数学必修五错题集

第26页/共27页必修五错题集[第5页第11题](2013天津月考,★★☆)在非钝角△ABC中,已知3b=2asinB,且cosB=cosC,则△ABC为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形[答案]A[解析]在非钝角△ABC中,由cosB=cosC,知B=C,由3b=2asinB,得3sinB=2sinAsinB,又sinB≠0,∴sinA=.由题意知∠A为锐角,∴∠A=.∴△ABC为等边三角形.[第5页第12题](2015山东日照月考,★☆☆)已知△ABC中,sinB=2sinA,C=,S△ABC=2,则a=()A.4B.2C.2D.4[答案]B[解析]由正弦定理得==2,所以S△ABC=absinC=a×2a×sin=a2=2,解得a=2.[第5页第16题](2012浙江,18,14分,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cosA=,sinB=cosC.(1)求tanC的值;(2)若a=,求△ABC的面积.[答案]答案见解析[解析](1)由0<A<π,cosA=,得sinA==,因为cosC=sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC.所以tanC=.(2)由tanC=,得sinC=,cosC=.于是sinB=cosC=,由a=及正弦定理=,得c=.设△ABC的面积为S,则S=acsinB=.[第6页第2题](2014广东珠海六校联考,★☆☆)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB=1,向量p=(a,b),q=(1,2),若p∥q,则角A的大小为()A.B.C.D.π[答案]A[解析]由sinB=1及B∈(0,π)得B=.由p∥q得b=2a.由正弦定理得sinB=2sinA,故sinA=sinB=.∵A∈(0,π),∴A=或π.又B=,∴A=.故选A.[第6页第3题](2014广东珠海期末,★☆☆)在△ABC中,A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=()A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.1∶∶2D.2∶∶1[答案]C[解析]因为A∶B∶C=1∶2∶3,又A+B+C=π,所以A=,B=,C=.由正弦定理可得a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=sin∶sin∶sin=∶∶1=1∶∶2.故选C.[第6页第4题](2014天津西青月考,★★☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB+cosB=,则角A的大小为()A.60°B.30°C.150°D.45°[答案]B[解析]由sinB+cosB=得1+2sinBcosB=2,则sin2B=1,因为0°<B<180°,所以B=45°,又因为a=,b=2,所以在△ABC中,由正弦定理得=,解得sinA=,又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.[第7页第10题](2013山东烟台质检,★★☆)在△ABC中,=.(1)证明B=C;(2)若cosA=-,求sin的值.[答案]答案见解析[解析](1)证明:在△ABC中,由正弦定理及已知得=.于是sinBcosC-cosBsinC=0,即sin(B-C)=0.因为-π<B-C<π,从而B-C=0.所以B=C.(2)由A+B+C=π和(1)得A=π-2B,故cos2B=-cos(π-2B)=-cosA=.又0<2B<π,于是sin2B==.从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=cos22B-sin22B=-.所以sin=sin4Bcos+cos4Bsin=[第7页第9题](2014广东期末,★☆☆)已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x+(x∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=1,f=,求sinB的值.[答案]答案见解析[解析](1)f(x)=sin2x-+=sin2x-cos2x=sin.∴f(x)的最小正周期T==π.(2)由f=,得sin=,则cosA=.在△ABC中,sinA==.由正弦定理可得sinB=sinA=.[第9页第2题](2015山东滨州月考,★★☆)在△ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,且acosA=bcosB,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形[答案]D[解析]解法一:由余弦定理和已知得a×=b×.整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,故a2=b2或a2+b2-c2=0.即a=b或c2=a2+b2,所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.解法二:由正弦定理及已知得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.因为A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=.所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.[第9页第4题](2013天津检测,★★☆)在△ABC中,已知=,则△ABC是()A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形[答案]C[解析]由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,代入已知得=,即得cosA=cosB,所以A=B,即△ABC为等腰三角形,故选C.[第10页第7题](2014安徽,16,12分,★★☆)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.[答案]答案见解析[解析](1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,所以a=2.(2)由余弦定理得cosA===-.由于0<A<π,所以sinA===.故sin=sinAcos+cosAsin=×+×=.[第10页第8题](2014辽宁,17,12分,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.[答案]答案见解析[解析](1)由·=2得c·acosB=2.又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得或因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB===.由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.[第11页第10题]△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则C的大小为______.[答案][解析]由p∥q,得(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即a2+b2-c2=ab,故cosC==,又C∈(0,π),∴C=.