【浙教版】最新版八年级数学下册全册例题选讲课件

第1章二次根式1.1二次根式二次根式的概念例1（1）下列各式中，一定不是二次根式的是（）A. B.C.D.（2）当a=5时，二次根式=

.注意点：（1）由概念可知，开如（a≥0）的式子叫做二次根式，在二次根式中，被开方数可以为数，也可以为单项式、多项式、分式等.（2）由于负数没有平方根，所以被开方数大于或等于零是二次根式成立的前提条件.解：（1）C（2）3分析：（1）根据二次根式的定义判断，特别注意被开方数不能为负数；（2）将a的值代入计算即可，注意结果为非负数.确定二次根式根号内字母的取值范围例2确定下列二次根式中字母a的取值范围：（1）；（2）；（3）.分析：确定二次根式根号内字母的取值范围，主要依据被开方数为非负数，由此可得（1）中2a-3的取值范围；（2）中除要使分式为非负数外，还要注意分母不能为零；（3）中只要根据配方法说明a2-2a+3是非负数即可.解：（1）由2a-3≥0，解得a≥.所以字母a的取值范围是大于或等于的实数；（2）由7-3a＞0，解得a＜，所以字母a的取值范围是小于的实数；（3）由a2-2a+3=(a-1)2+2≥2＞0，所以字母a的取值范围是全体实数.注意点：（1）二次根式中的被开方数是分式的形式时，除了要考虑被开方数是非负数外，还要考虑分式的分母不为零这一条件.（2）被开方数如果是二次三项式，一般可以通过配方说明它是不是非负数.分析：根据绝对值、二次根式的非负性可得|a+1|≥0，≥0，而|a+1|+

=0，由非负数的性质可得|a+1|=0，=0，通过解方程可求得a，b的值.二次根式非负性的应用例3已知|a+1|+

=0，则a-b的值是多少？解：∵|a+1|≥0，≥0，且|a+1|+

=0，∴|a+1|=0，=0.即a+1=0，8-b=0.解得a=-1，b=8.∴a-b=-9.注意点：因为二次根式（a≥0）表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根也是非负数，即≥0（a≥0），这个性质与绝对值、偶次方类似.根据“几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零”这一性质可以确定与二次根式有关的等式中字母的值.错答：要使+有意义，x应满足3-x≥0例要使+有意义，则x应满足（）A.≤x≤3 B.x≤3且x≠C.＜x＜3 D.＜x≤3正答：D和2x-1≥0.解得≤x≤3.选A.错因：错解忽视了分式的分母不能为0这一限制条件.因而本题存在隐含条件3-x≥0和2x-1＞0解得＜x≤3.例1当m＜3时，=

.第1章二次根式1.2二次根式的性质（第1课时）利用二次根式的性质=|a|进行化简分析：=|m-3|，∵m＜3，∴=|m-3|=3-m.解：3-m.注意点：=|a|=a（a≥0），-a（a＜0）简的重要工具，运用此公式可将二次根式的化简转化为绝对值的化简.是二次根式化变式：计算：（1）；（2）答案：（1）0.5（2）12利用二次根式的性质=a（a≥0）进行化简例2计算：（1）=

；

（2）=

.分析：（1）=(-3)2×=9×=6；

（2）=×=×14=

.解：（1）6（2）注意点：对型代数式进行化简时，要先考虑运用的乘方公式，化成a2·的形式，乘号后面的部分再应用性质=a（a≥0）计算.变式：计算：（1）；（2）.答案：（1）1（2）5-2

利用二次根式的性质对根号内含有字母的二次根式进行化简例3如图，根据实数a，b在数轴上的位置化简

.分析：由图可知a＜0，b＞0，a＜b，所以a-b＜0.再根据二次根式的性质进行化简.解：由图可知a＜0，b＞0，a＜b，∵a-b＜0.∴=|a|=-a，=|b|=b，=|a-b|=-(a-b).∴-

-

=-a-b+a-b=-2b.变式：实数a，b，c在数轴上的对应点表示出来如图所示，请化简：注意点：先根据实数a，b在数轴上的位置判断a，b，a-b的符号，再利用二次根式的性质

=|a|=进行化简.答案：原式=-b-（-a-c）+b-c+（a-b）=-b+a+c+b-c+a-b=2a-b.a（a≥0），-a（a＜0）例求值.

错答：∵=，∴=±正答：=

=

错因：概念不清致错.第1章二次根式1.2二次根式的性质（第2课时）二次根式的性质（1）；（2）；（3）；（4）例1

化简：分析：二次根式化简的主要依据是二次根式的性质，在化简过程中可先对因数或因式进行分解，然后运用性质化简.解：（1）原示===.（2）原示=.（3）原示=.

（4）原示=.注意点：二次根式化简的结果必须是最简二次根式，即要求：（1）根号内不含分母；（2）根号内不含开得尽方的因式.变式：化简：（1）

；（2）

；（3）..答案：（1）原式==40.

（2）原式=×=5×9=45.

（3）原式===..例2若直角三角形两条直角边长分别为cm和cm，那么此直角三角形的斜边长是（）A.cm B.cmC.9cmD.27cm分析：三角形的斜边长为（cm）.二次根式的应用解：B变式：在△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，BC=1cm，求AC的长.答案：∵∠C=90°，AB=8cm，BC=1cm，∴AC=(cm）.

