微积分-课件第五章5-习题课

1第五章

微分方程习题课基本要求典型例题2基本要求

1.了解微分方程、解、通解、初始条件和2.掌握变量可分离的方程及一阶线性方程3.会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程,4.会用降阶法解下列方程:

特解等概念.的解法.,并从中领会用变量代换求解方程的思想.35.理解二阶线性微分方程解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,7.会求自由项形如:的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题.并了解高阶常系数线性微分方程的解法.4一、一阶微分方程求解1.一阶标准类型方程求解关键:

辨别方程类型,掌握求解步骤2.一阶非标准类型方程求解

变量代换法——代换自变量代换因变量代换某组合式标准类型:可分离变量方程,线性方程5例求下列方程的通解提示:(1)故为分离变量方程:通解6方程两边同除以x

即为齐次方程,令y=ux,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位,用线性方程通解公式求解.化为方法这是一个齐次方程.7例求下列方程的通解:提示:(1)令u=xy,得(2)将方程改写为(贝努里方程)(分离变量方程)原方程化为8令y=ut(齐次方程)令t=x–1,则可分离变量方程求解化方程为9例设F(x)＝f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(－∞,+∞)内满足以下条件:(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)的表达式.解:(1)所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:10(2)由一阶线性微分方程解的公式得于是11二、两类二阶微分方程的解法

1.可降阶微分方程的解法—降阶法令令逐次积分求解

122.二阶线性微分方程的解法

常系数情形齐次非齐次代数法13解对应齐次方程通解特征方程特征根(1)求对应齐次方程的通解此题其中(0次多项式),(二重)例14(2)求非齐次方程的特解且所以，原方程通解为◆特征根不是特征根.代入方程,得15所以，原方程通解为◆特征根是二重特征根.代入方程,得16

综上所述，1717解令则特征根例求微分方程的通解.特征方程?二阶常系数齐次线性方程通解此方程属于设所以所以因为因为所以法二1818考研数学(一)填空,3分练习(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则微分方程为解由所给通解的表达式知,是所求由微分方程的特征方程的根,于是特征方程为故所求微分方程为1919考研数学(二)选择,4分函数练习满足的一个微分方程是定理5.3与(2)对应的齐次方程(2)的通解.的通解,

是二阶非齐次线性微分方程20特征根

:例求微分方程提示:故通解为满足条件解满足处连续且可微的解.设特解

:代入方程定A,B,得得21处的衔接条件可知,解满足故所求解为其通解:定解问题的解:22例且满足方程提示:

则问题化为解初值问题:这是二阶常系数非齐次线性方程。23即即初始条件初始条件24其通解(1)对应齐次方程特征方程特征根(2)设原方程的特解为

解得则方程的通解为由初始条件,得所以,初始条件是特征根.25思考:设提示:

对积分换元,则有解初值问题:

答案:26的解.

例设函数内具有连续二阶导(1)试将x＝x(y)所满足的微分方程

变换为y＝y(x)所满足的微分方程

;(2)求变换后的微分方程满足初始条件

数,且解:上式两端对

x

求导,得:(1)由反函数的导数公式知27代入原微分方程得

①(2)方程①的对应齐次方程的通解为

设①的特解为

代入①得A＝0,从而得①的通解:28由初始条件

得故所求初值问题的解为

29例解（１）由题设可得：解此方程组，得30（２）原方程为由解的结构定理得方程的通解为属于31已知

是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式.

分析：由解的结构，先求对应齐次方程，再求非齐次方程的表达式及通解。

解：因为是对应齐次方程的两个线性无关的特解，特征方程为例.可知特征方程有两个根32对应齐次方程为对应齐次方程通解为又因为是非齐次微分方程的特解，得故所求方程为通解为特征方程为将其代入33三、微分方程的应用

1.建立数学模型—列微分方程问题建立微分方程(共性)利用物理规律利用几何关系确定定解条件(个性)初始条件边界条件可能还要衔接条件2.解微分方程问题3.分析解所包含的实际意义34解例5

某车间体积为12000立方米,开始时空气中含有的,为了降低车间内空气中的含量,用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含的的新鲜空气,同时以同样的风量将混合均匀的空气排出,问鼓风机开动6分钟后,车间内的百分比降低到多少?设鼓风机开动后时刻的含量为在内,的通入量的排出量3