规律题型方法总结和练习

探究规律题型方法总结和练习一、教学内容：规律探究型问题图案变化规律数列、代数式运算规律几何变化规律探索研究二、知识要点：近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力.题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律。是中考的一个难点，越来越引起考生重视。下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。“规律探究型问题”根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多机会体验学习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题：一、规律探索型问题的分类：1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，改写成要求的格式。如：1、有一串单项式：a，2a2，3a3，4a4，…，19ai9，20a20，…那么第n个单项式是。2、争当小高斯：高斯在10岁的时候，曾计算出1+2+3+4++100=；还有另外一种解法：设S=1+2+3+99+100,那么也可以写成S=100+99+98+97++2+1，把这两个等式左右两边分别相加，可以得到2S=(1+100)+(2+99)+(3+97)++(99+2)+(100+1)，2S=100X101，S=由此，猜想前n个自然数和：1+2+3+4+n=，前n+2n=，前n个奇数和：1+3+5+7+9+,•••••+(2n-1)=.猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律.它是发现和认识

规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律。如：1、下图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子.观察图形的变化规律，写出第n个小房子用了块石子。2、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2、下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：经观察可以发现：图（2）比图（1）多出2个“树枝”，图（3）比图（2）多出5个“树枝”，图（4）比图（3）多出10个“树枝”，照此规律，图（7）比图（6）多出个“树枝".图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查学生数形结合的数学思想。二、规律探索型问题常用解法1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律.所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号・

如：一组按规律排列的式子："，决，白'，决，...（愚部），其中第7个式子是,第理个式子是。为正整数）.分子和分母的底数没变，变化的是符号及它们的指数，再把变量和序列号放在一起加以比较，就很容易发现其中的奥秘。2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了.如：将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆.OOCC第1个图形OOCC第1个图形第3个图形OOQOO00◎，cooo*0oaooocc第4个图形通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律.3、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解.如：把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止。那么2007,2008,2009,2010这四个数中可能是剪出的纸片数有些题目，虽然形式发生了变化，但是本质并没有改变.我们只要在观察形式变化的过程中，始终注意寻找它的不变量，就可以揭示出事物的本质规律・三、规律探索型问题常见的结论：1、乘方型：如：一张白纸引发的规律：将一张长方形的纸对折，可得到两层。继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，1、连续对折n次后，可以得到几层?2、连续对折n次后，可以得到几条折痕?3、若这张白纸的面积为1，连续对折n次后单层面积是多少？

另如：拉面问题：将一团拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合一次，如此重复下去，第n次捏合后，有多少根拉面？“数”间的联系这类问题的关键在于观察数的特征：将“数”进行比较，一定会发现“数”与2、等比型：这类题型最简单，通过观察、比较，学生能很容易解决。“数”间的联系如：观察下列图形，则第就个图形中三角形的个数是3、等差型：这些题型在数学中应用最广，题型最多。例如：火柴棍引发若干的规律1例如：火柴棍引发若干的规律1、用火柴棍拼三角形三角形个数12345n火柴棍根数3变式1：用火柴棍拼正方形正方形个数123OOOOOOn火柴棒条数搭一搭，填一填：根据你的算法，搭100个这样的正方形需要―根火柴棒。

变式2：用同样规律的蓝变式2：用同样规律的蓝面，白两色正方形瓷砖铺设地当数学问题所反映的数列的差值均为整数K时，其通式就与整数K的倍数有关，结果一定是（队土常数）的形式3为自然数），将K代入特例中验证即可轻易得到通式，这种方法简便易行，熟练后可口头作出答解。4、差值呈自然数增长型这类通式往往与前n个自然数的和、前n个奇数和或前n个偶数和有关。这类习题有许多实例：一条直线上有2个点，则有1条线段；如有3个点，则有2+1条线段；有4个点，则有3+2+1条线段；依次类推：有n个已知点，则有线段（n-1）+（n-2）+……+3+2+1条线段,即有［（n-1+1）（n-1）］+2=［n（n-1）］土2条线段。另外还有“几个人相互握手总次数和”、“打篮球进行单循环比赛取总场次"等问题。所反映的是同一个数学问题，只是将其置身于各类不同的生活背景中，但归根到底是求前（n-1）个自然数的和。又如，1、用大小相同的正方形拼图，拼第1个图形需要3个正方形，拼第2个图形需要6个正方形，依次类推，拼第4个图形需要个正方形，拼第n个图形需要个正方形。2、下边是一个有规律排列的数表,请用含n的代数式（n为正整数）表示数表中第n行第n列的数：第一列第二列第二列第四列第一行12510第二行43611第三行98712第四行16151413

