维纳过程和应用

摘要1引言4维纳过程42.1独立增量过程42.2维纳过程的定义52.3维纳过程的特点52.4维纳过程的性质62.5维纳过程在区间［t,s］上加权线性组合7维纳过程的应用83.1股票价格的行为模式83.2维纳过程下四种死力假设的增额寿险精算模型12结束语17参考文献182/20维纳过程及其应用薛翔信息工程大学摘要：本文叙述了维纳过程的基本定义和概念，并介绍了维纳过程的特点和性质以及与维纳过程有关的在生活中的应用。通过对股票价格的行为模式的理论分析，可以看出维纳过程作为随机过程中的一个具体模型在生活中是有重要意义的。通过对在维纳过程下，四种常用的死力解析形式的分析，可以看出维纳过程对保险实务有一定的理论指导意义。关键词：维纳过程；随机变量；独立增量；正态分布TheWienerprocessanditsapplicationXueXiang

NanjingUniversityofInformationScienceandTechnologyAbstract:ThispaperdescribestheWienerprocessandthedefinitionoftheconcept,andintroducedthecharacteristicsandthenatureoftheWienerprocessandWienerprocessinlifeapplication.Bymeansofthetheoryonstockpricebehaviorpatternanalysis,itcanbeseenthattheWienerprocessasastochasticprocessinaspecificmodelinlifeisimportant.ThroughtheanalysisoffourcommonlyusedtoanalyticalformintheWienerprocess,wecanseeWienerprocessfortheinsurancepracticehasacertaintheoreticalsignificance.Keywords:Wienerprocess;randomvariable;independentincrement;normaldistribution3/201.引言布朗运动的数学模型就是维纳过程布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用w(t)来表示运动中一个微小粒子从时刻t=0到时刻t>0的位移的横坐标，并令W(0)=0。根据Einstein的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段(S,t］上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(S)服从正态分布，那么在不相重叠的时间段，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移W(t)具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说w(t)具有平稳增量。2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。定义：｛X(t),t>0｝是二阶矩过程，那么我们就称X(t)-X(s),0<s<t为随机过程在区间(s,t］上的增量。若对任意的n(ngN+)和任意的0<t0<t1<•••<<，n个增量X(t)-X(t),X(t)-X(t)，…，X(t)-X(t)1021nn-1是相互独立的，那么我们就称｛X(t),t>0｝为独立增量过程。我们可以证明出在X(0)=0的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量X(t)-X(s),(。<s<t)的分布所确定。如果对hgR和0<s+h<t+h,X(t+h)—X(s+h)与X(t)—X(s)的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量X()-X(s)的分布函数只与时间差t—S(0<s<t)有关，而与t和s无关(令h=-s便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。2.2维纳过程的定义给定二阶矩过程｛W(t),t>0｝，若满足具有独立增量；对Vt>s>0，有增量W(t)-W(s)~N(0q2(t-s)),且b>0;W(0)=0，则称此过程是维纳过程。由(ii)我们可得出维纳过程增量的分布只依赖于时间差，故维纳过程是齐次的独立增量过程，并且也服从正态过程。事实上对任意n(n>1)个时刻0<ti<12<...<tn(记t0=0),把W(tk)写成W(t)=丈[W(t)-W(t)],k=1,2,-..,n,kii-1i=1我们由(i)—(iii)知，它们都是独立的正态随机变量的和，由n维正态变量的性质可得出(W(匕),W化)，…,W(tn))是n维正态变量，即｛W(t),t>0｝是正态过程。所以其分布依赖于它的期望函数和自协方差函数。由(ii)，(iii)可知，W(t)~N(0,c2t)，故维纳过程的期望与方差函数为E[W(t)]=0，D(t)=c2t，上式中c2叫做维纳过程的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。得自协方差函数为C(s,t)=R(s,t)=c2min｛s,t｝s,t>02.3维纳过程的特点它是一个Markov过程。故未来推测所需的数据信息就是该过程的当前数据值；维纳过程具有独立增量。即该过程在任意一个时间区间上变化的概率分布，与其在其他的时间区间上变化的概率无关；在任何有限时间上，维纳过程的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度的增长而呈线性增加。2.4维纳过程的性质(1)基本性质对VteA*,—维维纳过程在t时刻是一个随机变量，其概率密度函数是：这是因为根据维纳过程的定义得出当s—0时，能推出W(t)的分布：W—W-W0〜N(0,t)它的数学期望是零：E(Wt)—0它的方差是t:Var(W)—E(W2)-E2(W)—E(W2)-0—E(W2)—t

