中考数学考点总动员系列专题29尺规作图(含解析)

/25考点二十九：尺规作图聚焦考点☆温习理解.尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺.基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和、差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和、差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线.3.利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形..与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆 (即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形..有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型.作图的一般步骤尺规作图的基本步骤：(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；「；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形

「；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没（6）结论：对所作图形下结论.名师点睛☆典例分类考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例1】（2017四川自贡第22题）两个城镇A,B与一条公路CR一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到 A,B的距离必须相等，至ijCD和CE的距离也必须相等，且在/DCE的内部，请画出该山庄的位置P.（不要求写作法，保留作图痕迹.）c\ a【答案】作图见解析.【解析】c\ a【答案】作图见解析.试题分析：根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在/DCE的角平分线上，所以第一步作：/ECDB勺平分线CF;根据中垂线的性质可得：到 AB的距离相等的点在AB的垂直平分线上，所以第二步作线段 AB的垂直平分线MN其交点就是P点.试题解析：作法：①作/ECD勺平分线CF,②作线段AB的中垂线MN③MN与CF交于点P,则P就是山庄的位置.考点：作图设计.【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应

用.【举一反三】（2017黑龙江绥化第22题）如图， 区）为某公园的三个景点，景点 田和景点可之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭，使景点0、景点」到凉亭口的距离之和等于景点|回到景点d的距离.请用直尺和圆规在所给的图中作出点 Jd|.（不写作法和证明，只保留作图痕迹 ）■【答案】作图见解析.【解析】试题分析:如图,,连接加，作线段N的垂直平分线地，直线网交胡于F.点F艮防所求的点.试题解析：如图p连接靛』作线段K的垂直平分线直线双交业于P.点P即为所求的点.理由:二%垂直平分线段AC：，P后FC），氏珏上巴代屋二茯.考点：作图一应用与设计作图.考点典例二、画已知直线的平行线，垂线【例2】（北京市燕山区2017届九年级一模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

请回答：该作图依据是.【答案】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线【解析】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线。【点睛】尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的平行线，实际上就是基本作图：作一个角等于已知角.【例3】(北京市海淀区2017-2018学年九年级上学期期中)下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程.(1)分别以点怔和点可为圆心，大于国的长为半径作弧，两弧相交于 回，司两点；(2)作直线四，交回于点H;(3)以目为圆心，|回为半径。。，与CB的延长线交于点 D,连接AD,线段AD即为所作的高请回答；该尺规作图的依据是 【答案】①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.【解析】由（1）（2）（3）可得OA=OC=OD所以AHC在以。为圆心，AC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角，得/ADC=90,即AD为BC边上白^高.故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对的圆周角是直角；③两点确定一条直线.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图时在五种基本作图的基础上你进行作图，一般是几何了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作 .【举一反三】（2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点 P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是()A.①B.②C.③ D.④【答案】C.【解析】试题解析：①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作;去正确；劭£一条线段的垂直平分线缺少另一个交点,作法错误j④过直线外一点P作已知直线的垂线的作;去正确.故选c.考点：基本作图.考点典例三、画三角形【例4】（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作△ABC的外心O;

