数列分节复习

有志的人战天斗地，无志的人怨天恨地。页数列复习【基本公式】1.数列的通项an与前n项和Sn的关系:Sn=a1+a2+a3+…+an2.等差数列和等比数列等差数列等比数列定义an–an-1=d(n≥2)通项公式an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)dan=a1qn-1(a1≠0,q≠0)an=amqn-m(am≠0,q≠0)中项2A=a+bG2=ab前n项和【常用的思想方法】数列中蕴涵着丰富的数学思想和方法.1.递推的思想:数列中的项与项数建立了对应关系,因此可以对数列中前几项的研究,通过归纳、猜想、证明发现规律.2.函数的思想:数列是一类特殊的函数,在处理数列问题时,借用函数的观点进行研究和讨论.3.方程的思想:等差、等比数列的通项公式和前n项和公式涉及五个基本量(a1、d(或q)、an、n、Sn)间的联系,通过建立方程、方程组完成基本运算“知三求二”.4.分类讨论的思想:在解等比数列问题时,要对q进行讨论;已知Sn求an时,要对n进行讨论.5.等价转换的思想:数列问题常常可以转化为函数问题、方程问题;有时将复杂的数列问题转化为熟悉的等差、等比数列问题.6.待定系数法:引入待定参数是研究数列问题的常用策略.7.“错位相减法”、“裂项相消法”:数列求和最常用的方法.3.1数列【基础练习】1.数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5，则a6+a7+a8=.2.已知数列则是它的第项.3.数列1,1,2,3,5,8,13,x,34,…中x的值为.4.已知a1=1,,则a5=.5.已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn+1)=n+1,则an=.【典型例题】【例1】根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式:(1)2,5,9,17,33,…;(2);0,1,0,1,…;(4)8,88,888,8888,….【例2】已知数列{an}的通项.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【变式1】已知数列的通项公式,求它的最大项.【变式2】数列{an}中,a1=1,,求证:当n>1时,1<an<an+1<2.【例3】根据下列条件,写出数列中的前4项,并归纳猜想其通项公式:(1)a1=3,an+1=2an+1;(2)a1=a,;(3)对一切n∈N*,an>0且.【例4*】已知函数.求证:函数y=f(x)的图象关于点对称;求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3);若,求证:对任何自然数n总有成立.【变式】设数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,….(Ⅰ)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想an的一个通项公式;(Ⅱ)当a1≥3时,证明对所有的n≥1,有an≥n+2.【小结】(1)例1、例3是求数列的通项.用归纳法写出数列的一个通项公式,体现了由特殊到一般的思维规律.对于项的结构比较复杂的数列,可将其分成几个部分分别考虑,然后将它们用运算规律结合起来.联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.(2)例2、例4是研究数列的性质:数列是一类特殊函数,由通项公式研究数列是常用方法,因此要重视函数思考方法的运用和函数性质的应用.(3),其中Sn是数列{an}的前n项的和.【达标测试】1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是()(A)(B)(C)(D)2.已知,则数列{an}的最大项是()(A)a12(B)a13(C)a12或a13(D)不存在3.已知数列{an},,其中a,b,c均为正数,那么an与an-1的大小关系是(A)an>an-1(B)an<an-1(C)an=an-1(D)不能确定4.数列{an}中,a1=1,对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·an=n2,则a3+a5等于(A)(B)(C)(D)5.已知数列{an}的前n项和Sn=5n–3,则a6+a7+a8+a9+a10=.6.设{an}是首项为1的正项数列，且（n+1）(n=1，2，3，…)，则它的通项公式是.7.已知数列{an}满足(1)求(2)证明.8.设函数f(x)=log2x–logx2(0<x<1),数列{an}满足(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}的单调性.9.数列{an}中,a1=8,a4=2且满足an+2–2an+1+an=0(n∈N*).求数列{an}的通项公式;设Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,求Sn;(3)*设,Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*),是否存在最大的整数m使得对任意n∈N*均有总成立.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.3.2等差数列【基础练习】1.在等差数列{an}中a2=-5,a6=a4+6则a1=.2.在等差数列{an}中S15=90,则a8=.