ttttt在维纳过程的独立增量的定义中，令12—t，S2—11—s<t，S1—0，那么W—W—W〜N(0,s)和W—W—W—W〜N(0,t—s)都是相互独立的随机变量，并St1S1tS12S2且cov(W,W)—E[(W—E(W))-(W—E(W))]—s故在两不同时刻0<s,t,W与W的协方差和相关系数是：tscov(W,W)-min(s,t),corr(W,W)-5此)—m吃t)—:min(s,t)ststbbstmax(s,t)W.s*t(2)即时最值维纳过程中的即时最大值M—maxW与W的联合概率分布是：0<s<tsf(m,w)—2(2m—W)e-亍,m>0,w<mMt,Wtt*'2兀t而即时最大值的分布f是对-8Vwvm的积分:tf(m)—fmf(m,w)dw=jm2(2m—w)e-七少dw=：2e2tMt—8MtW—8t°2W"t

所以有即时最大值的数学期望：I—1'兀EM=卜mf(m)dm=jfnm^^e2dm=I—1'兀t0M0曲因为维纳过程是上下对称的，所以其即时最小值为其即时最大值的相反数。(3)对称性质尺度不变性：对Va尺度不变性：对VagR+或>0,随机过程叩品匕=+吮依然是一个维纳过时间反转性：对VTgR，T>0，可得随机过程(V):V=W-W和(W)+t0<t<TtTT-tt0<t<T性质相同。时间反演性：随机过程(Vt)t>0:V0=0,Vt>0,匕=tW也是一个维纳过程。t空间对称性：随机过程(y)t>0:yt=^w^也是一个维纳过程。(4)时间平移不变性和马尔可夫性质我们说维纳过程具有马尔可夫性质，即在任意一点之后的走势仅依赖于当前这一点值，而与先前的取值没有关系。也即对任何的有界的连续函数小>0，E[^(W,s>t)|F|=E[^(W,s>t)WI所以维纳过程具有时间平移不变性：随机过程(V):V=W-W也是一个维纳过程。tt>0tt°+tt°而且维纳过程还具有强马尔可夫性：即对VT，(T为有限停时)，随机变量b=w+t-吧独立于滤波f。也就是对任何的有界的连续函数n，E[^(W,s>t)|FI=E[^(W,s>t)WI上述性质明表尽管给出的时间不是一个定时而是一个停时维纳过程在停时之后的走势依然不依赖于先前。故将停时之后的维纳过程上下反转，仍是一个维纳过程。我们用数学语言来表达，即给定一个停时T以后，随机变量：B=W1+(2W-W)1也是一个维纳ttt<TTtt>T过程。此性质也被称为维纳过程的反射原理。作为推论，我们可建立即时最大值M=maxW与W的另一种关系。假设有agR，t0<s<tst+a>0停时[=inf{t>0，W>a}，所以{Ta<t}={M^>a}。我们运用反射原理可证明出P(Mt>a)=2P(Wt>a)=P啊|>a)。2.5维纳过程在区间[t,s]上加权线性组合设：deN+，匕是实数且*号=1{W(t),t>0}是维纳过程，记t=1S=a[W(t+-)-W(t)]+a[W(t+癸)-W(t+-)]++a[W(t+s)-W(t+(d-1)S)](t,s)1d2dddd为维纳过程区间［t,s］上的线性组合。3.维纳过程的应用3.1股票价格的行为模式通过对股票价格大量的研究和理论分析，在一定程度上推动了证券市场的发展，并给证券市场其它理论的研究和分析提供了基础。我们经常应用的假设是股价服从扩散过程，且大部分情况下都是几何布朗运动。在此条件下，任一时期的复合收益率是服从正态分布的。此假设的统计特性是很吸引人的且计算上方便很多由于正态分布满足加法的封闭性，所以不管股票的套利组合是什么样的它都依然服从正态分布。如果我们假设风险行为减到零，那么股票收益率的分布同样也是服从正态分布的。(i)经典的假设理论我们先来介绍随机游走模型，其表达式为：St=StLt(1)其中：St，S11表示t时刻和t-1时刻的股票价格，£t~N(0,b2)表示均值为0，方差为。2的独立正态分布。股票价格模型我们一般情况下用维纳过程来表达，而随机游走模型所解释的股价波动走势，从本质上来说，其实就是一个漂移率为0的扩散过程，如果我们令S是股价关于时间的函数，那么得随机游走模型：dS(t)=qdZ(t)(2)上式中Z(t)表示标准维纳过程。然而，事实上它仅解释了股价的波动率，仅仅是我们理想情形下的模型。漂移率为°也就是说，在未来任何一个时刻，股价的均值等于其当前值。如果我们设时间区间长度为1年，在前一年的股价条件不发生变化的情形下，那么该年度的股价就等于前一年度的股价均值，在此种情况下，持股人就很难做到持股时间大于1年，这显然与现实生活中的情况不相符。况且我们有充分理由认为，由于上市公司在不断的经营扩大，所赚取的利润也在不断的增长，所以从长远来看，公司的股价应该呈现出逐渐增长的走势，故漂移率是不可能为零的。那么我们通过一个一般化的维纳过程就能来解释股票的价格行为(当然该一般化的维纳过程的期望漂移率和方差率是定值)，然而由于持股人想要来自股票的期望百分比收益不依赖于股票价格，因此假设期望漂移率为一个常数也是不合乎常理的。现在我们假设期望漂移率为股票价格的比例并且其为一个定值，也就是说股价的期