（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形 DEFGHJ使点F,点H分别在边BC和AC上.【答案】（1）作图见解析；（.2）作图见解析试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出 AB,AC的垂直平分线交于点。即为所求;（2）过D点作DI// BC交AC于I,分别以D, I为圆心，DI长为半径作圆弧交 AB于E,交AC于H,过E点作EF//AC交BC于F,过H点作HG/AB交BC于G,六边形DEFGHI即为所求正六边形.试题解析：（1）如图所示：点。即为所求.（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形.考点：1.作图一复杂作图；2.等边三「角形的性质；3.三角形的外接圆与外心.【点睛】（1）作三角形包括：①已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；②已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；③已知三角形的三边，求作三角形;（2）求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形.已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作△ ABG使BC=aAB=c,/ABCN3.（不写作法,保留作图痕迹）【答案】作图见解析.【解析】试题分析：先作/【答案】作图见解析.【解析】试题分析：先作/MBN=3,再在/MBN勺两边上分别截取BC=a,AB=c,连接AC即可.考点典例四、通过画图确定圆心考点典例四、通过画图确定圆心【例【例5】（2017浙江嘉兴同学19题）如图，已知（1）在图中，用尺规作出目的内切圆,并标出（1）在图中，用尺规作出目的内切圆,并标出回与边臼叵］的切点回，㈢，国（保留痕迹，不必写作法）；(2)连接Ld【答案】（1）作图见解析；（2）70。.试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论;（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论.试题解析：（1）如图1,00即为所求.（2）如图2,连接ODOE.ODLAR。aBG・./ODB=OEB=90,・•/B=40°,./DOE=140,・./EFD=70.考点：1.作图一复杂作图；2.三角形的内切圆与内心.【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆.【举一反三】（浙江省杭州市余杭区2017届九年级上学期期中）如图，（1）作△ABC的外接。0（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cmAC=BC=5cm求。0的半径.【解析】试题分析：（1）作线段AB于△ABC的外接圆即可；（2）先根据勾股定理求出CD的长，设【解析】试题分析：（1）作线段AB于△ABC的外接圆即可；（2）先根据勾股定理求出CD的长，设即可.试题解析：（1）如图，O。即为所求；OC=OA=r则OD=CD-g在Rt^AOD中，利用勾股定理求出r的值(2)..AB=6cmAC=BC=5cm•.AD=mAB=3cmCD= ==~*==-I =4cm.设OC=OA=r则OD=4-r,在RtAAOD^,AD2+oD=oA,即32+(4-r)2=r2,解得课时作业☆能力提升r=.』AB>AC,/CAD为4ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下1.(2017广西四市)如图，△ABC中,AE//BCD./DAE=ZEACBC的垂直平分线相交于点 。，则点。即为圆心，OA为半径，作【答案】D.【解析】试题分析：根据图中尺规彳^图的痕迹，可得/ DAEWB,故A选项正确，，AE//BG故C选项正确，EAC1C,故B选项正确，•••AB>AC,，/C>ZB,/CAE>/DAE故D选项错误，故选D.考点：作图一复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质..（2016-2017学年江苏盐城东台市第二教育联盟初二上 10月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（）.A.已知两条直角边 B .已知两个锐角C.已知一直角边和直角边所对的一锐角 D.已知斜边和一直角边【答案】B.1解析】试题分析：骨林能作出唯一直角三角形要看所给条件是否］醍全等三角形的单住条件.然后利用三角形全等的判定方海寸各选项进行判定.上已如两条直角边和直龟，可根堀作出唯一直角三龟形』所以以选项错误』小已知两个锐角，不能出唯一的直角三角形j所以。选项之前J5已知一直角边和直角边所对的一钳角，可用睡"皿力或‘」独”作出唯一直角三角形，所以B选项错误35已知斜边和一直角边m可根据,乱”作出唯一直角三角舟，所以D选项错误.故选；氏考点：作图一一复杂作图..（河南省驻马店市确山县2017-2018学年八年级上学期期中）如图，已知钝角？ABC依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点 D;步骤3:连接AD,交BC延长线于点H.卜列叙述正确的是（A.AC平分/BADB.BH垂直平分线段ADC.SiABC=BCAHD.AB=AD【答案】B【解析】解：①、错误. CA^一定平分/BAD②、正确.如图连接CDBD•-CA=CQBA=BD,.•・点C点B在线段AD的垂直.平分线上，，直线BC是线③、错误.应该是&ab（=?BC?AH④、错误.根据条件AB不一定等于AD点睛：本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法.4.（福建省晋江市2017年初中学业质量检查）已知点|凶点口都在直线1的上方，试用尺规作图在直线二上求作一点|回，使得L山 的值最小，则下列作法正确的是（）.