因此AC的长为cm.注意点：先列式，再计算.例1下列二次根式是最简二次根式的是（）A. B.C.D.错答：最简二次根式是，选D.正答：C错因：根据最简二次根式的定义可知，①被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；②被开方数中每一个因式（或质因数），如果幂的指数大于或等于2，就不是最简二次根式.熟记最简二次根式的两个条件是解这类题的关键.例2计算.错答：.正答：错因：将带分数

误认为是16×，实际上带分数=16+.第1章二次根式1.3二次根式的运算（第1课时）二次根式的乘法

（1）

；

（2）

；

（3）.分析：利用法则计算，注意被开方数是带分数的要先化成假分数，其中（3）中系数的积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数，最后的结果要化为最简二次根式.解：（1）.（2）.（3）注意点：一般地，对二次根式的乘法规定

（a≥0，b≥0）.即两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.此法则可以推广到多个二次根式相乘的形式，如：（a≥0，b≥0，c≥0，…，n≥0）.例2计算：（1）；（2）；（3）.

二次根式的除法分析：（1）利用除法法则计算，（2）中被开方数相除时注意应用幂的运算法则，（3）中系数的商作为商的系数，被开方数的商作为商的被开方数，最后的结果要化为最简二次根式.解：（1）.（2）.（3）

.注意点：公式

（a≥0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的，注意除式的被开方数不能为零.当二次根式有系数时，可类比单项式除以单项式的法则进行运算.即系数相除作为商的系数，被开方数相除作为商的被开方数.例3如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB.若S△ABC=cm2，BC=cm，求AC及CD的长.分析：根据S△ABC=AC·BC求AC→根据勾股定理求AB→根据等积法求CD.解：因为S△ABC=

AC·BC，所以AC=

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2=BC2+AC2=

=3+24=27，所以AB=3（cm）.又因为S△ABC=

AB·CD，所以CD=，即AC的长为2

cm，CD的长为cm.注意点：直角三角形的面积表示方法：（1）用直角三角形中两直角边的积的一半表示；（2）用直角三角形的斜边与斜边上的高的积的一半表示.例计算：.

错答：原示=.正答：原式=错因：结果没有化成最简二次根式.第1章二次根式1.3二次根式的运算（第2课时）二次根式的加减及混合运算例1计算：（1）

；（2）

（3）

.

.分析：（1）先将每一项化简，再合并被开方数相同的二次根式；（2）（3）先利用多项式除以单项式和多项式乘法的法则去括号，再利用加减运算法则化简、合并.解：（1）原式=（2）原式==2+1-2=1.（3）原式注意点：二次根式混合运算的顺序是先乘除，后加减，与整式的混合运算相类似.变式：计算：（1）；（2）.答案：（1）2（2）4+

例2若一个等边三角形的高为cm，求此等边三角形的面积.二次根式的运算在实际问题中的应用分析：根据题意作出图形，由于三角形的高已知，故求面积的关键是求等边三角形的边长，结合勾股定理即可求得.解：如图，设AD是等边三角形ABC的一条高，且AD=2cm.设等边△ABC的边长为xcm，则BD=CD=xcm.∵AB2=BD2+AD2，∴x2=，∴，x2=32.∵x＞0，∴x=4.∴S△ABC=×4×2=8（cm2）.注意点：当题中没有指出精确度的要求时，最后结果可用最简二次根式表示；通过二次根式的运算求未知量.在解题中注意整体思想、化归思想、方程思想等数学思想方法的应用.变式：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=，AC=，求斜边AB上的高CD的长.答案：例1化简：=

.正答：原式=

.错因：合并同类二次根式时，被开方数和根指数都不变.计算时可将二次根式的加减看作“多项式”的运算，被开方数相同的项就可看成“同类项”，进而就可以利用同类项的合并法则进行合并.错答：原式=.

例2已知：x=+1，y=-1，求

的值.错答：

===1.正答：原式=

.

当x=

+1，y=

-1时，原式=

错因：这是少数学生不化简而直接代入求值式，陷入繁琐运算就容易出错.原因在于（+1）2≠3+1，（-1）2≠3-1.此类问题一般要先化简，得到分式的最简形式后，再把x，y的值代入，可简化运算.第1章二次根式1.3二次根式的运算（第3课时）利用二次根式的性质画图例1在如图的数轴上作出表示的点..分析：要作出表示的点，可利用勾股定理，构造一个两条直角边分别为2和5的直角三角形，此时这个直角三角形的斜边长就是.解：如图，点A表示的即为的点.注意点：要作出一个长度为

的线段，可先将a表示成两个有理数的平方和，如a=x2+y2（x，y均为有理数），此时只需构造一个两直角边长分别为x，y的直角三角形，此时这个直角三角形的斜边长就等于.变式：已知△ABC中，AB=1，BC=，CA=.（1）分别化简，的值；（2）并在4×4的方格纸上画出△ABC，使它的顶点都在方格的顶点上（每个小方格的边长为1）；（3）求△ABC最长边上的高.答案：（1）（2）如图所示：（3）∵△ABC的面积为1，BC=2，∴BC边上的高为1×2÷2