在等差数列{an}中a1>0S5=S13则前项和最大.4.a1、a2、a3、a4成等差数列且a1、a4是方程x2-2x-3=a两根则a2+a3=.5.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小角为1200公差50则多边形的边数为.【典型例题】【例1】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数.【变式】递减的等差数列的前5项的和等于20，前5项的积等于3024，求该数列前多少项和最大？【例2】等差数列{an}的前n项和Sn且S5=-5,S10=15,求数列的前n项和Tn.【变式】已知两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且，求.【例3】项数为奇数的等差数列,奇数项之和为44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数.【例4】若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn=an·an+1·an+1（n∈N+）,{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}中满足3a5=8a12>0，试问n多大时,Sn取得最大值？证明你的结论.【变式1】已知正项数列a1,a2,…,an满足a1=10,a1·a2·…·a10=1020,且a2n=an-1an+1(n=2,3,…),求使an>10100成立的最小正整数n的值.【变式2】数列,当其前n项和最大时,求n的值.【小结】1.本节主要复习等差数列的定义、基本运算及通项公式、前n项和公式的运用.不仅要熟练应用基本公式，还要会用变通的公式(如在等差数列中a=a+(m-n)d).2.五个量a，d(或q),n,a,S中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的。3.已知三个或四个数成等差、等比数列一类问题时，要善于设元，目的在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a,a+d,a+2d外，还可设a-d,a,a+d;四个数成等差数列时，可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.4.在求解数列问题时，除注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的利用外，还要特别注意解题中要有“目标意识”，“需要什么，就求什么”.【达标测试】1.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a=25，b1=75,a2+b2=100,那么由a2+b2所组成的数列的第37项的值是()(A)0(B)37(C)100(D)-372.若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,已知=,则等于(A)7(B)(C)(D)3.若x≠y,数列x,a,a2,y和x,b1,b2,b3,y各自都成等差数列，则等于(A)(B)(C)(D)4.首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是(A)d>(B)d>3(C)≤d<3(D)<d≤35.数列{an}的通项公式为an=2n-49,Sn达到最小时，n等于。6.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠0)的四个根可组成首项为的等差数列，则a+b的值是.7.在等差数列{an}中,设Sn=a1+a2+…+an,已知Sn-a1=48,Sn–an=36，Sn-a1-a2-an-1–an=21,求这个数列.8.已知f(x+1)=x2-2x,等差数列{an}中,a1=f(x-1),a2=-,a3=f(x).(Ⅰ)求通项an。(Ⅱ)求a2+a5+a8+…+a26的值.3.3等比数列【基础练习】1.下列四个命题:①公比q>1的等比数列是递增的数列;②公比0<q<1的等比数列是递增的数列;③常数列是公比为1的等比数列;④公比q<0的等比数列是递减的数列.其中正确命题的个数是()(A)0(B)1(C)2(D)32.等比数列{an}中前n项和Sn=3n+r,则r等于()(A)–1(B)0(C)1(D)33.若等比数列{an}的公比q>0,且q≠1,又a1<0,那么()(A)a2+a6>a3+a5(B)a2+a6<a3+a5(C)a2+a6=a3+a5(D)a2+a6与a3+a5的大小不能确定4.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1,且a2,,a1成等差数列,则的值是.5.设,15,成等差数列,又,9,成等比数列,则和分别等于.【典型例题】【例1】一个等比数列有三项,如果把第二项加上4,那么所得的三项就成为等差数列;如果再把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列.【变式】四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四数.【例2】设首项为正数的等比数列,它的前n项和为80,前2n项和为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比q.【变式】由正数组成的等比数列{an}中,若前2n项和等于它前2n项中的偶数项和的11倍,第3项与第4项的和为第2项与第4项积的11倍,求等比数列{an}的通项公式.