望漂移率为以S，a恒等于一个自然数，在几何条件下，它的解释就是股票的期望收益率。在此假设下，经过攵时间后，S的增长均值为aSAt，即E(AS)=aSZ，其中E(•)表示期望算子。当方差率为0时，则微分形式的模型：dS=aSdt可得S=S0ea，式中的S0表示股票的最初价格，由此可看出，当方差率为0时，股价的利率为a，以连续复利的方式增长。然而现实生活中，股价的方差率一般是不可能为零的，因此合乎常理的假设应该是股票的百分比收益率的方差不发生变化。若我们令股价比例变化的方差率为。2，经过At后，股价比例变化的方差为。2At，那么事实上股价真正变化的方差为。2S2At，所以得到股价波动走势的模型：dS=aSdt+bSdZ(3)上式中Z表示标准维纳过程。我们用随机分析的理论来说，这就是ITb过程。其中，aS称作漂移系数，bS称作扩散系数。方程⑶能够在一定程度上描述股票价格行为。我们常把b称为股价波动率，把a称为股价的预期收益率。下面我们先来介绍一下随机分析理论中的ITb引理：设F(S,t)是关于S两次连续可导，关于t一次可导的函数，S为满足随机微分方程(3)的扩散过程，故可得到随机变量函数的ITb微分形式dF(S,t)=Fdt+FdS+1b2Fdt(4)ts2ss如果我们定义F(S,t)=InS，由F=0,fs=§,fss=—S-则有dInS=(a-1b2)+bdZ(5)2上式说明lnS服从一般化的维纳过程，当变量S表示股价时，我们可看出股价服从对数正态分布。现在我们将式(5)写成增量形式，则有股票收益过程为R=lnR=lni31W-i=(a-1b2)+bZ(6)2t并且令旦=a—Rt表示股票的t期收益率，z~N(0,1)为独立的维纳过程，ln=W+bZ(7)