=

.例210个外径为1米的钢管以如图方式堆放，为了防雨，需要搭建防雨棚，这个防雨棚的高度最低应为多少米（精确到0.1米）.二次根式的实际应用分析：根据题意判断△ABC为等边三角形，求等边三角形的边长并计算等边三角形的高，再加上上、下两个半径，即为防雨棚的高度.解：由题意可知：等边△ABC的边长AC=BC=3，过点A作AD⊥BC于D，则BD=DC=，∴DC=

BC=

AC=，∴AD=，∴

+0.5+0.5≈3.6米.答：这个防雨棚的高度最低应为3.6米.注意点：勾股定理的运用与二次根式的运算密切相关，要学会对二次根式化简，近似计算.答案：肇事汽车超速行驶，理由如下：把d=20，f=1.44代入v=，v==16×2.4×≈38.4×2.2=84.48km/h＞80km/h，所以肇事汽车超速行驶.变式1：交警通常根据刹车后轮滑行的距离来测算车辆行驶的速度，所用的经验公式是v=，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数，在一次交通事故中，测得d=20m，f=1.44，而发生交通事故的路段限速为80km/h，肇事汽车是否违规超速行驶？说明理由.（参考数据：≈1.4，≈2.2）变式2：（1）如图，面积为48cm2的正方形，四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的体积.答案：∵大正方形面积为48cm2，∴边长为cm，∵小正方形面积为3cm2，∴边长为cm，∴长方体盒子的体积=（4

-2）2·

=12

cm3.（2）站在竖直高度是h米的地方，看见的水平距离是d米，它们近似地符合公式d=.若一名登山者从海拔n米处登上海拔2n米的山顶，那么他看到的水平距离是原来的多少倍？答案：设登山者从海拔n米处看到的水平距离为d1米，从2n米处看到的水平距离为d2米，d1=8，d2=8，所以.所以他看到的水平距离是原来的倍.二次根式与几何的关系例3如图：已知等腰三角形ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足.DE+DF=，三角形ABC面积为

，求AB的长.分析：连结AD，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程，求解即可.解：如图，连结AD，S△ABC=S△ABD+S△ACD

=

AB·DE+

AC·DF

=

AB（DE+DF），∵DE+DF=2，∴

AB×2

=（3

+2），∴AB=

注意点：要会灵活运用二次根式的除法运算，作辅助线把△ABC分成两个三角形是解题的关键.变式：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=，求斜边AB上的高CD.答案：AC=，∵S△ABC=

AC·BC=

CD·AB，∴CD=

例1已知一个直角三角形的两直角边的长是（+5）cm和（5-）cm，求这个直角三角形的周长和面积.错答：直角三角形的斜边长为：=，周长为（+5）+（5-）+=10+（cm）；直角三角形的面积为：=11（cm2）.正答：直角三角形的斜边长为：周长为：直角三角形的面积为：错因：学生在列式或复杂计算时都会出现各种错误，要注意运算顺序.第2章一元二次方程2.1一元二次方程一元二次方程的相关概念例1（1）判断下列方程哪些是一元二次方程：①x2=5；②2x2-y+5=0；③ax2+bx+c=0；④4x2-

+7=0（2）下列选项中的值是方程2(x2-5)+5=3x的解的是（）A.0 B.1 C.-5 D.2.5分析：（1）根据一元二次方程的三个特征：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2来判断即可.（2）判断一个数是不是方程的解，只要将该数代入方程，看方程两边是否相等即可.解：（1）只有①是一元二次方程（2）D注意点：检验法是解决与方程的根有关的选择题的常用方法.答案：B变式：已知a、b、c满足a+c=b，4a+c=2b，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解的情况为（）A.x1=1，x2=2B.x1=-1，x2=-2C.方程的解与a，b的取值有关D.方程的解与a，b，c的取值有关一元二次方程的一般形式例2（1）如果方程(m-1)x2+m2-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A.m≠0 B.m≠1C.m=-1 D.m为任意实数（2）将方程(2x+3)(x-1)=1化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数、常数项.分析：（1）二次项系数a=m-1，当a=0时，方程的二次项不存在；（2）去括号、移项、合并同类项，再按未知数的次数降幂排列.解：（1）B（2）方程化为一般形式为2x2+x-4=0.

二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，1，-4.注意点：各项及其系数要包括其前面的符号.变式：把一元二次方程6x2-3=4x(2x-1)化为一般形式是（）A.-2x2-4x+3=0 B.2x2+4x-3=0C.2x2-4x+3=0 D.2x2-4x-3=0答案：C已知方程的根求代数式的值例3若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（）A.3 B.-3 C.9 D.-9分析：把x=a代入方程2x2-x-3=0中，得2a2-a=3，所以3(2a2-a)=6a2-3a=9.解：C注意点：在解决与方程的根有关的问题时，如果方程的根已知，一般优先考虑根代入原方程.变式：已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-a（a≠0），则a-b的值为（）A.-1 B.0 C.1D.2答案：A例1关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，则m的值为（）A.0B.-1 C.1或-1D.1错因：错在没有考虑一元二次方程的二次项的系数不为0.一个方程是一元二次方程需具备三个条件：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③二次项的系数不为0.因为关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0，所以，m2-1=0，解得m=1或m=-1.又因为m-1≠0，即m≠1，故m的值为-1.错答：C正答：B例2方程（m-1）xm2+1+2mx-3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是多少？错因：一元二次方程满足的条件是：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程，方程经整理可转化为一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）.本题在解题过程中忽略了一元二次方程二次项系数不为零的条件.正答：由题意可得m2+1=2且m-1≠0即m=±1，且m≠1.∴m的值是-1.错答：由题意可得m2+1=2，∴m=±1.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第1课时）用因式分解法解一元二次方程例1用因式分解法解下列方程：（1）x2-2x=0；（2）x(x+3)=2(x+3)；（3）(x-1)2-4x2=0；（4）x2-2