如图，由作图可知， B,B，关于直线对称，所以BP=B，P,此时AP+PBT=AP+PB直最小.（2017湖北随州）如图，用尺规作图作/ AOC/AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OAOBF点EA.以点①，分别交OAOBF点EA.以点F为圆心,B.以点F为圆心,C.以点E为圆心,D.以点E为圆心,【答案】DOE长为半径画弧EF长为半径画弧OE长为半径画弧EF长为半径画弧【解析】解：用尺规作图作/ AOC/AOB勺第一步是以点O为圆心，以任意长为半彳5画弧①，分别交OAOB于点E、F,第二步的作图痕迹②的作法是以点 E为圆心，EF长为半径画弧.故选D.（浙江省温州市鹿城区第二十三中学 2017学年H上八年级期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已

知角”的原理是：因「为日全等的依据是（），所以.由这种作图方法得到的知角”的原理是：因「为日全等的依据是（），所以.由这种作图方法得到的【答案】A【解析】根据作图方法可知： D'O'=DO,O'C'=OC,D'C'=DC,根据SSS即可得 ,故选A.（2017届浙江省杭州市淳安县中考模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆 6等分，如图只需在。0上任取点A,从点A开始，以。0的半径为半径，在。0 上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把。0六等分。下列可以只用圆规等分的是（ ）①两等分 ②三等分 ③四等分 ④五等分A.②B.①②C.①②③D.①②③④【答案】D【解析】经过圆心的直径可将圆周两等分；画一条直径，以直径的一个端点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与原有圆有两个交点，这两个交点与直径另一个端点就是圆的三等分点；画两条互相垂直的直径就可以将圆四等分；五等分圆如下图所示：击8.（山东省日照巾总县2016-2017击8.（山东省日照巾总县2016-2017学年期末）卜列尺规作图，能判断 AD是△ABC边上的「高是（ ）【解析】试题分析：过点C.D.A作BC的垂线，垂足为D,故选【解析】试题分析：过点C.D.A作BC的垂线，垂足为D,故选B.考点：作图一基本作图.9.（浙江省丽水市青田县八校联盟 2017届九年级上学期第二次教学效果调研）已知线段 AB下列尺规作图中，PQ与AB的交点O不一一定是AB的中点的是（）A.AB.BC.CD.D【答案】C【解析】从根据线段垂直平分线的性质进行判断氏根据福亍级的性质进行判断iC,根据全等三角形的性质迸行判断；D.根据线殴垂直平分线的性质进行判断.解：以由图可得，PQ垂直平分AE，故。是行的中点J日、由图可得『四边形QFQ是平行四边形，故。是AB的中点,C,由图可得,，AAEP^AAEQ,FQ与AB的交点不一定是AE的中点j认由图可得，PQ垂直平分故。是AE的中点.改送C.10.（2017湖北宜昌卷）如图，在L=J中，尺规作图如下：分别以点•，点,为圆心，大于目的长为半径作弧，两弧相交于 以I两点，作直线|回|,交回于点日,连接|国|,则下列结论正确的是（）

回垂直平分山W平分回垂直平分山W平分回C.臼垂直平分D【答案】C【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的作法可得， GH^直平分线段EF.故选：C.考点：1、作图一基本作图；2、线段垂直平分线的性质.（浙江省杭州市青春中学 2016-2017学年八年级上学期期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已知 ...'''''' '''一角的原理是：因为△!）OC^ADOC所以/DOC=/DOC由这种作图万法得到的△!） OC和ADOC全等的彳^据是—（写出全等判定方法的简写）【答案】SSS【答案】SSSOD=OD（）OC=OC【解析】由题意得，1C口=CD',得△!）’OCH^DOC..（2017年初中毕业升学考试河北卷）如图，依据尺规作图的痕迹，计算/a【解析】试题分析：如图，根据作图痕迹可知， GH垂直平分AC,AG平分/CAD..・四边形ABCD^矩形,•.AD//BG /CAD=ABC=68。L.AG平分/CAD，/CAG=3/CAD=34。••GH垂直平分AC,，/AHG=90,../AGH=90-34°=56°。•・•/a=/AGH.1./a=56°。考点：尺规作图，矩形的性质，角平分的定义，直角三角形的性质^13.考点：尺规作图，矩形的性质，角平分的定义，直角三角形的性质^13.(2017年北京怀柔初三数学二模)下面是一道确定点 P位置的尺规作图题的作图过程.如图，直线L1与L2相交于点QAB是L2上两点，点P是直线L1上的点，且/APE=30出符合条件的点P.,请在图中作作法：如图,作法：如图,(1)(1)以AB为边在L2上方作等边△ABC(2)以C为圆心，AB长为半彳5作。C交直线L1于Pi,P2两点.则R、F2就是所作出的符合条件的点P.请回答：该作图的依据是 【答案】一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半 ^【解析】ABC^等边三角形,/C=60,•••/APB=30,/AP2B=30依据是：一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半 ^14.（2017甘肃庆阳第21题）如图，已知△ABG请用圆规和直尺作出^ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）.【解析】试题分析：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E,彳AC的垂直平分线得到线段AC的中点F.线段EF即为所求.试题解析：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E,彳AC的垂直平分线得到线段AC的中点F.线段EF即为已知线段•和日一点引在叵！上（如图所示）（1）在回边上作点回，使三I