[第11页第12题]在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的两根,2cos(A+B)-1=0.(1)求角C;(2)求|AB|;(3)求△ABC的面积.[答案]答案见解析[解析](1)∵A+B=π-C,∴cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC.由已知2cos(A+B)-1=0,得cos(A+B)=,∴cosC=-.又∵0°<C<180°,∴C=120°.(2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根,∴由余弦定理得,AB2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab(1+cosC)=(a+b)2-ab=(2)2-2=10,∴|AB|=.(3)S△ABC=absinC=×2×sin120°=.[第11页第4题]已知△ABC中,2B=A+C,b2=ac,则△ABC为()A.等边三角形B.腰不等的直角三角形C.等腰直角三角形D.非以上答案[答案]A[解析]解法一:∵2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=.由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac.又∵b2=ac,∴ac=a2+c2-ac.∴(a-c)2=0,即a=c.又∵B=,∴△ABC为等边三角形,故选A.解法二:∵2B=A+C,又A+B+C=π,∴B=,∴A+C=π.由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC,即sinA×sin=,∴sinA=,即sin2A+sin2A=,亦即sin2A+=,∴sin=1.又∵2A-∈,∴2A-=,即A=.∴C=,∴△ABC为等边三角形.故选A.[第11页第5题]在△ABC中,已知其面积S=(a2+b2-c2),则角C等于()A.135°B.45°C.60°D.120°[答案]B[解析]因为S=(a2+b2-c2)=absinC,所以a2+b2-c2=2absinC,由c2=a2+b2-2abcosC得sinC=cosC,故C=45°,选B.[第11页第6题]设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,则实数a的取值范围为()A.B.C.(2,8)D.(2,+∞)[答案]C[解析]由2a-1>0,得a>.因为2a+1为三角形中的最大边长,所以该边所对的角最大.设该边所对的角为θ,则cosθ===<0.解得<a<8.又由三角形三边关系得2a+1<a+(2a-1),即a>2.∴a的取值范围为(2,8),故选C.[第11页第7题]在△ABC中,已知sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则这个三角形的最大角等于________.[答案]π[解析]由正弦定理得,sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=3∶5∶7.设三边长分别为3m,5m,7m(m>0),则7m对应最大角,设为θ,则由余弦定理得,cosθ==-,又因为θ∈(0,π),所以θ=π.[第11页第9题](2013重庆,18,13分,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求A;(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cosBcosC的最大值,并指出此时B的值.[答案]答案见解析[解析](1)由余弦定理得cosA===-.因为0<A<π,所以A=.(2)由(1)得sinA=,由正弦定理==得b=,csinA=asinC,所以S=bcsinA=··asinC=3sinBsinC,因此,S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B==时,S+3cosB·cosC取最大值3.[第11页第9题]已知等腰三角形的底边长为a,腰长为2a,则腰上的中线长为________.[答案]a[解析]如图,AB=AC=2a,BC=a,BD为腰AC的中线,过A作AE⊥BC于E,在△AEC中,cosC==,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cosC,即BD2=a2+a2-2×a×a×=a2,∴BD=a.[第12页第10题](2015山东实验中学第二次诊断,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=.(1)若△ABC的面积等于,求a,b;(2)若sinC+sin(B-A)=sin2A,求△ABC的面积.[答案]答案见解析[解析](1)因为S=absin=ab=,所以ab=4.由c2=a2+b2-2abcosC得22=a2+b2-2×4cos,整理得a2+b2=8.解方程组得(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,得sin[π-(A+B)]+sin(B-A)=sin2A,即sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,整理得sinBcosA=sinAcosA,①当cosA=0时,A=,此时B=-C=.由==得a===,b===.所以△ABC的面积S=absinC=×××sin=.②当cosA≠0时,有sinB=sinA,所以A=B,又因为C=,所以A=B=,故a=b=c=2.所以△ABC的面积S=absinC=×2×2×sin=.综上,△ABC的面积等于或.[第12页第4题](2015福建福州月考,★★☆)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中A=120°,b=1,且△ABC的面积为,则=()A.B.C.2D.2[答案]D[解析]由S△ABC=bcsinA=,得×1×c×=,解得c=4.故a2=b2+c2-2bccosA=12+42-2×1×4×cos120°=21,所以a=.由正弦定理得===2,所以==2.故选D.[第12页第6题](2014皖南八校联考,★☆☆)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若a=,b=2,sinB+cosB=,则c的大小为________.[答案]+1[解析]由sinB+cosB=sin=得sin=1.又B+∈,故B+=,解得B=.由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得22=()2+c2-2××c×cos,整理得c2-2c-2=0.解得c=+1(舍负).[第12页第8题](2014广东广州1月调研,★☆☆)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cos=.(1)求cosB的值;(2)若a=3,b=2,求c的值.[答案]答案见解析[解析](1)在△ABC中,A+B+C=π,所以cos=cos=sin=.所以cosB=1-2sin2=.(2)因为a=3,b=2,cosB=,所以由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得c2-2c+1=0.解得c=1.[第15页第1题](2015山东潍坊月考,★☆☆)如图,为了测量某湖泊的两侧A,B间的距离,给出下列数据,其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A、B和边bB.角A、B和边aC.边a、b和角CD.