结论的归结无非是乘方型、n的一次式s=kn+b或二次式s=an+bn+c。数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算，所以，要求把变量和序列号放在一起，做一些计算，是解答找规律题的好途径.规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识，因而成为中考的热点.这就启发广大数学教师必须注重过程教学,用科学的方法引导学生亲身参与、经历探索规律的过程，在这样的过程中让学生认识数学之美，感受探索的愉悦，逐步培养学生的独立探究能力。1.图案变化规律探究题图案变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能力，题型可涉及填空、选择或解答。例：如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（）。33分析：观察图像变化规律，不难发现阴影部分的图形是按顺时针每次旋转两个小格。答案是B2.数列、代数式运算规律猜想型探究题题设中提供某些信息，供解题者观察、类比、推理、反思，从而归纳、猜测、验证得出一般性的规律和结论，这样的问题称为猜想型探究题。猜想型探究题能培养学生对数字的敏感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质和探索精神。例1:观察下列等式：39x41=402-12，48x52=502-22，56x64=602-42，65x75=702-52-83x97=902-72你把发现的规律用字母表示出来：刑x理=.分析=迎察数字的变化规律，结合初中所讲解的有关知识，41x39=(40+1)(40-1)=402-I2,48x52=(50-2)(50+2)=502-22发现上面的式子满足平方差公式，同样道理也适用于下面的数字表达，所以「m-\-n'「m-n'答案=落2；i2>例2迎察下列各式：Fl=g，p；=4话你将发现的规律用含自然数n(tiM1)的等式表示出来.分析=如『1=2出，通过分析观察2=1+1,E中的3可以用1+9表示，根据类比接下来的式子，用推理的思考方法，从而归纳、猜测、验证得到/+F=几何变化规律探究题观察几何图形、根据题中的变化规律进行分析，猜想下面所没有给出的图形变化情况、探究图形的变化和所求的结果、归纳总结发现规律。例：对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A、B、C，使得AB=2AB，BC=2BC，CA=2CA，顺次连接A、B、C，得到AABC，记其面积为S；第二次操柜，1分别1ABBC1CA备ABCAB-9ABBC-QB^1Ya-qCA1样垸ABC坦^延长AB、BC、CA.^^1点A、B、C，使得AB=2AB，BC=2BC，CA=2CA，顺次连接A、B、C，得到^aBC，氾其曲祺为s；2…；按此规律继续1下去；可得到AAbC2，1则其面积s=222.分析=几何变化规律探究题往往是根据计算推理、验证.连结AC,因为也月=根据等高求面积，得asAAiBC=2SMBC-同理§昌3。=履A43C,二5泌出由=黛皿［,SAC^jC.盘由耻=1菸皿0根据推理运算，不涎计算出邑=19项247如卯.探索研究已知题中给出一个全新的名词，根据所学的知识和名词的含义解题.体现学生对新知识、新事物的判断和认知能力，通过提高数学知识技能，准确地运用数学基本思想和方法解题.例：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形"・如图①所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△曲。是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.

根据上面叙述，(1)说明什么样的平行四边形是一个三角形的“友好平行四边形”；(2)如图②，若△ABC为直角三角形，且ZC=90°,在图②中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.分析=通过题中“友好矩形”的概念，深入对“友好矩形”的理解，结合所学过的知识，应用解题.解答=(1)如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”i-:(2)此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，.・.△ABC的“友好矩形”的面积相等.三、重点难点：通过观察、分析，找出存在的规律。它既是重点又是难点，着重考查学生观察、操作、实验、归纳、猜想、验证等能力，是对学生创新精神和创新意识的培养的重要前提・【典型例题】例题1、图形的操作过程(本题中四个矩形的水平方向的边长均为有竖直方向的边长均为b)：•在图①中，将线段AA向右平移1个单位到BB，得到封闭图形AABB(即阴影部分)；-一一-__12一-■…12.1221一•在图②中，将折线AAA向右平移1个单位到BBB，得到封闭图形AAABBB(阴影部分).123123123321AAi<AlA：①②1基(4\(>HfczJ®/M使4③④在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S，S，S；联想与桥梁123