t在此条件下R〜n(旦并且令旦=a—ln=W+bZ(7)

t那么这时候弓〜N(0,t)，于是有lnS,~N(lnS0+^tp21)。综上所述，股价的分布和收益率的分布是同步的，因此我们想到利用收益率的分布形式来描述股价的波动过程。我们通过研究发现股市上高频数据的分布，发现它们要么是波动聚集的，要么是有偏的，要么是尖峰肥尾的。下面我们用模型来描述以上这些统计特征。正态分布模型由资本市场假设理论得到证券价格是遵循维纳扩散过程的，其收益率满足正态分布，我们用如下的模型来表示：模型1'R=mt+也Ztm=日(8)h=a2(8)lnl(R;0)=-—ln(2兀)+EIn-^exp(~^~)2t=i顷，2htI8=R-m上述模型中，Rt表示股票的t期收益率，m^表示均值，h^表示股票的t期收益率的方差，t表示样本容量，l(R；e)为对数似然函数，其中°三(日,p)为参数集。模型1，它无法描述样本数据体现出的波动聚集，有偏和尖峰肥尾的特征，只是一种理想情形。一般情况下数据的尖峰肥尾这一特征都能用条件异方差来描述。我们选用Ding,Granger和Engle(1993)以及Hentschel所定义的一般模型，此模型包含了Engle的不对称ARCH模型和Sentana(1995)的二次ARCH模型，与此同时，为了修正序列自相关，我们在期望中引入ARMA模型。这样，股票的收益率过程就变为：模型2'R=m+辱m=^+aR+。8h=p2+^h+中82+5slnl(R'R=m+辱m=^+aR+。8h=p2+^h+中82+5slnl(R;°)=-—ln(2兀)+Eln2=11(—exp(•h为t-82

—-)

2ht(9)为了描述股票收益率分布的肥尾性，我们再来介绍几个非正态的条件异方差模型，非正太的条件异方差模型是假设股票收益率服从混合高斯分布。根据Kon(1984)提出的理论，混合高斯模型分为两类，一类是连续的，另一类是离散的。