x=-5.分析：方程（1）的右边为零，左边提取公因式即可；方程（2）将右边的式子移到左边，然后提取公因式（x+3）；方程（3）的右边为零，左边可以利用平方差公式分解因式；方程（4）将-5移到左边，得到左边是完全平方式.解：（1）化简方程，得x(x-2)=0.

∴x=0，或x-2=0，∴x1=0，x2=2.（2）移项，得x(x+3)-2(x+3)=0.分解因式，得(x-2)(x+3)=0.∴x-2=0，或x+3=0，∴x1=2，x2=-3.（3）分解困式，得[(x-1)+2x][(x-1)-2x]=0.

即(3x-1)(-1-x)=0.∴3x-1=0，或-1-x=0.∴x1=，x2=-1.注意点：（1）因式分解法的理论依据是：如果两个因式的积为零，那么这两个因式中至少有一个因式等于零，注意是至少有一个为零.（2）因式分解法解一元二次方程，一定要把方程的右边变形为零.（3）因式分解法是解一元二次方程时经常选用的一种方法，它适用于一边是零且另一边容易分解成两个一次因式的积的形式的一元二次方程，或通过简单变形容易变成这种形式的方程.（4）移项，得x2-2

x+5=0.∴(x-)2=0.∴x-

=0.∴x1=x2=

.变式：用因式分解法解下列方程：（1）x2=-4x；（2）x+3-x(x+3)=0；（3）9y2-6y+1=0；（4）(3x-4)2=4(x-2)2.答案：（1）x1=0，x2=-4（2）x1=-3，x2=1（3）y1=y2=

（4）x1=0，x2=

整体换元思想在解一元二次方程中的应用分析：方程中的（x-3）可以看成整体A，则这个方程可以变成A2+4A+4=0的形式，这样可用完全平方公式分解因式得(A+2)2=0，即A=-2，从而求得x的值.解：移项，得(x-3)2+4(x-3)+4=0.设x-3=A，则方程变为A2+4A+4=0.分解因式，得(A+2)2=0.即A=-2.所以x-3=A=-2.所以原方程的解为x1=x2=1.注意点：整体换元思想方法是初中数学中的一种重要的思想方法，可以起到化高次为低次、化复杂为简单等效果，从而利于运算.例2解方程：(x-3)2+4(x-3)=-4.变式：已知（x2+y2-2）(x2+y2-1)=0，则x2+y2=

.

答案：2或1利用两根写符合条件的一元二次方程例3试写一个一元二次方程，使它的一个根是正数，另一个根在-4～-1之间.解：设该方程为(x-x1)(x-x2)=0，由题意知x1＞0，-4＜x2＜-1，故可令x1=5，x2=-2，代入整理，得(x-5)(x+2)=0，即x2-3x-10=0（答案不唯一）.分析：联系利用因式分解法解一元二次方程的方法，可将方程写为(x-x1)(x-x2)=0的形式，给定x1和x2的值，使x1＞0，-4＜x2＜-1，整理即可得出要求的方程.注意点：由(x-x1)(x-x2)=0可得x=x1或x=x2，因此给定x1和x2的值可构造一元二次方程(x-x1)(x-x2)=0.例方程(x+1)(x-2)=x+1的解是（）A.2 B.3 C.-1，2 D.-1，3错因：根据等式性质，在等式的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立.在方程两边同除以（x+1）时，因为x+1可能为0，因而丢失了x=-1这个根.正答：移项，得（x+1）（x-2）-（x+1）=0，所以x1=-1，x2=3.选D.错答：方程两边都除以（x+1），得x-2=1.解得x=3.选B.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第2课时）用开平方法解一元二次方程例1用开平方法解下列方程：（1）3x2-4=0；（2）(2x-1)2-9=0.分析：（1）对于形如ax2+b=0（其中a与b异号）的方程都能转化为x2=-的形式，再用开平方法求解；（2）先把（2x-1）看成一个整体，用开平方法来解，然后再求x的值.解：（1）移项，得3x2=4.∴x2=

.∴x=±=±.∴x1=，x2=-

.（2）移项，得(2x-1)2=9.∴2x-1=3，或2x-1=-3，∴x1=2，x2=-1.注意点：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.变式：解下列方程：（1）4x2=9；（2）3(2x+1)2=12.答案：（1）x1=，x2=-（2）x1=-，x2=

