序权向量表示示的结果进行行决策，否则则需要重新考考虑模型或重重新构造那些些一致性比率率较较大大的成对比较较矩阵。利用总排序一一致性比率三层次分分析法建模举举例旅游问题(1)建模分别分别表示示景色、费用用、居住、饮食、、旅途。分别表示苏杭杭、北戴河、、桂林。（2）构造成成对比较矩阵阵(3)计算算层次次单排排序的的权向向量和和一致致性检检验成对比比较矩矩阵的的最大大特征征值表明通通过过了一一致性性验证证。故则该特征征值对对应的的归一一化特特征向向量对成对对比较较矩阵阵可可以以求层层次总总排序序的权权向量量并进进行一一致性性检验验，结结果如如下：：计算可可知通通过过一致致性检检验。。对总目目标的的权值值为：：（4））计算算层次次总排排序权权值和和一致致性检检验又决策层层对总总目标标的权权向量量为：：同理得得，对对总总目标标的权权值分分别为为：故，层层次总总排序序通过过一致致性检检验。。可作为为最后后的决决策依依据。。故最后后的决决策应应该去去桂林。又分分别表表示苏苏杭、、北戴戴河、、桂林林，即各方方案的的权重重排序序为四层层次分分析法法的优优点和和局限限性1系系统性性层次分分析法法把研研究对对象作作为一一个系系统，，按照照分解解、比比较判判断、、综合合的思思维方方式进进行决决策，，成成为继继机理理分析析、统统计分分析之之后发发展起起来的的系统统分析析的重重要工工具。。2实实用用性性层次次分分析析法法把把定定性性和和定定量量方方法法结结合合起起来来，，能能处处理理许许多多用用传统统的的最最优优化化技技术术无无法法着着手手的的实实际际问问题题，，应应用用范范围围很很广广，，同同时，，这这种种方方法法使使得得决决策策者者与与决决策策分分析析者者能能够够相相互互沟沟通通，，决决策策者甚甚至至可可以以直直接接应应用用它它，，这这就就增增加加了了决决策策的的有有效效性性。。3简简洁洁性性具有有中中等等文文化化程程度度的的人人即即可可以以了了解解层层次次分分析析法法的的基基本本原理理并并掌掌握握该该法法的的基基本本步步骤骤，，计计算算也也非非常常简简便便，，并并且且所所得得结果果简简单单明明确确，，容容易易被被决决策策者者了了解解和和掌掌握握。。以上上三三点点体体现现了了层层次次分分析析法法的的优优点点，，该该法法的的局局限限性主主要要表表现现在在以以下下几几个个方方面面：：第一一只能能从从原原有有的的方方案案中中优优选选一一个个出出来来，，没没有有办办法法得得出出更更好好的的新新方方案案。。第二该法中中的比比较、、判断断以及及结果果的计计算过过程都都是粗粗糙的，不不适用用于精精度较较高的的问题题。第三从建立立层次次结构构模型型到给给出成成对比比较矩矩阵，，人主主观因素对对整个个过程程的影影响很很大，，这就就使得得结果果难以以让所有的的决策策者接接受。。当然然采取取专家家群体体判断断的办办法是克服服这个个缺点点的一一种途途径。。五正正互反反阵最最大特特征值值和特特征向向量实实用算算法用定义义计算算矩阵阵的特特征值值和特特征向向量相相当困困难，，特别别是阶阶数较较高时时；成对比比较矩矩阵是是通过过定性性比较较得到到的比比较粗粗糙的的结果果，对对它的的精确确计算算是没没有必必要的的。寻找简简便的的近似似方法法。定理对于正正矩阵阵A（A的所有有元素素为正正）1）A的最大大特征征根为为正单单根；；2）对对应应正特征向向量w（w的所有分量量为正）；；3）其中是对应的的归一化化特征向量量。1幂法步骤如下a)任任取n维维归一化化初始向量量b)计计算c)归一一化，即令d)对于于预先给定定的精度，，当下式成成立时即为所求的的特征向量量；否则返返回b；e)计计算最大特特征值这是求特征征根对应特特征向量的的迭代方法，其收敛性由定理理的3）保保证。2和法步骤如下a)将将A的每一列向向量归一化化得b)对对c)归一一化按行求和得得d)计算算3根法步骤与和法法基本相同同，只是将将步骤b改为对对按行求积并并开n次方方，即三方法中，，和法最为为简便。看看下列例子子。e)计计算，最大特征征值的近似似值。列向量归一一化求和归一化精确计算，，得9、静静夜夜四四无无邻邻，，荒荒居居旧旧业业贫贫。。。。12月月-2212月月-22Friday,December23,202210、雨中黄黄叶树，，灯下白白头人。。。09:06:3109:06:3109:0612/23/20229:06:31AM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。12月月-2209:06:3209:06Dec-2223-Dec-2212、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。09:06:3209:06:3209:06Friday,December23,202213、乍见翻疑疑梦，相悲悲各问年。。。12月-2212月-2209:06:3209:06:32December23,202214、他乡生白白发，旧国国见青山。。。23十二二月20229:06:32上上午09:06:3212月-2215、比不了得得就不比，，得不到的的就不要。。。。十二月229:06上上午12月-2209:06December23,202216、行动出成成果，工作作出财富。。。2022/12/239:06:3309:06:3323December202217、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。9:06:33上上午9:06上上午09:06:3312月-229、没有失败，，只有暂时停停止成功！。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多事情努努力了未必有有结果，但是是不努力却什什么改变也没没有。。09:06:3309:06:3309:0612/23/20229:06:33AM11、成功就就是日复复一日那那一点点点小小努努力的积积累。。。12月-2209:06:3309:06Dec-2223-Dec-2212、世间成成事，不不求其绝绝对圆满满，留一一份不足足，可得得无限完完美。。。09:06:3309:06:3309:06Friday,December23,202213、不知香积寺寺，数里入云云峰。。12月-2212月-2209:06:3309:06:33December23,202214、意志坚强的的人能把世界界放在手中像像泥块一样任任意揉捏。23十二月月20229:06:33上午09:06:3312月-2215、楚塞三湘湘接，荆门门九派通。。。。十二月229:06上上午12月-2209:06December23,202216、少年十五五二十时，，步行夺得得胡马骑。。。2022/12/239:06:3309:06:3323December202217