如图④中，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位）,请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.考点：平行四边形的面积.【分析】这个题目是要求学生从几何图形的变化中，探索图形面积的变化，并加以说明・在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形（或分别割成多个平行四边形）的面积计算来求阴影部分的面积，进而计算空白部分的面积.注意平行四边形的面积是底乘以高，阴影部分的面积以一个单位为底，高均为b，或者多个和为b，所以空白部分面积均为ab-b.但是当阴影部分的左右边界由折线变为任意的曲线时，计算的方法已经不再适用，因此我们考虑图形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地的面积.【解析】（1）画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）（2）S|=ab—Sn=ab——b（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab—b.方案：1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”;2）将左侧的草地向右平移一个单位；3）得到一个新的矩形（如图）.理由：在新得到的矩形中，其竖直方向的边长仍然为旗其水平方向的长变成了a—1,所以草地的面积就是：b（a—1）=ab—b.倒题」迎察下列各式:想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示正整数，用关于n的等式表示这个规律为:X=+.考点：探究规律、导出公式.【分析】该题是通过观察给出的运算，找到反映其规律的表达式・此类问题不仅考查学生对知识的掌握，同时考查学生观察分析的能力.通过观察给出的四个等式左边是一个分数与一个整数的积且分数的分子比分母大1，而整数与分子相同・右边是这两个数的和，所以不难发现其规律为：左边m+1h+1—XCM+1\右边为丁注意事项：（1）有时直双!的结果不可靠，应该将数据代入验证，或者利用整式的乘法证明；n+1...7,n+1n+J7n+7n+7...7■（H+J1}=.n+=h+」+=+（H+J1）（2）注意题目给出的字母的限制，题目中n为正整数而不是自然数，等式不能写成：^1.（^+2）=^11+（^+2）H+?M+?.所以我们一定要验证第一项是否满足结论。例题3、如图①，分切以直角三角形■AECZE边为直径向外作三个半圆，其面积分别用必、母表示，则不涎证明耳=与+母.（1）如图②，分别以直角三角形以三边为也向外作三个正方形，其面积分别用林、&表不，那么林&之间有什么关系？（不必证明）口）如图③，分别以直角三角形以三边为也向外作三个正三角形，其面积分别用匀、标电表示，请你确定公为之间的关系并加以证明；考点：勾股定理，圆、正方形、等边三角形面积公式等【分析】本题的提示为学生的猜想提供了便利条件，结论的证明综合了勾股定理和各种图形面积的求法等.【解析1（1）鬲=蓿足=—顼足=兑顼，又因为AB2=BC2+AC2>所以有禹=禹+是.⑵Sl手心&=*爵=^AC，，又因为AB2=BC2+AC2>所以有邑=5+电.例题4、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形.请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论.考点：平行四边形、等边三角形的性质和判定、三角形的两边之和大于第三边的性质等・【分析】本题的名词为学生的猜想提供了条件，正确结论的探索，是证明的基础.结论的证明综合了平行四边形、等边三角形的性质、三角形的性质及平移的方法和手段，将两边之和平移到同一线段上，再与第三边进行比较・

