高三复习 函数的性质及其应用与2014以及2015年三角函数相关试题总结

群师教育—教师之家群师教育教学教案姓名年级高三授课时间2015.07.15授课教师课时2课题第一模块函数的性质及其应用§函数题型方法总结第一部分：必考内容与要求函数概念与基本初等函数Ⅰ（指数函数、对数函数、幂函数）（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质.（2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.④知道指数函数是一类重要的函数模型.（3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数与对数函数互为反函数（）.（4）幂函数①了解幂函数的概念.②结合函数的图像，了解它们的变化情况.（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.第二部分：题型方法总结B1函数定义域与解析式（1）函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.（2）求定义域问题本质转化为结不等式，故需掌握常见不等式解法。（3）掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用．典型例题：1．[2014·安徽卷]设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．0D．－eq\f(1,2)2．[2014·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)3．[2014·福建卷]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)4．[2014·江西卷]函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0，1]B．[0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)5．[2014·山东卷]函数f(x)＝eq\f(1,\r(（log2x）2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)6、[2015高考北京，理7]如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（）A．B．C．D．7.【2015高考浙江，理7】存在函数满足，对任意都有（）A.B.C.D.8.【2015高考新课标2，理5】设函数,()A．3B．6C．9D．129.【2015高考浙江，理12】若，则．10.【2015高考浙江，理10】已知函数，则，的最小值是．11.【2015高考上海，理10】设为，的反函数，则的最大值为．12.【2015高考上海，理7】方程的解为．13.【2015高考江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为B2反函数1．[2014·全国卷]函数y＝f(x)的图像与函数y＝g(x)的图像关于直线x＋y＝0对称，则y＝f(x)的反函数是()A．y＝g(x)B．y＝g(－x)C．y＝－g(x)D．y＝－g(－x)B3函数的单调性与最值（一）考纲对照理科大纲版理科课标版内容函数的单调性、奇偶性函数的单调性、最值、奇偶性要求了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）归纳总结1、函数单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数。如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。2、定义的等价命题:设（1）◆如果（），则函数在是增函数◆则函数在是增函数◆对于任意的m，都有，则函数在为增函数。（2）◆如果（），则函数在是减函数◆在是减函数。◆对于任意的m，都有，则函数在减函数。3、定义引申的三种题型：（1）判断函数的单调性且，则是增函数（2）比较自变量的大小是增函数且则（3）比较函数值的大小是增函数且，则4、有关单调性的几个结论：（1）y＝f（x）与y＝kf（x）当k>0时，单调性相同；当k<0时，单调性相反（2）如果函数f(x)为增函数g(x)也为增函数，则有：f(x)+g(x)也为增函数，-g(x)为减函数，为减函数。（3）如果函数f(x)为增函数g(x)为减函数，则有：f(x)-g(x)也为增函数（4）若f(x)(其中f(x)>0)在某个区间上为增函数，则（5）复合函数f[g(x)]的单调性由f(x)和g(x)的单调性共同决定.(同则增异则减)典型例题：1．[2014·北京卷]下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)2．[2014·福建卷]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)3．[2014·四川卷]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________．4．[2014·广东卷]设函数f(x)＝eq\f(1,\r(（x2＋2x＋k）2＋2（x2＋2x＋k）－3))，其中k<－2.(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)；(2)讨论函数f(x)在D上的单调性；(3)若k<－6，求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示)．5．[2014·四川卷]已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．B4函数的奇偶性与周期性一、函数奇偶性的定义（1）定义的解读与理解【注】：（1）定义域关于原点对称；（2）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（3）判断函数奇偶性的方法：一求二看三化简四比较五得结论（建议学生画出判断函数奇偶性的算法框图）（2）、定义的引申：函数的对称性◆偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式◆奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式引申1：函数的线对称◆函数关于对称也可以写成或引申2：函数的点对称◆函数关于点对称或2、奇偶函数的性质：（1）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（2）奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反；（3）为偶函数；（4）若奇函数的定义域包含，则。3、函数奇偶性的有关结论：（1）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（2）定义域关于原点对称的任意一个函数都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和．即=[F(x)+G(x)]其中F(x)=+,G(x)=－二、函数的周期性1、定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。2、定义的变形和引申（1）函数满足如下关系式，则A、B、C、或（等式右边加负号亦成立）D、其他情形（2）函数满足且，则可推出即可以得到的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）◆如果奇函数满足则可以推出其周期是2T，且可以推出对称轴为，根据可以找出其对称中心为（以上）◆如果偶函数满足则亦可以推出周期是2T，且可以推出对称中心为，根据可以推出对称轴为（以上）（4）◆如果奇函数满足（），则函数是以4T为周期的周期性函数。◆如果偶函数满足（），则函数是以2T为周期的周期性函数。☆两个函数的图象对称性与关于x轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。