第10讲 空间中平行关系的判定与性质

第24讲空间中平行关系的判定与性质一.基础知识整合1.线面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言若平面外一条直线与此平面内的一条直/尸〃气|aa\a〃a\ba线平行，则该直线与平面平行ZZ72.面面平行的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行JZZ7必，协aa,ba\今a〃§aCb=A一a〃&，b〃§3.线面平行的性质定理文字语言符号语言图形语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行a〃aa_§>*〃ban§=bJ4.面面平行的性质定理文字语言符号语言图形语言如果两个平行平面同时与第二个平面相交，那么它们的交线平行a〃§'yna=a〃n§=b.1"a〃b二.典例精析题型一：线面平行的判定例1：如图，四边形ABCD,ADEF都是正方形，MEBD,NEAE,且BM=AN.平求证：MN〃平面CED.平证明：如图，连接AM并延长交CD于点G，连接GE，因为AB\[CD,BMAMBMAMBMAMBM尸斤以二Mfr所以二，即AC=RD.又因为BD=AEBMMGMDMG+AMMD+BMAGBDAMAN平面CED，MN且AN=BM，所以二兀.所以MN||GE.又平面CED，MN面CED，所以MN||平面CED.

变式迁移1：在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：MN〃平面PAD.证明：取PD中点尸，连接AF.NF、NM.・：M、N分别为AB、PC的中点，:NF毓^CD,AM统1CD，:AM^NF.：四边形AMNF为平行四边形，：MN||AF.又AFU平面PAD,MNG平面PAD，：.MN||平面PAD.题型二：面面平行的判定农例2：:已知四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q"分别在PA、BD、PD上，且PM:MA=BN:ND=PQ:QD.求证：平面MNQ〃平面PBC.f'证明::PM：MA二BN：ND二PQ：QD，：.MQ||AD,NQ||BP.g■:BP平面PBC，NQ尸平面PBC，：.NQ||平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，：.BC||AD：.BC||AD，：.MQ||BC.：BC平面PBC，MQ平面PBC，.:MQII平面PBC.又MQHNQ=Q根据平面与平面平行的判定定理得平面MNQ||平面PBC.变式训练2：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC「B]C]、C1D1的中点.求证：平面MNP〃平面A]BD.证明：如图所示，连接B]D]，：P、N分别是D]C]、B1C1的中点，g•DMllD厂1▽只厂1II只厂1•DA/II只厂1X7dmJ3ZrBiA只厂1只厂1SZrBia只厂i.广/丫|仃1，1.又B]D]||BDT.PN^BD，又PN平面A】BDBD平面A^BD：.PN||平面A]BD同理可得MN||平面A1BD，又:MNHPN=N，:.平面PMN||平面A1BD.题型三：平行关系判定的综合应用例3：如图，在正方体ABCD—AlB1ClD1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ〃平面PAO?解：Q为CC1的中点时，平面D]BQ||平面PAO.证明如下：设Q为CC1中点，则PD^QC，连接PQ，则由PQ^DC^AB，可知四边形ABQP是平行四边形，.:AP||BQ.