用配方法解一元二次方程例2用配方法解下列方程：（1）x2+8x-7=0；（2）-x2-

x+

=0.分析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到方程的右边，再左、右两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后把左边配成完全平方式，变成(x+m)2=n（n≥0）的形式，最后用开平方法求解；如果二次项系数是-1，先将二次项系数化为1后，再用配方法解方程.解：（1）移项，得x2+8x=7.配方，得x2+8x+16=7+16，即(x+4)2=23.两边开平方，得x+4=±.∴x1=-4+，x2=-4-

.（2）变形得x2+

x=

.配方，得

.两边开平方，得x+

=±，即x+

=±.∴x1=-

+，x2=-

-

.注意点：配方法的理论依据是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，配方法是一种重要的解题方法，其应用范围不仅仅是解一元二次方程，在解题时要熟练掌握这种方法.变式：用配方法解方程3x2-6x+1=0，则方程可变形为（）A．(x-3)2= B．3(x-1)2=

C．(x-1)2= D．(3x-1)2=1答案：C用配方法分解因式例3分解因式：x2+8x+12.分析：x2+8x需要加上16可凑成完全平方式，原式可化为x2+8x+16-16+12，则前三项可表示为(x+4)2，后两项可表示为-22，然后运用平方差公式分解因式.解：x2+8x+12=x2+8x+16-16+12=(x+4)2-4=(x+4)2-22=(x+4+2)(x+4-2)=(x+6)(x+2).注意点：添上一项，既构成了完全平方公式，又将整个多项式构成了a2-b2的形式，这种添项配方法是一种常用的数学方法.例1解方程：(x+6)2=51.错因：直接开平方法的根据是平方根的意义，51开平方应得±.正答：两边开平方，得x+6=±.

解得x1=

-6，x2=-

-6.错答：两边开平方，得x+6=

.解得x=

-6.例2解方程：x2-6x-6=0.错因：运用配方法解一元二次方程时，同学们最容易犯的错误是方程等号一边加上了一次项系数一半的平方，而另一边却忘了加或者加错，所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方法的实质及解题的步骤，避免配方不当产生错误.正答：移项，得x2-6x=6.所以x2-6x+9=6+9.即(x-3)2=15.解得x1=3+，x2=3-

.错答：移项，得x2-6x=6.所以x2-6x+9=6+3，即(x-3)2=9.解得x1=0，x2=6.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第3课时）用配方法解一元二次方程例1用配方法解下列方程：（1）x2-x-6=0；（2）3y2+1=2

y；（3）2x2+4x-9=0；（4）3x2-2x+3=0.分析：先将方程左边配方成完全平方式，方程右边化成非负数的形式，然后用直接开平方法求解.解：（1）移项，得x2-x=6.配方，得x2-x+

=6+，即.直接开平方，得

，或

.解得x1=3，x2=-2.（2）移项，得3y2-2

y+1=0，即(y-1)2=0.

直接开平方，得y-1=0.解得y1=y2=

.（4）二次项系数化为1，得x2-

x+1=0.移项，得x2-

x=-1.配方得(x-)2=-

.方程无解.（3）二次项系数化为1，得x2+2x-

=0.移项，得x2+2x=

.配方，得x2+2x+1=，即(x+1)2=

.直接开平方，得，x+1=，或x+1=-

.解得x1=

-1，x2=-

-1.注意点：运用配方法解一元二次方程时，先移项，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，然后把二次项系数化为1，再在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x±a)2=b（b≥0）的形式，再用直接开平方法求解.有关配方法的应用例2若x2-4x+y2+6y+

+13=0，求(xy)z的值.分析：可将x2-4x，y2+6y通过配方法配成完全平方的形式，将已知条件的左边化成三个非负数的和的形式，分别求出x，y，z的值，再代入(xy)z中即可求解.解：∵x2-4x+y2+6y+

+13=0，∴x2-4x+4+y2+6y+9+

=0，∴(x-2)2+(y+3)2+

=0，∴x-2=0，y+3=0，z-2=0，∴x=2，y=-3，z=2，∴(xy)z=(-6)2=36.注意点：当一个方程出现多个未知数，且方程中具备完全平方的雏形时，可以考虑凑完全平方式，将方程化成几个非负数和为零的情形，从而将一个方程化成多个方程来分别求解.变式：对于任何实数x，二次三项式x2-2

x+5-的值恒大于零吗？为什么？答案：恒大于零.理由如下：∵x2-2

x+5-

=x2-2

x+

-

+5-=(x-)2+3-，而(x-)2≥0，3＞，∴x2-2

x+5-的值恒大于零.例解方程：4x2+8x+1=0.正答：方程两边都除以4，得x2+2x+

=0.移项，得x2+2x=-

.配方，得x2+2x+1=-

+1，即(x+1)2=所以x+1=±.所以x1=

-1，x2=-

-1错答：原方程可变为4x2+8x=-1，两边同时加上一次项系数一半的平方，得：4x2+8x+

=-1+

.即(2x+4)2=15.解得x1=，x2=

.错因：运用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，最后配成(x+m)2=n的形式.第2章一元二次方程2.2一元二次方程的解法（第4课时）用公式法解一元二次方程例1用公式法解下列方程：（1）x2-

x-1=0；（2）(x-2)(3x-5)=1.分析：要求使用公式法解一元二次方程，关键要把方程化为一般形式，弄清a，b，c的值.第（1）小题为了计算方便可先把系数化为整数，然后再找出a，b，c的值；第（2）小题需先把方程化为一般形式后，再求解.解：（1）方程两边同乘5，得2x2-x-5=0.