【解析】（1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等.⑵结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为6CT时，这对60。角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长.已知：四边形如CD中，对角线HC，月£）交于点O，AC=BD^且ZAOD=60a.求证：BC+AD>AC-证明：过点£）作DFIIAC-在上截取£）占，^.DE=AC■连结CE，BE-故2ED0=锵，四边形ACED是平行四边形.所以△ED占是等边三角形，CE=AD-所以DE=BE=AC-当月（7与日占不在同一条直线上时（如图），cV在乙RCE中，有BC+CE>BE-^BC+AD>AC-当月（7与C内在同一条直线上时（如图），A则BC+CE=BE-S&LBC^AD=AC.综合①、②，得BC+AD'>AC-即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为时，这对角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长.例题5、四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图1,点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB,PA尹PC,则点P为四边形ABCD的准等距点.（1）如图2,画出菱形ABCD的一个准等距点.（2）如图3,作出四边形ABCD的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）.（3）如图4,在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA尹PC,延长BP交CD于点E,延长DP交BC于点F,且NCDF=NCBE,CE=CF.求ffi:点P是四边形ABCD的准等距点.图1图1考点：三角形全等、特殊四边形的性质、垂直平分线的性质等・【分析】根据题中的“准等距点”的概念，PD=PB,PAAPC,可以知道，点P在线段BD的垂直平分线上，再由菱形的性质、全等三角形的判定解题.【解析】（1）如图2,点P即为所画点・（答案不唯一.点P不能画在AC中点）图2图3图4如图3,点眉为所作点.(答案不唯一)连结。晶在△2XZF与△月宓中，^DC^=ZBCE,ACDF=^CBE,C^=CE.「.△DCT性△BCE(AAS)，.\CD=CB,.£CDB=ACBD..^PDB=^PBD..'.PD=PB,'：PA^PC二点提四边形ABCD的准等距点.例题6、在四边形胭S中，对角线』C平分^dab-⑴如图甲，当ZDAB=120°，Z5=Z2?=90°时，求证：AB-i-AD=AC^如图乙，当/£功3=120。，昼W4D互补时，线段AB'-阳、刀。有怎样的数重关系？写出你的猜想，并给予证明；如图丙，当ZDAB=90°>N月与//)互补时，线段AB-妣、AC有怎样的数重关系？写出你的猜想，并给予证明.考点：三角形全等、图形变换类题型特点等.【分析】图形变换夷问题，通常把第一个问题的解题方法应用到第二、三个问题中去，所证明的全等三甯形的名称一致，方法一致.同时当题中出现某一线段等于另外两条线段之和或之差时，考虑旋转三角形或截长补短的方法，再通过证明全等来实现解题.【解析】(1)在四边形如S中，-AC^ADAB,ADAB=120°,^.CAB=ZCAD=60。-A3-j4D~—AC又...匕召=』力=90°，・・・£4C^=£4CZ)=30°.・・・-"2.AB+AD=AC■（2）ABAD=AC-证明如下：如图甲，过C点分别作皿和H月延长线的垂线段，垂足分别为下侦甲平分乙DAE,:.CE=CF-■.■ZZ5C+ZZ）=180%ZABC+ECBF=18V，nC8F=«.ZCED=ZCFB=90^■'■ACSD^ACFB--'-ED=BF-■'■AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF-由（1）知AE+AF=AC.-AB+AD=AC.⑶AB+AD=^2AC-证明如下：如图乙过。点分别作网月和里）延长线的垂线段，垂足分别为占F-F,G乙■/平分D展，二CE=CF-■/ZZ5C+ZZ£）C=180%ZZ£）C+Z^DC=180%ZABC=ZFDCZCEB=ZCFD=9^^^CEB^ACFD--CB=CD-延长展至G，使3G=H£），联结CG-vZZ5C+ZZ£）C=180%AABC+£CBG=\8W，.■.ZCBG=ZADC-'-MDC■■,-ZG=ADAC=ACAB=45°■■-匕4您=90。.二AG=4iACAB+AD=^AC■［模拟试题】(答题时间：50分钟)—•、埴空题：1.观察:21=2,^=4,23=8,24=16,25=32,f=64,2^=123,f=256...TOC\o"1-5"\h\z通过观察用你所发现的规律写出】叫5的末位数是o91625362瑞士中学教师巴尔米成功地M光谱数据孑、伍、211?…中得到巴尔米公式，从而打开了光谱奥妙的大门，话你按这种规律写出第七个数o3.下列是一个有规律排列的数表:1第例1T97第冽1第3列1第4列…第宓J…111第1行：1234■■-珂22222第施：7234■■-n33333第3行：T234••冉TOC\o"1-5"\h\z上面数表中第9行，第7列的数是o观察下面一列数：1-23-45~61-89-1011-1213-1415-16搜上述规律排下去，那么第1口行M左边数第。个数是列行——二四五—1357151311917192123四2715将正奇数如下表排列：按表中的排列规则，数迎5应排在第—行第—凯已知n(n5=2)个点PyPfPn在同—平面内，且其中没有任何三点在同一直线上，设电表示过这门个点中的任意，个点所作的所有直线的条数，显然叫=1，%=%*=&头=1口…，由此推断§尸-如图，摆第1个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第3个要17枚棋子，则摆第3口个“小屋子”要枚棋子。(1)(2)(3)用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第口个图案需要用白色棋子枚(用含有n的代数式表示)。OOOOOOOOOOOOOO••O..•OO•OO••OO..•OOOOOO.••OOOOOOOOO

如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案:⑴第4个图案中有白色纸片张；⑵第n个图案中有白色纸片张.n=4*10.探索的正方形钉子板上3是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：n=4n=2当时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与所以不同长度值的线段只有9种，若用箴示不同长度值的线段种数，则目岛当月=3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1,也375-2^2五种，比巧=2时增加了3种，即S=9+3=5.(1)观察图形，填写下表:钉子数(nxn)S值2X223X32+34X42+3+()5X5()写出(n-1)X(n-1)和nxn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)对nxn的钉子板，写出用n表示S的代数式.二、解答题：**1.如图，平面内有公共端点的六条射线Q4，OB、OC-。下，OF-从射线口Z开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2,3,4,5,6,7,....W在射线上.话任意写出三条射线上数字的排列规律.“如的”