z■:A^-平面D1BQ,BQ平面D1BQ，：AP||平面D1BQ.•O、P分别为BD、DD1的中点，：.OP||BD].又OP平面D1BQ,BD1平面D1BQ，•:OP||平面D1BQ.又APCPO=P,.：平面D1BQII平面PAO,:.当点Q为CC1的中点时，平面D1BQII平面PAO.变式训练3：如图，正三棱柱ABC-AlB1C1的底面边长为2,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点，点M是线段AC上的点，EC=2FB=2.则当点M在什么位置时，MB〃平面AEF?试给出证明.解：当M为AC中点时，MB||平面AEF.证明：如图，当M为AC中点时，过M解：当M为AC中点时，MB||平面AEF.VM为AC中点，・・・MG^1CE.又FB〃CE,EC=2FB,「・MG^FB..•.四边形BFGM乙g为平行四边形，・GF〃MB.又GF平面AEF,MB平面AEF,所以MB〃平面AEF.题型四：线面平行性质的应用例4：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,求证：AP^GH.证明：如图所示，连接AC,交BD于O,连接MO...四边形ABCD是平行四边形，：.O为AC中点又■:M为PC中点」AP||OM.又•.％「《平面BDM,OM平面BDM,.•AP||平面BDM,又•.•△「平面APGH,且平面APGHC平面BDM二GH,:AP^GH.变式训练4：如图所示，已知异面直线AB,CD都平行于平面a,且AB,CD在a的两侧，若AC,BD与a分别交于M,N两点，求证：警=芸1VjLzVA-X证明：如图所示，连接AD交平面a于Q,连接MQ、NQ.MQ、NQ分别是平面AMAQACD、平面ABD与a的交线.•.•CD||a,AB||a，：CD||MQ,AB\NQ.于是MC二篇，QDQDNAMBNAQ=NB,：'MC=ND'题型五：面面平行性质的应用例5：已知：平面a〃平面月〃平面"，两条异面直线l、m分别与平面a、/3、y相交于点A、B、C和点D、E、F.求证：票=俸.BCEF

证明：如图，连接DC,设DC与平面B相交于点G,则平面ACD与平面a、B分别相交于直线AD、BG.平面DCF与平面&、y分别相交于直线GE、CF.因为。1伊"IIY，所以BG\[AD，GE||CF.于是在MDC内有BC=DG，在少。/内有州二俸.「.BCGCGCEFABDEbC=~ef-变式训练5：如图所示，设AB,CD为夹在两个平行平面a,&之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点.求证：直线MP〃平面&.证明：过点A作AEICD交平面&于E，连接DE，BE，.AE||CD，.AE、CD确定一个平面，设为Y，则«ny=AC，&V=DE.由于a||&，./C||DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，.M、P分别为AB、CD的中点」.NP||DEMN|BE.又Nl^&DE&M^^&，BE&，.NP||&，MN||&.又NPnMN=N，.平面MNP*&：：MP平面MNP，••.MP||&.题型六：平行关系性质的综合应用例6：如图，直线CD、AB分别平行于平面EFGH,E、F、G、H分别在AC、AD、BD、BC上，且CD=a，AB=b，CD±AB.求证：四边形EFGH是矩形；点E在AC上的什么位置时，四边形EFGH的面积最大？解：(1)因为CD||平面EFGH，所以CD^EF，CD\GH，所以GH\EF.同理EH^GF，所以四边形EFGH为平行四边形.又因为ABvCD，所以HE±EF.所以四边形EFGH是矩形.(2)设CE=x，AC=1，因为HE\[AB，所以序二CA，所以HE=xAB=xb.同理，EF=(1-x)DC=(1-x)a.所以S矩形efgh=HE・EF=HECEx(1-x)所以序二CA，所以HE=xAB=xb.同理，EF=(1-x)DC=(1-x)a.所以S矩形efgh=HE・EF=变式训练6：如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PADn平面PBC=l.求证：l〃BC；MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.

证明：（1）.・AQ||g。，AQ片平面PBC,BC平面PBC,.•AD||平面PBC.又.•平面PBCn平面PAD=l,."||AD||BC.（2）平行.证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ,MQ，■:M,N分别是AB,PC的中点，二MQIAD,NQIPD.而MQCNQ二Q,ADCPD二D,平面MNQ||平面PAD.：MN平面MNQ,.MN||平面PAD.三.方法规律总结1.直线与平面平行的性质定理作为线线平行的依据，可以用来证明线线平行.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线与平面平行，先证直线与直线平行.即由立体向平面转化，由高维向低维转化.证明面面平行时，要按“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的证明顺序进行.当题目中有多个平面平行时，要注意平行平面的传递性.两平面平行的判定定理的条件中直线相交很重要，而且在解题中常常被忽视.平行、行、面的转4.线线线面平面平行化关系四.课后练习作业TOC\o"1-5"\h\z一、选择题％下列说法正确的是（B）矽"、平行于同一个平面的两条直线平行顼同时与两异面直线平行的平面有无数多个'如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行直线l不在平面a内，则l〃a【解析】：A选项，若两直线相交且同时与此平面平行也是可以的；B选项，我们将异面直线都平移到空间中的某一点相交，则它们确定一个平面，与此平面平行的平面平行于这两条