∴a=2，b=-1，c=-5，b2-4ac=(-1)2-4×2×(-5)=41.

∴x=，∴x1=，x2=；（2）方程可化为3x2-11x+9=0.∴a=3，b=-11，c=9，b2-4ac=(-11)2-4×3×9=13.∴x=，∴x1=，x2=

.注意点：用公式法解一元二次方程的关键是先弄清方程中的a，b，c的值，当系数不是整数时，要先把系数化为整数，可使计算变得简单.当原方程不是一般形式时，先要把它化为一般形式.变式：用公式法解下列方程：（1）x2-2x-8=0；（2）x2+2x-4=0；（3）2x2-3x-2=0；（4）3x(3x-2)+1=0.答案：（1）x1=4，x2=-2；（2）x1=-1+，x2=-1-；（3）x1=2，x2=-；（4）x1=x2=

.一元二次方程的根的判别式例2（1）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A.x2+1=0 B.9x2-6x+1=0C.x2-x+2=0 D.x2-2x-2=0（2）已知关于x的方程x2-2(k-3)x+k2-4k-1=0.①若这个方程有实数根，求k的取值范围；②若这个方程有一个根为1，求k的值.分析：（1）根据根的判别式，若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，代入值判断即可；（2）若这个方程有实数根，则b2-4ac≥0；若这个方程有一个根为1，可将x=1代入方程求k的值.解：（1）D（2）①由题意，得b2-4ac=[-2(k-3)]2-4×(k2-4k-1)≥0，化简，得-k+5≥0.解得k≤5.∴k的取值范围是k≤5.②将x=1代入方程，得k2-6k+6=0.解这个方程，得k1=3-，k2=3+

.注意点：根据方程根的情况求字母系数的取值范围，一般是利用判别式关于字母系数的不等式，解不等式求得范围.变式：若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A.m≤-1 B.m≤1 C.m≤4 D.m≤答案：B选择合适的方法解一元二次方程例3用适当的方法解下列方程：（1）3x+15=-2x2-10x；（2）2x2-12x+9=0.分析：方程（1）可用因式分解法，方程（2）可用公式法.解：（1）3x+15=-2x2-10x.移项，得3x+15+(2x2+10x)=0.因式分解，得3(x+5)+2x(x+5)=0，即(x+5)(3+2x)=0.于是，得x+5=0，或3+2x=0.∴x1=-5，x2=-

.（2）2x2-12x+9=0.∵a=2，b=-12，c=9，b2-4ac=(-12)2-4×2×9=72，∴x=，∴x1=3+，x2=3-

.注意点：解一元二次方程考虑所用方法的一般顺序是：先直接开平方法，再因式分解法，然后考虑配方法或公式法.对于形如x2=p或(mx+n)2=p（p≥0）的方程，我们通常采用直接开平方法；对于一边是0，另一边易于分解成两个一次式乘积的一元二次方程，我们通常采用因式分解法.配方法和公式法适合解所有的一元二次方程.变式：用适当的方法解下列方程（直接写出方程的解和求解方程的方法）：（1）12x2-

=0；（2）x2-2x-4=0；（3）5x2=9x+2；（4）5x2+2x=0.答案：（1）x1=，x2=-

.（开平方法）（2）x1=1+，x2=1-

.（配方法）（3）x1=2，x2=-

.（公式法）（4）x1=0，x2=-

.（因式分解法）一元二次方程根的判别式的应用例4若a，b，c是△ABC的三边长，且关于x的方程a(x2-1)-2cx+b(x2+1)=0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.分析：应用一元二次方程根的判别式的性质确定三角形的三边a，b，c的关系.解：整理方程，得(a+b)x2-2cx+(b-a)=0.

∵方程有两个相等的实数根，∴=0，即(-2c)2-4(a+b)(b-a)=0，整理，得c2+a2-b2=0，即c2+a2=b2.∴以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形.注意点：一般来说，让我们判定三角形的形状，那么这个三角形一般会是特殊三角形.如果是从三角形的边出发，那么这个三角形要么是等腰三角形，要么是等边三角形，当然也有可能推出

=(a2+b2-c2)2=0这种结论，得到a2+b2=c2，那它就是直角三角形.例1不解方程，判断方程的根的情况4x2-3x+1=2.错因：使用根的判别式时，必须先将方程整理求ax2+bx+c=0（a≠0）的形式.正答：整理，得4x2-3x-1=0.∵a=4，b=-3，c=-1，∴b2-4ac=(-3)2-4×4×(-1)=9+16=25＞0.∴原方程有两个不相等的实数根.错答：∵a=4，b=-3，c=1，∴b2-4ac=(-3)2-4×4×1=9-16=-7＜0.∴原方程没有实数根.错答：∵方程有实数根，∴b2-4ac=