【例3】已知数列{an}的前n项和Sn=an+1,求a1+a3+…+a2n-1.【变式】数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn+1=4an+2.(Ⅰ)设bn=an+1–2an,求证数列{bn}是等比数列;(Ⅱ)设,求证数列{cn}是等差数列.【例4】从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入资金800万元,以后每年投入资金将比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元.写出an、bn的表达式;(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?【变式】已知数列（n为正整数）是首项是a1，公比为q的等比数列.（1）求和：（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明.（3）设q≠1，Sn是等比数列的前n项和，求：.【小结】1.等比数列的通项公式和前n项和公式涉及五个基本量:a1、q、n、an、Sn,“知三求二”是最基本的运算,用待定系数法建立方程是重要的处理策略.2.在等比数列问题中要对q进行讨论.【达标测试】首项为2,公比为3的等比数列,从第n项到第N项的和为720,则n,N的值分别为()(A)2,6(B)2,8(C)3,6(D)3,72.数列{an},如果a1,a2–a1,a3–a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为的等比数列,那么an=()(A)(B)(C)(D)3.设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2且a1·a2·a3…a30=230,那么a2·a5·a8…a29的值为()(A)210(B)220(C)215(D)2164.某人从1996年起,每年1月1日到银行新存入a元(一年定期),若年利率为r保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2004年1月1日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为元.5.设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和,若{Sn}是等差数列,则q=.6.等比数列{an}中,已知a6–a4=24,a3a5=64,求{an}的前8项和S8.有4个数a1,a2,a3,a4,前3个数成等差数列,后3个数成等比数列,且a1+a4,a2+a3是方程x2-21x+108=0的两根,求这4个数.8*.设数列{an}中,若以a1,a2,a3,…an为系数的二次方程an+1x2–anx+1=0都有根、满足3+3=1+.(Ⅰ)求证是等比数列;(Ⅱ)求通项an及前n项和Sn.3.4等差数列与等比数列的简单综合【基础练习】1.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,其公比q≠1且bi>0(i=1,2,…,n),若a1=b1,a11=b11,则()(A)a6>b6(B)a6=b6(C)a6<b6(D)a6>b6或a6<b62.等差数列{an}的首项a1=1,公差d≠0,如果a1、a2、a5成等比数列,那么d=(A)3(B)–2(C)2(D)2或-23.等差数列{an}的第3、7、10项成等比数列,那么公比q=.4.若{an}是等比数列,其中a3、a7是方程2x2–3kx+5=0的两个根,而且(a3+a7)2=2a2a8+1,那么k的值为.5.a、b、c成等比数列,a、c、b成等差数列,则a：b：c=.【典型例题】【例1】公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q.【例2】设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1=1,b1=2,a2=3,求通项an,bn.【变式】一个非常数等差数列{an}中的部分项成等比数列,已知b1=2,b2=4,b3=12.求数列{bn}的通项公式;②求数列{bn}的前n项和Sn.【例3】在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,bn使这n+2个数成等差数列.记An=a1a2a3…an,Bn=b1+b2+b3+…+bn.求数列{An}和{Bn}的通项;(2)*当n≥7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论.【变式】已知f(x)=(x-1)2,g(x)=4(x-1).数列{an}满足a1=2,(an+1–an)g(an)+f(an)=0.用an表示an+1；求证：{an–1}是等比数列；(3)若bn=3f(an)-g(an+1),求{bn}的最大项和最小项.【例4*】n2(n≥4)个正数排成n行n列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等.已知a24=1,.求S=a11+a22+a33+…+ann.【变式】下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）……712（）（）（）……（）（）（）（）（）……（）（）（）（）（）……………………其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数.