异面直线，显然这样的平面有无穷多个；C、D选项，若直线与平面相交，则直线有两点在平面外，直线也不在平面内，但l与a不平行.平行、行、面的转2.若M,N分别是△△&「边AB,AC的中点，MN与过直线BC的平面&的位置关系是（C）A.MN//&B.MN与&相交或MN&C.MN//&或MN&D.MN/&或MN与&相交或MN&【解析】：当平面&与平面ABC重合时，有MN&；当平面&与平面ABC不重合时，则&C平面ABC二BCM，N分别为AB，AC的中点，「MN||BC.又MN&，BC&，：.MN邸.综上有MN||&或MN&.1.若a〃&,aa,下列三个说法中正确的是（D）①。与&内所有直线平行；②a与&内的无数条直线平行；③a与&无公共点.A.①②B.①③C.①D.②③【解析】a与平面&内的直线可能平行，也可能异面，但与&无公共点，故选B.2.下列说法正确的个数为（B）①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等.A.1B.A.1B.2C.3D.4如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（A）A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交【解析】如图M、F、G分别为AB、BC、CD的中点.•.&、F分别是AB，BC的中点，.:EFIAC.又EF平面EFG，且AC平面EFG.：AC!平面EFG.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是（A）A.平面A]BC]和平面ACD1B.平面BDR和平面BRCC.平面B]D]D和平面BDA1D.平面ADC1和平面AD1C

【解析】：如图，在截面ABC和截面ADC中CjADy^BC习平面A1BC1II平面ACD1.AC^ACCjADy^BC习平面A1BC1II平面ACD1.A13BC1=C13.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面BCC1B1的位置关系是（A）A.平行B.相交C.在平面内D.相交或平行平面ADD1A1|平面BCC1B1【解析】徉MD||平面BCCBDM平面ADD1A1J11已知平面allB，P是a、&外一点，过点P的直线m与a、&分别交于点A、C,过点P的直线n与a、&分别交于点B、D，且PA=6,AC=9，PD=8，则BD的长为（B）A.16B.24或24C.14D.20【解析】第①种情况，当P点在a、&的同侧时，设BD=x，则PB=8-x,D.PAPB24PDPB，二....BD二飞.第②种情况，当P点在a,&中间时，设PB=x.：—=.ACBD5PCPA6X8若不在同一直线上的三点A、B、C到平面a的距离相等，且A仁，则（B）A.a〃平面A.a〃平面ABCB.AABC中至少有一边平行于aC.AABC中至多有两边平行于aD.AABC中只可能有一边与a相交【解析】若三点在平面a的同侧，则a||平面ABC，有三边平行于a.若一点在平面a的一侧，另两点在平面a的另一侧，则有两边与平面a相交，有一边平行于a，故^ABC中至少有一边平行于a.5.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H、G分别为BC、CD的中点，则（B）BD〃平面EFGH，且四边形EFGH是矩形EF〃平面BCD，且四边形EFGH是梯形HG〃平面ABD，且四边形EFGH是菱形EH〃平面ADC，且四边形EFGH是梯形