与关于y轴对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。与关于直线对称。换种说法：与若满足，即它们关于对称。关于点(a,b)对称。【换种说法】与若满足，即它们关于点(a,b)对称。与关于直线对称。典型例题：1．[2014·福建卷]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)2．[2014·湖南卷]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．33．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．5.【2015高考福建，理2】下列函数为奇函数的是()A．B．C．D．6.【2015高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．D．7.【2015高考湖北，理6】已知符号函数是上的增函数，，则（）A． B．C． D．8.【2015高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A）（B）（C）（D）9.【2015高考新课标1，理13】若函数f(x)=为偶函数，则a=10.【2015高考湖南，理5】设函数，则是（）A.奇函数，且在上是增函数B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数D.偶函数，且在上是减函数B5指数与指数函数（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3．实数指数幂的运算性质（1）·；（2）；（3） ．（二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．2、指数函数的图象和性质a>10<a<1定义域R定义域R值域y>0值域y>0在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过点（0,1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；典型例题：1．[2014·福建卷]若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是()图1­1ABCD图1­22．[2014·江西卷]已知函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f[g(1)]＝1，则a＝()A．1B．2C．3D．－13．[2014·辽宁卷]已知a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a4．[2014·山东卷]设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)5．[2014·山东卷]已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y36．[2014·陕西卷]下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的单调递增函数是()A．f(x)＝xeq\f(1,2)B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．f(x)＝3x7．[2014·陕西卷]已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________．8.[2015高考四川，理8]设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）(A)充要条件（B）充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件9.【2015高考天津，理7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为()（A）（B）（C）（D）B6对数与对数函数（1）对数的定义如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。（2）几种常见对数表格SEQ表格\*ARABIC1对数形式特点记法一般对数底数为常用对数底数为10自然对数底数为e2、对数的性质与运算法则（1）对数的性质（）：①，②，③，④。（2）对数的重要公式：①换底公式：；②，推广。（3）对数的运算法则：如果，那么①；②；③R）；④。3、对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。∴0<c<d<1<a<b.4、反函数指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称。典型例题：5．，，[2014·山东卷]已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y31．[2014·福建卷]若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是()图1­1ABCD图1­22．[2014·广东卷]若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________．3．[2014·辽宁卷]已知a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，则()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a4．[2014·天津卷]函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)5．[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是()ABCD6．[2014·重庆卷]函数f(x)＝log2eq\r(x)·logeq\r(2)(2x)的最小值为________．B7幂函数与函数的图像定义：形如y=xa（是常数）的函数，叫幂函数。二．图象幂函数的图象和性质；由d取值不同而变化，如图如示：a<00<a<1a>1p,q都是奇数p是奇数，q是偶数p是偶数,q是奇数三．幂函数的性质：1、n>0时,(1)图象都通过点(0,0),(1,1)(2)在(0,+∞)，函数随的增大而增大2、n<0时,(1)图象都通过(1，1）(2)在(0,+∞)，函数随x的增加而减小(3)在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。注意事项：1．判断幂函数的定义域的方法可概括为（对指数）“先看正负，是负去零，再看奇偶，是偶非负”2．根据幂函数的定义域，值域及指数特点画其图象。函数位于第一象限的图象在“n>1”时，往上翘；0<n<1,往右拐;n<0向下滑。n>10<n<1v<0典型例题：1．[2014·福建卷]若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，则下列函数图像正确的是()图1­1ABCD图1­22．[2014·湖北卷]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))3．[2014·山东卷]已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.(1，2)D.(2，＋∞)4．[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图像可能是()ABCD5.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（）DDPCBOAx6.【2015高考安徽，理9】函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A），，（B），，（C），，（D），，B8函数与方程函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。1.[2014·湖南卷]已知函数f(x)＝x2＋ex－eq\f(1,2)