（1）写出的值；（2）写出的计算公式；（3）证明：正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.【小结】1.等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量:a1,d(或q),n,an,Sn.“知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法.2.列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段.【达标测试】1.已知a,b,a+b成等差数列,a,b,ab成等比数列,且0<logmab<1,则m的取值范围是()(A)m>1(B)1<m<8(C)m>8(D)0<m<1或m>82.ABC中三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差等于()(A)00(B)150(C)300(D)4503.Sn是数列{an}的前n项和,log2Sn=n(n=1,2,3,4,…),那么数列{an}()(A)是公比为2的等比数列(B)是公差为2的等差数列(C)是公比为的等比数列(D)既非等差数列也非等比数列12343477451114115162525166……………4.数列{an}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{bn12343477451114115162525166……………5.如图,它满足(1)第n行首尾两数均为n;(2)表中的递推关系类似杨辉三角形.则第n(n≥2)行第2个数是.6.有四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是11,第三个数比第二个大2,求这四个数.7.在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1=1,且a1=b1,a2=b2,a8=b3.(Ⅰ)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比;(Ⅱ*)是否存在常数a、b使得对于一切自然数n,都有an=logabn+b成立,若存在,求出a和b;若不存在,说明理由.8*.设a、b∈N*,数列{an}是首项为a,公差为b的等差数列,数列{bn}是首项为b,公比为a的扥比数列且满足a1<b1<a2<b2<a3.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)对于某项am,存在bn是am+1=bn成立,求b的值并推导m与n的关系式;(Ⅲ)在{an}中,对满足(Ⅱ)的项求它的前k项和.3.5数列综合应用与求和【基础练习】1.数列的前n项和为()(A)(B)(C)(D)2.数列{an}的前n项和为Sn=n2,则()(A)(B)(C)(D)3.某细胞开始时有2个,10分钟分裂成4个并死去1个,20分钟分裂成6个并死去1个,按这个规律进行分裂,1小时时活细胞有()个.(A)30(B)65(C)67(D)714.已知二次函数f(x)=n(n+1)x2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…,10时这些函数的图象在轴上截得的线段长度之和为.5.某地区重视环境保护,绿色植被面积呈上升趋势,经调查,从1986年到1995年这10年间每两年上升2%,1994年和1995年种植植被815万㎡,当地政府决定今后10年内仍按这个比例发展下去,那么从1996年到1999年种植绿色植被面积为(四舍五入).【典型例题】【例1】已知函数,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*).(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求Sn并求.【变式1】某办公大楼共有28层，若每层派一人集中到第k层开会，要使这28个参加会议的人员上、下楼梯所走的路程的总和最小，应该取k等于几？【变式2】将等宽等厚的铜片绕在半径为40㎜的圆柱形芯上.绕完后测出铜片总厚度为40㎜.已知铜片的单片厚度为0.1㎜,求:(Ⅰ)绕的铜片约多少圈?(Ⅱ)绕的铜片约多少长(精确到0.1m)?请你按铜片内层面、外层面及厚度的中心线分别计算,看一看它们的差异.【例2】fn(x)=(1+2x)(1+22x)…(1+2nx)(n∈N*).(Ⅰ)设fn(x)展开式中x项的系数为an,求an的表达式;(Ⅱ)设fn(x)展开式中x2项的系数为bn,求证:bn+1=bn+2n+1an;(Ⅲ)是否存在常数a、b,使对一切n≥2,n∈N*恒成立?如果存在,求出a、b的值;如果不存在,说明理由.【变式】设a>0,如图所示,已知直线L:y=ax及曲线C:y=x2,C上的点Q1的横坐标为a1(0<a1<a),从C上的点Qn(n≥1)作直线平行于x轴,交直线L于点Pn+1,再从点Pn+1作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn+1.Qn(n=1,2,3…)的横坐标构成数列{an}.(Ⅰ)试求an+1与an的关系,并求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)当a=1,时,证明.19951994年份240019951994年份240025200沙漠面积积1996【变式】从盛满a升(a>1)纯酒精的容器里倒出