带电粒子受洛伦兹力作用下运动的多解问题

带电粒子受洛伦兹力作用下运动的多解问题江西省都昌县第一中学李一新带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，常使问题形成多解。形成多解的原因主要有以下几个方面：

一、带电粒子的电性不确定

带电粒子以相同的初速度进入磁场中，带正电和带负电所受的洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，就会形成双解。

例1在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴O在匀强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动，磁场的方向竖直向下，其俯视图如图1所示。若小球运动到A点时，绳子突然断开，关于小球在绳断开后可能的运动情况，以下说法正确的是（

）

A．小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变

B．小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径减小

C．小球仍做顺时针匀速圆周运动，半径不变

D．小球仍做顺时针匀速圆周运动，半径减小

解析：题中并未给出带电小球的电性，故需要考虑两种情况。

①如果小球带正电，则小球所受的洛伦兹力方向指向圆心，此种情况下，如果洛伦兹力刚好提供向心力，这时绳子对小球没有作用力，绳子断开时，对小球的运动没有影响，小球仍做逆时针的匀速圆周运动，半径不变，A选项正确。如果洛伦兹力和拉力共同提供向心力，绳子断开时，向心力减小，而小球的速率不变，则小球做逆时针的圆周运动，但半径增大。

②如果小球带负电，则小球所受的洛伦兹力方向背离圆心，由可知，当洛伦兹力的大小等于小球所受的一半时，绳子断后，小球做顺时针的匀速圆周运动，半径不变，C选项正确，当洛伦兹力的大小大于小球所受的拉力的一半时，则绳子断后，向心力增大，小球做顺时针的匀速圆周运动，半径减小，D选项正确，故本题正确的选项为ACD。

二、磁场方向的不确定

带电粒子在磁场方向不同的磁场中，所受洛伦兹力的方向是不同的，在磁场中运动的轨迹就不同，若题目中只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。

例2（2007年全国卷Ⅱ）如图2所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图2中箭头所示，现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（

）

A．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于T0

B．若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于T0

C．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于T0

D．若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于T0

解析：此题中，只说明磁场方向垂直轨道平面，因此磁场的方向有两种可能。当磁场方向指向纸里，质点所受的洛伦兹力背离圆心，与库仑引力方向相反，则向心力减小。由可知，当轨道半径R不变时，该质点运动周期必增大；当磁场方向指向纸外时，粒子所受的洛伦兹力指向圆心，则向心力增大，该质点运动周期必减小，故正确的选项为AD。

三、临界状态不唯一

带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，可能会从不同的位置穿越边界，临界条件不唯一会形成多解。

例3如图3所示，长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间的距离也为L，板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从极板间左边中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，则v需要满足什么条件？

解析：欲使带电粒子不打在极板上，带电粒子可以从左边穿出，也可以从右边穿出，因此问题归结为求粒子能从右边穿出时轨道半径的最大值r1以及粒子可从左边穿出时轨道半径的最小值r2。

设粒子擦着极板从右边穿出时的速度为v1，如图4所示，此时圆心在O1点，由几何关系有：

①

由牛顿第二定律得：

②

由①②两式得：

设粒子擦着极板从右边穿出时的速度为v2，如图4所示，此时圆心在O2点，由几何关系有：

③

而

④

由③④式可得：

因此，当粒子的速度满足v＞或v＜时，粒子不会打在极板上。

四、运动方向的不确定

带电粒子以不同的速度方向进入磁场中，作圆周运动的轨迹是不同的，因而会形成多解情形。

例4如图5所示，AC为坐标系xOy横轴上两点，A的坐标为（L，0），B点的坐标为（－L，0），匀强磁场垂直坐标平面向外，磁感应强度为B，则：

（1）质子的速度为多大才能满足上述要求？

（2）现有α粒子自C点从第三象限射入第二象限，刚好在坐标原点和同自A点射入的质子相遇，求射入时α粒子速度的大小和方向。（已知α粒子的质量为4m，电荷量为2e）

解析：（1）质子自A点沿y轴负方向射入刚好经过坐标原点，由几何关系可得其轨道半径：

①

由洛伦兹力提供向心力可得：

②

联立①②两式可得质子的速度为

（2）因α粒子的周期与质子的周期关系为。关于他们的相遇情况分两种情形来讨论：

第一种情形，质子自A点沿y轴负方向射入到达原点的最短时间为，转过的圆心角为180°，要使α粒子在原点与质子相遇，则α粒子作匀速圆周运动转过的圆心角为90°，运动轨迹如图6所示，此时与x轴正方向的夹角成45°，考虑到运动的周期性相遇的时刻为、、……

第二种情形，质子自A点射入到达原点后再经一周又回到原点，运动时间为，圆心角为540°，要使α粒子在原点与质子相遇，则α粒子作匀速圆周运动转过的圆心角为270°，运动轨迹如图7所示，此时与x轴正方向的夹角成135°（与x轴负方向的夹角成45°），考虑到运动的周期性相遇的时刻为、、……

两种情形下，由几何关系可得α粒子作匀速圆周运动的半径都为：

③

而

④

由③④式可得α粒子射入时的速度大小为：。

五、运动的反复性

带电粒子在复合场中运动时，或与挡板等边界发生碰撞，将不断地反复在磁场中运动，也会形成一些多解问题。

例5如图8所示，半径为r的圆筒中有沿圆筒轴线方向、大小为B的匀强磁场，质量为m、带电荷量为+q的粒子以速度v从筒壁小孔A处沿半径方向垂直磁场射入筒中，若它在筒中仅受洛伦兹力作用，且与筒的碰撞无能量损失，并保持原有电荷量，粒子在筒中与壁相撞并绕壁一周仍从A孔射出，则B的大小必须满足什么条件？

解析：如图9所示，粒子由A孔进入圆筒中做匀速圆周运动，半径为R，圆心在O’点处，粒子运动轨迹与相交的一段弧长所对应圆筒的圆心角为θ，各壁相撞后反弹速度大小不变，方向相反，且仍指向圆心O，粒子周期性重复以上过程，若要仍从A孔射出，则必有：

（k=3，4，5……）

①

②

由几何关系可得：

③

联立①②③式可得：（k=3，4，5……）

例6（2009年全国卷Ⅰ）如图10所示，在x轴下方有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xy平面向外。P是y轴上距原点为h的一点，N0为x轴上距原点为a的一点。A是一块平行于x轴的挡板，与x轴的距离为，A的中点在y轴上，长度略小于。带点粒子与挡板碰撞前后，x方向的分速度不变，y方向的分速度反向、大小不变。质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子从P点瞄准N0点入射，最后又通过P点。不计重力。求粒子入射速度的所有可能值。

解析：设粒子的入射速度为v，第一次射出磁场的点为N’0，与板碰撞后再次进入磁场的位置为N1。粒子在磁场中运动的轨道半径为R，有

①

粒子速率不变，每次进入磁场与射出磁场位置间距离x1保持不变有

②

粒子射出磁场与下一次进入磁场位置间的距离x2始终不变，与N’0N1相等。由图11可以看出

③

设粒子最终离开磁场时，与档板相碰n次(n