-4（k-1）×3≥0，解得k≤.∵k-1≠0，解得k≠1.∴k的取值范围是k≤且k≠1.例2已知关于x的方程(k-1)x2+

x+3=0有实数根，求k的取值范围.正答：∵方程有实数根，∴b2-4ac=-4（k-1）×3≥0.解得k≤，又∵是二次根式，则2k≥0，解得k≥0，∴k的取值范围是0≤k≤.错因：一元二次方程的解题中考虑b2-4ac≥0及k-1≠0是必要的，但本题忽视了两点：一是方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，题中未明确是一元二次方程，因此应有k-1=0；二是忽视了隐含条件2k≥0.第2章一元二次方程2.3一元二次方程的应用（第1课时）利润问题例1水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若千斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是

斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？分析：（1）销售量=原来销售量+多售销售量，据此列式即可；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可.解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20=（100+200x）斤；（2）根据题意得：（4-2-x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1.答：张阿姨需将每斤的售价降低1元.注意点：解决利润问题的基本等量关系为：销售毛利润=每千克利润×销售数量.增长率问题例2据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了.假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的平均增长率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的平均增长率.（取≈1.41）分析：可假设每年产出的农作物秸杆总量为a，这样2012年被利用的秸杆总量为30%a，设每年的平均增长率为x，则2014年能被利用的秸杆总量为a·30%·(1+x)2.解：设该省每年产出的农作物秸秆总量为a，合理利用量的平均增长率是x，由题意得a·30%·(1+x)2=a·60%，即(1+x)2=2.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合题意，舍去）.x≈0.41=41%.答：该省每年秸秆合理利用量的平均增长率约是41%.注意点：可直接套用公式：原有量×(1+平均增长率)n=现有量，原有量×(1-平均增长率)n=现有量，n表示增（降）的次数.数字问题例3有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，求原来的两位数.根据两个两位数之积等于1855，便可得到方程.分析：设原两位数的十位数字为x，则个位数字为8-x，则可列表如下：解：设原两位数的十位数字为x，则个位数字是8-x，由题意得[10x+(8-x)][10(8-x)+x]=1855.化简，得x2-8x+15=0.解得x1=3，x2=5.经检验，x1=3，x2=5都符合题意.答：原来的两位数是35或53.注意点：数字问题常采取间接设未知数的方法求解，注意数字只有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数，其他如分数、负数都不符合实际意义，必须舍去.其他问题例4某种电脑病毒传播得非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？分析：设平均一台电脑会感染x台，第一轮后会新增加被感染电脑x台.第二轮后会新增加被感染电脑(x+1)x台，第三轮后会新增加[1+x+(x+1)x]x台.第一轮后被感染电脑总台数为(1+x)台，第二轮后被感染电脑总台数为1+x+(x+1)x=(1+x)2台，第三轮后被感染电脑总台数为(1+x)2+[1+x+(x+1)x]x=(1+x)3台.解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.依题意，得1+x+(1+x)x=81，即(1+x)2=81，∴x+1=9或x+1=-9，解得x1=8或x2=-10（舍去）.三轮感染后，被感染的电脑台为(1+x)2+(1+x)2·x=(1+x)3=(1+8)3=729＞700.答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；三轮感染后，被感染的电脑会超过700台.注意点：根据过程来分析，第一轮、第二轮、第三轮，出现相同规律求解.例1在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手6次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）A.x(x-1)=6 B.=6C.x(x+1)=6 D.=6错因：由实际问题抽象出一元二次方程，如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手(x-1)次，x人共需握手x(x-1)次；而每两个人都握了一次手，将重复计算的部分除去，即一共握手：次，由此可列出方程.正答：B错答：A错答：设这种服装售价应定x元，由题意，得(x-50)[800-×(x-60)]=12000.整理，得x2-150x+5600=0.解这个方程，得x1=70，x2=80.当x1=70时，该商店应进这种服装600件；当x2=80时，该商店应进这种服装400件.例2某商店进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件.如果商店销售这批服装要获得利润12000元，同时要使顾客得到实惠，那么这种服装售价应定为多少元？该商店应进这种服装多少件？答：每件服装的定价为70元时，该商店应进这种服装600件；每件服装的定价为80元时，该商店应进这种服装400件.正答：设这种服装售价应定x元，由题意，得(x-50)[800-×(x-60)]=12000.整理，得x2-150x+5600=0.解这个方程，得x1=70，x2=80.∵商店要使顾客得到实惠，∴定价为每件80元不合题意，应舍去.答：每件服装应定价为70元，该商店应进这种服装600件.错因：利润问题离不开公式：总利润=单件利润×件数，该题除了考虑“如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件”转化为每降1元，平均每天少售出多少件；另外还要抓住“要使顾客得到实惠”这句话来决定解的取舍.第2章一元二次方程2.3一元二次方程的应用（第2课时）面积问题例1如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m，宽为26m，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为864m2，求路的宽度为

m.分析：设路的宽度是xm，对三条路进行平移后形成一个矩形，根据矩形的面积公式，即可列方程求解.解：设路的宽度是xm，根据题意，得（40-2x）（26-x）=864x2-46x+88=0，（x-2）（x-44）=0，x=2或x=44（不合题意，应舍去）答：路的宽度是2m.注意点：利用平移的知识把道路平移到一块儿，对花草面积进行整体计算.变式：把一张边长为40cm的正方形硬纸板进行适当地裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）.（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子，要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高.（只需求出符合要求的）答案：（1）设剪掉的正方形的边长为xcm，则(40-2x)2=484，即40-2x=±22，解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9.