(ii)t-分布模型首先我们来介绍连续混合高斯分布模型。Blattberg与Gonedes(1974)设高斯分布的方差参数从一个逆Y分布中而来，则其在抽样以后得到的分布是t-分布。当能自由变化的自变量个数处于2到10这个区间时，t-(ii)t-分布模型首先我们来介绍连续混合高斯分布模型。Blattberg与Gonedes(1974)设高斯分布的方差参数从一个逆Y分布中而来，则其在抽样以后得到的分布是t-分布。当能自由变化的自变量个数处于2到10这个区间时，t-分布体现出尖峰这一特性，相对于平稳高斯分布而言，它能够描述一部分的高峰度现象；当自变量的个数趋向于无穷大时，我们可把t-分布看作高斯分布。此外，因为t-分布的方差和尺度参数的倒数成正比，从单支股票的角度来说，指数具有相对较小的方差与相对较大的尺度估值。我们定义「为标准化的独立t-分布过程，则有如下模型：模型3'R=m+疗[tlnl(R;9)=TIn£=R-mr((v+1)/2)r(v/2\.沅(v—2)—1Elnh—土£ln2t2t=1t=11£2h("-2)t-1(10)如果将t-分布与GARCH过程组合在一起，就可以得到下面的模型：模型4fRtmthtFt=^+aR+。£=b2+^h+瞥2+诡lnl(R;9)=Tin「((V+1)/2)「(»^^L£=RfRtmthtFtlnl(R;9)=Tin「((V+1)/2)「(»^^L£=R—m—1Elnh—史£ln"+二_2t2h(v—2)t=1t=1t(11)这里的参数集0三(四,。，v,以，P,©,0&)(iii)混合正态分布过程现在我们来介绍离散的混合高斯分布模型。1982年Christie创造性的在理论上提出了两高斯分布的离散混合模型的式子，代表信息事件的较高方差分布与生成非信息随机变量的分布共同描述了股票收益率的分布。若我们把对股价产生影响的信息分为市场信息上市信用以及没有信息，则股票的收益率行为便能用三高斯分布的离散混合模型来解释。后来Kon给出了用于描述股票日收益率的离散的混合高斯分布模型如果没有指出股票的收益率服从哪种分布，那么股票收益率的每个指标值均能视为是以一定的概率人.由无穷多个期望为Hj，方差为b「的高斯分布中的一个所产生。对Vj，如果人j>0，那么尖峰性在收益率的行为中便体现了出来。如果对VI丰j,气卫旦J，那么我们知道股票收益率的分布是有偏的。现在我们令Mt为标准化混合高斯分布，则得到以下的模型：模型5R=m+JhMmf/j=E(R/Q(t)=j)=日jh7j=V(R'/Q(t)=j)=b2ttjexpf-("mt/j))2]"2(ht/j)J(12)Inl(R;0)=-—ln(2兀)+EIn^£j-2Jh/jt=1Lexpf-("mt/j))2]"2(ht/j)J(12)£x=ijj=1(iiii)估计方法与检验为了对模型之间进行分析比较，而且现成的统计软件基本上都无法处理上述的大部分模型，所以我们采用Eviews中的对数似然方法来进行参数估计，算法选择BHHH算法，此算法运用反复迭代法来取得对数似然函数的最大值。为了比较上述模型哪个是最优的，也就是说，哪个模型具有最高的后验概率，本文使用Schwartz准则来选择模型，其本质就是Koopman-Darmois的密度函数族中维数不同的模型的后验概率的大样本Bayes解。SC准则就是：SC=log(maximumlikelihood)-上plog(T)2其中p表示需要估计的参数的数目。此准则相对于其他准测来说，它最大的优点在于它特定的先验分布。在评价对象数量巨大的时候，Bayes解中的前面一项是极大似然估计，SchwartZ准则中的后一项代表了对高维(p)模型的责罚。我们需要注意的是Eviews软件中所给出的sc值与(11)式有一些不同，它的表达式为-TSC，故我们在选择模型的时候，应取与最小的SC值所对应的模型。3.2维纳过程下四种死力假设的增额寿险精算模型在保险精算中，传统的寿险模型是假设利率为常数，但是人寿保险从本质上来说，它与人的生存和死亡有关。在现实生活中，利率长期不变是不可能的，然而未来利率的变化决定了保险公司的应用准备金计划以及赔付能力估计，影响着公司的竞争力。我们设被保险人在投保险时是X岁，保险金在投保人未来寿命T=T(x)时给付，给定金额为々，匕表示在挪时刻给付一个单位投保时的利息贴现系数，同时我们定义Zt是受益金给付在投保时的现金。则有现值随机变量Zt=bT匕。对于(x)投保连续性的保额为年定期寿险，相关函数为：_\b(t<n)

bT=\0(t>n)v=vt(t>0)z_{b(t)vt(T<n)

t一[0(T>n)以tPx表示某人已活到x岁，他在t年后任然活着的概率，用\+1表示在x+1岁时的死力，记v=e-5，其中5是常数利息力。所以n年定期寿险的趸交纯保费为A-i_E(Z)_favtb(t)pudt_jae-&b(t)pudt。x+1t0txx+t0txx+t我们分析可知，当b(t)_b+1时，保险金额逐年递增，就可得到保额逐年增加的寿险；同理，当b(t)=e5t时，保险金额以指数的形式增长，得到的是保额按指数增长的增额寿险；当b(t)_tk(k_2,3,)时，保险金额以几何形式增长，得到的是保额按几何增长的增额寿险。我们将上述b(t)的表达式依次代入趸缴纯保费的公式中便可得到各种增额寿险的精算模型。Gompertz形式在这种形式下，u^_B-Cx(x>0)，其中B>0,C>1。所以可以推出5(x)_elnC(1"Cx)，有pu=BCx+telnCCx(1-Cx)。deMoinre形式1小在这种形式下，u_(0<x<^)，其中①是极限年龄。所以可以推出xW—x/、rx5(x+1)1s(x)_1——，又p_，从而彳得pu_。Wtx5(x)txx+tW—x