(2)作巨］的平分线；(3)过点回作回的垂线.【答案】作图见解析.【解析】试题分析：(1)在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；(2)根据角平分线的作法即可作出/AOB的平分线；D点,(3)以M为圆心，作一圆与射线OBD点,连接MD即为OB的垂线；试题解析：(1)点P为所求作；OC为所求作；MD为所求作；考点：作图一复杂作图.16.考点：作图一复杂作图.16.(2017湖北孝感第20题)如图，已知矩形 I1 .(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①以点」为圆心，以|W的长为半径画弧交边|巴于点国,连接|Ld;②作|L=J的平分线交叵］于点用|;③连接；(2)在(1)作出的图形中，若I ,则的值为.【答案】（1）画图见解析；（2）>【解析】试题分析：（1）根据题目要求作图即可;(2)由(1)知AE=AD=10/DAF=ZEAF,【答案】（1）画图见解析；（2）>【解析】试题分析：（1）根据题目要求作图即可;(2)由(1)知AE=AD=10/DAF=ZEAF,可证^DA障△EAF得/D=ZAEF=90『即可得/FEC=ZBAE,从而由tan/FEC=tan/BAE=三］可得答案.试题解析：（1）如图所示;(2)由(1)知健=松=10、ZdAJ^ZeAF*'.'AB=3,/-BE=sJaE1-ABT=6,=AF在AMF和ZkEAF中/ZDAF-AEAFr/.ADAF^AEAFCn与):/2/蚯广90'AF^AFeejl+Nfec=go。，X'/ZBEA+ZBAE=90.\ZFEC=ZBAE,.tanZFECs-tanZBAEs—=AB84考点：1.作图-基本作图；2.全等三角形的判定与性质； 3.解直角三角形17.（2017贵州六盘水第25题）如图,Ld是勺的直径， XI，点■在巴日的中点，,是直径LrJ上一动点.).（1）利用尺规作图，确定当L=J最小时H点的位置（不写作法，但要保留作图痕迹).（2）求L=J的最小值.

【答案】（1）详见解析；（2）2回.试题分析：（1）画出A点关于MN的称点回，连接0B,就可以得到P点；（2）利用 1得/AONWLrl=60°,又•为弧AN的中点,BON=30,所以/回ON=90,再求最小值也！.试题解析：（1）如图，点P即为所求作的点.（2）由（1）可知，L=J的最小值为LJ的长,连接回，OB、OA.「A点关于MN的称点回，/AMN=30,又为囚的中点又「MN=4

在RtA国中,即 —J的最小值为2回.考点：圆，最短路线问题.18.（2017江苏盐城第24题）如图，△ABC是一块直角三角板，且/C=90,/A=30°,现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部.（1）如图①，当圆形纸片与两直角边 ACBCfB相切时，试用直尺与圆规作出射线 CO（不写作法与证明，保留作图痕迹）1周，回到起点位置时停止，若 BC=9,1周，回到起点位置时停止，若 BC=9,圆形纸片的半径为2,求圆心。运动的路径长.【解析】【解析】试题分析：（1）作/ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心 O,作射线CO即可;（2）添加如图所示辅助线，圆心 。的运动路径长为dOOO2,先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO四边形OQHG四边形OOIF均为矩形、四边形OEC叨正方形，得出/OOQ=60°=/ABG/000=90°,从而知△OOQs^cba利用相似三角形的性质即可得出答案.试题解析：（1）如图①所示，射线OC即为所求；

(2)如图，圆心O(2)如图，圆心O的运动路径长为 QaOOC2,S②F、G过点O作ODLBGOF^AGOGJ±ARF、G过点O作OHBC,垂足为点E,连接QB,过点Q作QH,AB,C2