∴剪掉的正方形的边长为9cm.（2）答案不唯一，在如图的一种裁剪图中，设剪掉的小正方形的边长为xcm.2(40-2x)(20-x)+2x(20-x)+2x(40-2x)=550解得x1=-35（不合题意，舍去），x2=15.∴剪掉的正方形的边长为15cm，此时长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm.动点问题例2如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动.问几秒时点P和点Q的距离是10cm?分析：假设运动时间为ts，可过点P作PE⊥CD于点E，构造出Rt△PEQ，利用勾股定理，用含t的代数式表示PQ2，即可得到一个关于t的一元二次方程.解：设ts后，点P和点Q的距离是10cm，则AP=3tcm，CQ=2tcm.过点P作PE⊥CD于E，所以AD=PE=6，EQ=16-2t-3t=(16-5t)(cm).在Rt△PQE中，由勾股定理PQ2=PE2+EQ2列方程，得100=62+(16-5t)2.解这个方程，得t1=，t2=

.答：P，Q两点从出发开始到s或s时，点P和点Q的距离是10cm.注意点：动态问题解题的基本思想是化动为静，即假设运动时问为ts，在第ts这一时刻，动态问题变成了一个静态问题.例已知三角形两边长分别是3和6，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）A.13 B.11 C.11或13 D.12或15错答：解一元二次方程x2-6x+8=0得x1=2，x2=4.当三边长为2，3，6时，周长为11；当三边长为4，3，6时，周长为13，故选C.错因：因为2，3，6不能组成三角形，所以此三角形的三边长为4，3，6，周长为13，选A.利用一元二次方程解决实际问题时，必须对方程的解进行检验，需考虑方程的解是否符合实际.正答：A第2章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系（选学）已知方程一根，利用根与系数的关系求方程另一根分析：由方程5x2+kx-6=0可知二次项系数和常数项，所以可根据两根之积求出方程另一个根，然后根据两根之和求出k的值例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根为2，求它的另一个根及k的值.解：设方程的另一个根是x1，则2x1=-，∴x1=-

.

又∵x1+2=-，∴-

+2=-，∴k=-7.注意点：对于一元二次方程（

≥0），当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和.已知一元二次方程的实数根，求两根的代数式的和例2一元二次方程x2-3x+1=0的两实根分别为x1、x2，求（x1-2）（x2-2）的值.分析：先根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1·x2=1，再利用乘法公式把（x1-2）（x2-2）展开得到x1·x2-2（x1+x2）+4，然后利用整体代入的方法计算.解：根据题意得x1+x2=3，x1·x2=1，所以（x1-2）（x2-2）=x1·x2-2（x1+x2）+4=1-2×3+4=-1.注意点：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x1·x2，则x1+x2=，x1·x2=.已知两数的和与积，构造一元二次方程求这两个数例3已知两个数的和等于8，积等于7，求这两个数的值.解：根据根与系数的关系可知，这两个数是方程x2-8x+7=0的两个根，解这个方程得x1=7，x2=1.因此这两个数是1，7.注意点：由于方程（x-x1）（x-x2）=0可化为x2-（x1+x2）x+x1x2=0，如果已知两根之和与两根之积，可根据这一性质构造出一个符合要求的一元二次方程.分析：可将-8作为一次项系数，7作为常数项，构造一个二次项系数为1的一元二次方程，则这个一元二次方程的解就是所要求的两个数.例若关于x的方程x2+(a-1)x+a2=0的两根互为倒数，则a=

.错答：因为方程的两根互为倒数，所以两根的乘积为1，即x1x2=a2=1，解得a=1或-1.正答：-1.错因：方程有两个根，所以根的判别式

≥0，即(a-1)2-4·a2≥0，即-3a2-2a+1≥0，当a=1时，-3a2-2a+1=-4，不符合条件，舍去.当a=-1时，符合题意.故填-1.第3章数据分析初步3.1平均数算术平均数例1公交公司为了了解高峰时段从总站乘车出行的人数，随机抽查了10个班次的乘车人数，结果如下：22，23，26，25，29，28，30，25，21，25.（1）计算这10个班次的乘车人数的平均数；（2）如果在高峰时段从总站共发车50个班次，请你估计在高峰时段从总站乘车出行的乘客共多少人.分析：（1）可利用计算平均数的“新数据法”，取a=25，计算出10个数据的平均数；（2）根据第（1）题中的样本平均数估计出总体平均数，乘以班次数量即可得到结果.解：（1）取a=25，得到新数据：-3，-2，1，0，4，3，5，0，-4，0.x=25+x′=25+

=25.4；（2）25.4×50=1270，高峰时段从总站乘车出行的乘客约1270人.注意点：利用样本平均数估计总体平均数是实际生活中的常用方法.--加权平均数例2某班要从甲、乙、丙三名候选人中选出一名参加学校组织的知识竞赛.班上对三名候选人进行了笔试和口试两次测试，测试成绩如下表：

班上50名学生又对这三名候选人进行民主