高三数学 52平面向量基本定理及坐标表示复习

第二节平面向量的基本定理及坐标表示整理ppt基础梳理1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面内的两个

的向量,那么对于这一平面内的任意向量a,

一对实数λ1,λ2,使a=

.其中

,叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.(2)平面向量的正交分解一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1+λ2e2的形式,我们称它为向量a的分解.当e1,e2所在直线

时,这种分解称为向量a的正交分解.不共线有且只有λ1e1+λ2e2不共线的向量e1,e2互相垂直整理ppt(3)平面向量的坐标表示①一般地,对于向量a,当它的起点移至原点O时,其终点的坐标(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作

.②若分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,则a=xi+yj.2.平面向量的坐标运算(1)加法、减法、数乘运算向量aba+ba－bλa坐标(x1,y1)(x2,y2)a=(x,y)（x1+x2,y1+y2)（x1-x2,y1-y2）(λx1,λy1)整理ppt(2)向量坐标的求法已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2－x1,y2－y1),即一个向量的坐标等于该向量

的坐标减去

的坐标.(3)平面向量中平行(共线)向量的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a≠0,则a与b共线b=,

.终点始点λax1y2-x2y1=0整理ppt基础达标1.(必修4P73练习5改编)已知A(2,3),B(5,3),a=(x+1,x-2y)与相等，则实数x,y的值分别是

.2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b=

.3.(2011·湖南雅礼中学月考)已知点G是△ABC的重心，(λ,μ∈R),那么λ+μ=

.4.(必修4P75练习1改编)向量a=(2,5)与b=(x,-15)平行,则x=

.5.(必修4P73练习2改编)已知O是坐标原点，点A在第一象限，,∠xOA=60°,则的坐标为

.2，1(－5，14)－6整理ppt经典例题题型一平面向量基本定理【例1】如图,在△OAB中,,AD与BC交于点M,设=a,=b,以a、b为基底表示.整理ppt分析：本题可用待定系数法,设=ma+nb(m,n∈R),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值.解：设=ma+nb(m,n∈R),则=(m-1)a+nb,.因为A,M,D三点共线,所以,即m+2n=1.整理ppt而,,又因为C,M,B三点共线,所以,即4m+n=1.由,解得,所以.整理ppt变式1-1如图所示，OADB是以向量=a,=b为边的平行四边形，点C为对角线AB、OD的交点，又BM=BC,CN=CD,试用a,b表示,,.整理ppt又整理ppt题型二平面向量的坐标运算【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及,求点C、D的坐标和CD的坐标.分析：根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程组,求出坐标.整理ppt解：设点C、D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为,所以有和解得和所以点C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而=(-2,-4).整理ppt变式2-1（2010·山东改编）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n),b=(p,q)，令a⊙b=mq－np，则下面说法错误的有

.（写出所有错误说法的序号）①若a与b共线，则a⊙b=0;②a⊙b=b⊙a;③对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b).②整理ppt若a与b共线，则有a⊙b=mq-np=0，故①正确；因为b⊙a=pn-qm，而a⊙b=mq-np,所以a⊙b≠b⊙a，故②错误；易证③正确.故应该填②.解析：整理ppt题型三平面向量的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k;(2)设d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.分析：(1)由两向量平行的条件得出关于k的方程,从而求出实数k的值.(2)由两向量平行及|d-c|=1得出关于x,y的两个方程,解方程组即可得出x,y的值,从而求出d.整理ppt解：(1)∵(a+kc)∥(2b-a),又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,∴k=.(2)∵d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1,∴解得∴整理ppt变式3-1已知梯形ABCD中，,A(1,1),B(3,－2),C(－3,－7),若,求D点坐标.解：设D点坐标为(x,y),则=(x-1,y-1),=(2,-3),=(x+3,y+7),=(-6,-5),∵,∴2(y+7)+3(x+3)=0,即3x+2y+23=0,又∵,∴(x-1)+10(y-1)=0即x+10y-11=0,由,得∴D点坐标为(-9,2).整理ppt题型四向量的综合应用问题【例4】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及,试问:(1)t为何值时,点P在x轴上?在y轴上?点P在第二象限?(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.分析：利用向量相等，建立点P(x，y)与已知向量之间的关系，表示出P点的坐标，然后根据实际问题确定P点坐标的符号特征，从而解决问题．整理ppt解：(1)∵O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，∴＝(1,2)，＝(3,3)，∴

＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，解得t=－

；若点P在y轴上，则1＋3t＝0，解得t＝－；若P在第二象限，则解得－<t<－.(2)∵＝(1,2)，＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则，而无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．整理ppt变式4-1如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.解析：方法一：设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．∵，共线，∴4x－4y＝0.①又＝(x－2，y－6)，＝(2，－6)，且向量、共线，∴－6(x－2)＋2(6－y)＝0.②解由①②组成的方程组，得x＝3，y＝3∴点P的坐标为(3,3)．整理ppt方法二：设

＝t(4,4)＝(4t,4t)，则＝＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，又＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，由，共线的充要条件知(4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得t＝，∴＝(4t,4t)＝(3,3)，∴P点坐标为(3,3)．整理ppt易错警示【例】已知点A(1,2),点B(3,6),则与AB共线的单位向量为

.错解由A(1,2),B(3,6)知,∴.错解分析与共线有两种情况:一是同向共线,一是反向共线,“错解”中忽略了反向共线这一情况.正解整理ppt解析：与同向时为