常微分方程习题课课件

1.知道并理解与微分方程相关的概念一、基本要求2.熟练掌握一阶微分方程的解法

3.熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法4.理解线性微分方程解的结构５.熟练掌握二阶常系数线性方程解法

第七章微分方程11.知道并理解与微分方程相关的概念一、基本要求2.1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．二、内容提要21、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．3通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换4(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．5齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)(4)一阶线性微分方程

非齐次齐次（使用分离变量法）通解通解（常数变易法）6(4)一阶线性微分方程非齐次齐次（使用分离变量法）通解(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．7(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程3、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得83、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通特点型解法代入原方程,得9特点型解法代入原方程,得9４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:10４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:10（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:11（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:11５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.12５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常★二阶常系数齐次线性方程解法特征根通解13★二阶常系数齐次线性方程解法特征根通解13特征方程的根通解中的对应项★n阶常系数齐次线性方程解法

特征方程14特征方程的根通解中的对应项★n阶常系数齐次线性方程解法６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法求特解的方法

待定系数法

15６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法求特解的方法待定系数法1616二、典型例题例1解原方程可化为17二、典型例题例1解原方程可化为17代入原方程得分离变量两边积分所求通解为18代入原方程得分离变量两边积分所求通解为18例2解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利方程19例2解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法20代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法20解：将原方程写成21解：将原方程写成21例4解方程为全微分方程.22例4解方程为全微分方程.22(1)利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为23(1)利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为(2)利用曲线积分求解:故方程的通解为24(2)利用曲线积分求解:故方程的通解为24例5解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为25例5解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为25故方程的通解为26故方程的通解为26例6解代入方程，得故方程的通解为27例6解代入方程，得故方程的通解为27例7已知方程有三个解，求此方程满足初始条件的特解。

解：由线性微分方程解的结构理论知，及是对应齐次方程的解且它们线性无关，，所以对应齐次方程的通解故原方程的通解为 所求特解为28例7已知方程例8解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为29例8解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为2原方程的一个特解为故原方程的通解为30原方程的一个特解为故原方程的通解为30由解得所以原方程满足初始条件的特解为31由解得所以原方程满足初始条件的特解为31例9解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为32例9解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为32由解得33由解得33故原方程的通解为由即34故原方程的通解为由即34例10设且满足方程求提示:

上式两边对x求导两次：因此问题化为解下列初值问题最后求得35例10设且满足方程求提示:上式两边对x求导两次：因已知在全平面上与路径无关，其中具有连续的一阶导数，并且当是起点在（0，0），终点为（1，1）的有向曲线时，该曲线积分值等于，试求函数。解：

36已知解例12则由牛顿第二定律得37解例12则由牛顿第二定律得37解此方程得代入上式得38解此方程得代入上式得38例13从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成正

比,比例系数为k(k>0),试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v).提示:建立坐标系如图.质量m体积B由牛顿第二定律得重力浮力阻力39例13从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量m体积B40初始条件为用分离变量法解上述初值问题得质量m401.知道并理解与微分方程相关的概念一、基本要求2.熟练掌握一阶微分方程的解法

3.熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法4.理解线性微分方程解的结构５.熟练掌握二阶常系数线性方程解法

第七章微分方程411.知道并理解与微分方程相关的概念一、基本要求2.1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解．二、内容提要421、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解．特解

确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解．初始条件用来确定任意常数的条件.初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题．43通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方程的解法(2)齐次方程解法作变量代换44(1)可分离变量的微分方程解法分离变量法2、一阶微分方齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)可化为齐次的方程解法化为齐次方程．45齐次方程．（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程．(3)(4)一阶线性微分方程

非齐次齐次（使用分离变量法）通解通解（常数变易法）46(4)一阶线性微分方程非齐次齐次（使用分离变量法）通解(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程.

方程为非线性微分方程.解法需经过变量代换化为线性微分方程．47(5)伯努利(Bernoulli)方程方程为线性微分方程3、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通解．型解法代入原方程,得483、可降阶的高阶微分方程的解法解法特点型接连积分n次，得通特点型解法代入原方程,得49特点型解法代入原方程,得9４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:50４、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:10（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:51（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:11５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.52５、二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常★二阶常系数齐次线性方程解法特征根通解53★二阶常系数齐次线性方程解法特征根通解13特征方程的根通解中的对应项★n阶常系数齐次线性方程解法

特征方程54特征方程的根通解中的对应项★n阶常系数齐次线性方程解法６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法求特解的方法

待定系数法

55６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法求特解的方法待定系数法5616二、典型例题例1解原方程可化为57二、典型例题例1解原方程可化为17代入原方程得分离变量两边积分所求通解为58代入原方程得分离变量两边积分所求通解为18例2解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利方程59例2解原式可化为原式变为对应齐方通解为一阶线性非齐方程伯努利代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法60代入非齐方程得原方程的通解为利用常数变易法20解：将原方程写成61解：将原方程写成21例4解方程为全微分方程.62例4解方程为全微分方程.22(1)利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为63(1)利用分项组合法求解:原方程重新组合为故方程的通解为(2)利用曲线积分求解:故方程的通解为64(2)利用曲线积分求解:故方程的通解为24例5解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为65例5解非全微分方程.利用积分因子法:原方程重新组合为25故方程的通解为66故方程的通解为26例6解代入方程，得故方程的通解为67例6解代入方程，得故方程的通解为27例7已知方程有三个解，求此方程满足初始条件的特解。

解：由线性微分方程解的结构理论知，及是对应齐次方程的解且它们线性无关，，所以对应齐次方程的通解故原方程的通解为 所求特解为68例7已知方程例8解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为69例8解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为2原方程的一个特解为故原方程的通解为70原方程的一个特解为故原方程的通解为30由解得所以原方程满足初始条件的特解为71由解得所以原方程满足初始条件的特解为31例9解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为72例9解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为32由解得73由解得33故原方程的通解为由即74故原方程的通解为由即34例10设且满足方程求提示:

上式两边对x求导两次：因此问题化为解下列初值问题最后求得75例10设且满足方程求