Makeham形式在这种形式下，u(x)=A+BCx,(x>0)其中B>0,C>1,a>-B。所以可以推出_B_s(x)=e”x-lnC(C1)。Weibull形式在这种形式下，u=kxn(x>0)其中k>0,n>0。所以可以推出s(x)=exp{-U—.xn+i}。n+1若利息力累计函数是y(t)=ln(1+&)+P•r(t)，其中8是常数，p>0，r(t)表示维纳过程，则r(t)〜N(0,。2(t))。因此有r(t)的密度函数：「,「,、1L(t)(S)=^)eE，SG(一8,+8)所以有E(e所以有E(e-阶(t))=f+8e-P-e2。2(t)ds=e2p°(t)■v2kc(t)-8在维纳过程下n年的趸缴纯保费是：A-1=E(z)=fnE(e~y(t))b(t)pudt=fnexp(-ln(1+8t))E(e-Pr(t))b(t)pudt=fn—^-—e2p也2(t)x+nTtxx+1txx+18t000b(t)pudtGompertz形式下各种增额寿险趸缴纯保费在这种形式下有tpudt=B-Cx+teincCx(1-Ct)，所以A-1=fn-^e2p2。*)b(t)pudt=fe2p心+亡^(1-Ct)b(t)BCx+tdtx+n01+ottxx+t01+ot当b(t)=b+1时，A-1=fn^(b+1)etp纪”O(1-Ct)BCx+tdtx+n01+81当b(t)=en时，A-1=fe2p2。2(t)+l；BCCx(1-Ct)+"BCx+tdtx+n01+81当b(t)=tk时，A-i=fn-^-tke2p纽2(t)+^nBCCx(1~Ct)BCx+tdtx+to1+&deMoinre形式下各种增额寿险的趸缴纯保费1在这种形式下，P^x+t=/=，所以有A-i=fn^e2p2G*)b(t)pudt=^—fe2p2G*)b(t)dt

x+n01+ottxx+t①一x01+ot当b(t)=b+1时，有A-1=-^fe2p纽2(，)(b+1)dtx+nco—xo1+ot当b(t)=en时，有A-1=^—fe2p、2(t)+ndtx+no—x01+ot当b(t)=tk时，有A-i=o-—f1+^2p纽*)tkdtMakeham形式下各种增额寿险的趸缴纯保费在这种形式下，tPxUx+t=(A+BCx+t)e—At+lnCCX(1—Ct)，所以有A-1=fe2p2G2(t)b(t)pudt=fe2p2G2(t)+!BCCx(1-Ct)b(t)(A+BCx+t)dtx+n01+0t^xx+t01+0t当b(t)=b+1时，有A-1=fe2p纪2(t)+^BCCx(1-Ct)(b+1)(A+BCx+t)dtx+n01+ot当b(t)=en时，有A-1=f^^—e2p的2(t)+^BCCx(1-Ct)+n(a+BCx+1)dtx+n01+ot当b(t)=tk时，有A-i=P—etp2a2(f)+^(1-co^(A+5C^Mx+n01+宽(^Weibull形式下各种增额寿险的建缴纯保费在这种形式下，PU=*3+。"甲(〃+1)*+1-(》+1)叫，所以有tXx+tA-l=J”—2P2<72(0Z?(ZL)pUdt=\n—2P2<j2(0+lnC(l~c，)b(t)k(x+t)nek(n