【解析】::AE：EB=AF：FD=1:4,「.EF||BD且EF=1BD'H、G分别为BC、CD的中点，:HG^1BD.：.EF!HG且E"HG.：.四边形EFGH为梯形..如平面BCD且E/平面BCD.:.EFI平面BCD.二、填空题6.如图所示，在空间四边形ABCD中，MWAB,N^AD,若^=^，则MN与平面BDC的位置关系是.【解析】:•.弩二誓，：.MN||BD.又•.汨州平面BDC,BD平面BDC,MBND：.MN||平面BDC.【答案】平行已知。、b、c为三条不重合的直线，a,8,y为三个不重合平面，下面三个命题：①a〃c，b〃c习a〃b；®〃a，8〃a^Y〃8；③a〃Y，a〃Y习a〃a.其中正确命题的序号是【解析】由平行公理，知①正确；由平面平行的传递性知②正确；③不正确，因为a可能在a内.【答案】①②TOC\o"1-5"\h\z8.在空间四边形PABC中，A］、B］、C1分别是△PBC.APCA.APAB的重心，则平面ABC与平面A］B1C1的位置关系是.【解析】如图，连接PC1，PA1，并延长分别交AB，BC于E、F两点，由于Q、A1分别为重心.：.E、F分别为AB、BC的中点，连接EF.又••知二驾二2.：AC||EF.又:EF为，ABCC1EA1F11边AC上的中位线，：EF||AC，：ACIAG，又AC平平面ABC，AC平面ABC，.：成AC||平面ABC，同理AB』|平面ABCABynACy=A,，.:平面ABCy|平面ABC.【答案】平行"7.空间四边形ABCD中，对角线AC=BD=4,E是AB中点，过E与AC、BD都平行的截面EFGH分别与BC、CD、DA交于F、G、H,则四边形EFGH的周长为.【解析】•.•AC||面EFGH，AC面ABC，面ABCn面EFGH=EF，：AC||EF：：E为AB中点，：.F为BC中点，.:EF=：AC=2.同理HG=；AC=2，EH=FG=2bD=2.：.四边形EFGH的周长为8.【答案】8

如图，平面a〃平面g,△ABC与△△'B'C分别在a、&内，线段AA'、BB'.CC都交于点。，点O在a、g之间，若S用厂=手，OA：OA'=3：△ABC2则△△'B'C'的面积为【解析】根据题意有=^3：：AA'、BB'相交，.••直线AA'、BB'△ABC2确定一个平面ABA'B',•.•平面a||平面g,「AB||A'B'，易得△ABO-^ABOA3A'B'O，①△ABC~^A'B'C'，②由①得^,B=OA^=2，由②得里BJ二(3)2.s=W【答案】兵S(2),•SM，B'C'9.【答案】9%，B'C'三、解答题在三棱柱ABC—A'B'C'中，点E，D分别是B'C'与BC的中点.求证：平面A'EB〃平面ADC'.证明:连接DE，■:E，D分别是B'C'与BC的中点，「DE^AA'，.\AA'ED是平行四边形，「A'E||AD.：A'E平面ADC'，AD平面ADC'..A'E||平面ADC'.又BE||DC'，BE平面ADC'，DC'平面ADC'，「.BE||平面ADC'，:A'E平面A'EBBE平面A'EB，A'EHBE=E，.平面A'EB||平面ADC'.10.如图，在直四棱柱ABCD~AlB1ClD1中，底面是梯形，AB#CD，CD=2AB，P、Q分别是CC］、C1D1的中点，求证：面AD1C〃面BPQ.证明:•：D1Q=2dC，AB^qCD，:DQ^AB.四边形DQBA为平行四边形，.D1A^QB：：Q、P分别为D］C］、C1C的中点，.：QP||D1C.•D1CnD^A=D1，PQHQB=Q.：面AD]C||面BPQ.11.如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD—AlBlClDl的棱BC，CC，，CD，，AA1的中点，求证：(1)GE〃平面BBDD；(2)平面BDF〃平面BpH，证明:(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG||B］C］，且OG=|b1C1，BE

IB1C]，且BE^1B1Cx,：.OG^BE且OG=BE，四边形BEGO为平行四边形,：.OB^GE：：OB平面BDD1B1,GE平面BDD1B1,「.GE||平面BDD1B1.(2)由正方体性质得°Q广TOC\o"1-5"\h\zBDIBD,■:BD平面BDF,BD平面BDF，-.BD||平面BDF,连接A1[:/p，.^，，，罗…HB，D]