边a、b和角A[答案]D[解析]根据正弦定理和余弦定理可知,当知道两边和其中一边的对角解三角形时,得出的答案是不唯一的,所以选D.[第16页第4题](2013山东莱州检测,★★☆)某地举行升旗仪式,如图,在坡角为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10米,则旗杆的高度为________米.[答案]30[解析]设旗杆的高度为x米,由题图可知∠ABC=180°-60°-15°=105°,∠CAB=30°+15°=45°,又∠ACB=180°-105°-45°=30°,根据正弦定理可知=,即BC=20,所以sin60°==,所以x=20×=30.[第17页第6题](2014北京,15,13分,★☆☆)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.[答案]答案见解析[解析](1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD===3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB=82+52-2×8×5×=49,所以AC=7.[第18页第10题]如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°方向上,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为________海里/小时.[答案]20(-)[解析]设货轮的速度为v海里/小时,由题意知在△MNS中,SM=20,∠NMS=45°,∠SNM=105°,MN=v,则∠S=180°-45°-105°=30°,由正弦定理得:=,即=,解得v=20(-).[第18页第8题]如图,点A、B、C是圆上的点,且AB=4,∠ACB=45°,则圆O的面积为________.[答案]8π[解析]由题意知△ABC为☉O的内接三角形,设圆的半径为R,由正弦定理知2R===4,∴R=2.∴圆O的面积S=πR2=π×(2)2=8π.[第19页第4题](2013山东淄博二模,★★☆)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC=()A.B.C.-D.-[答案]C[解析]由2S=(a+b)2-c2得2S=a2+b2+2ab-c2.即2×absinC=a2+b2+2ab-c2.所以absinC-2ab=a2+b2-c2,即sinC-2=.又cosC=,所以sinC-2=2cosC,即1+cosC=sinC.又cosC+1=2cos2,sinC=2sincos,所以2cos2=sincos,所以tan=2,故tanC===-.故选C.[第24页第11题]在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2-a2),则B=()A.90°B.45°C.60°D.90°[答案]B[解析]根据正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,即sin(A+B)=sinC=sin2C,所以sinC=1.即C=90°,由S=(b2+c2-a2)得bcsinA=(b2+c2-a2),即sinA==cosA,即tanA=1,所以A=45°,所以B=45°.故选B.[第24页第12题]设a、b、c为△ABC的三条边长,且关于x的方程(a2+bc)x2+2x+1=0有两个相等的实数根,则A的大小是()A.120°B.90°C.60°D.30°[答案]C[解析]∵Δ=4(b2+c2)-4(a2+bc)=0,∴b2+c2-a2=bc,∴2cosA=1,∴cosA=,∴A=60°.[第24页第14题]已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,b=3,cosB=,则cosA=________.[答案][解析]由cosB=,解得sinB==.由正弦定理得sinA===.又∵a<b,∴A<B,∴cosA===.[第24页第15题]在△ABC中,已知sinA∶sinB=∶1,c2=b2+bc,则三内角A、B、C的度数依次是________.[答案]45°,30°,105°[解析]由已知条件可得a=b,∵a2=b2+c2-2bccosA,∴2b2=b2+c2-2bccosA,又c2=b2+bc,∴cosA=,∴A=45°,∴sinB=,由a=b得a>b,∴B=30°,∴C=105°.[第24页第16题]要测量河对岸A、B两点之间的距离,在测量者所在岸边选取相距km的C、D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A、B之间的距离为________.[答案]km[解析]如图所示,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,∴AC=CD=km.在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,∴BC==(km).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2×××cos75°=3+2+-=5.∴AB=km.∴A、B之间的距离为km.[第25页第18题](12分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a<b<c,a=2bsinA.(1)求角B的大小;(2)若a=2,b=,求c和△ABC的面积S.[答案]答案见解析[解析](1)由a=2bsinA及正弦定理可得sinA=2sinBsinA,又0<A<π,所以sinA≠0,故sinB=.又因为0<B<π,且a<b<c,所以B=.(2)因为a=2,b=,所以由余弦定理可得()2=22+c2-2×2c×cos,即c2-2c-3=0,所以c=3(舍负).所以S=acsinB=×2×3×=.[第25页第19题](12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,c=2,∠C=,求△ABC的面积.[答案]答案见解析[解析](1)证明:∵m∥n,∴asinA=bsinB.由正弦定理得a2=b2,∴a=b,故△ABC为等腰三角形.(2)由m⊥p,得a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.由余弦定理得4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,即(ab+1)(ab-4)=0,解得ab=4(舍负).∴S△ABC=absinC=×4×sin=.[第25页第20题](12分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinA+bsinB=csinC+asinB.(1)求角C;(2)求sinA-cos的最大值.[答案]答案见解析[解析](1)∵asinA+bsinB=csinC+a·sinB,∴a2+b2=c2+ab,即a2+b2-c2=ab,∴cosC==.又C∈(0,π),∴C=.(2)由题意得,sinA-cos=sinA-cos=sinA+cosA=2sin.∵A∈,∴A+∈.∴2sin≤2.∴sinA-cos的最大值为2.[第25页第21题](13分)某高速公路旁边B处有一栋楼房,某人在距地面100米的32楼阳台A处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上,且俯角为30°的C处,10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上,且俯角为45°的D处.(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时,试问该客车是否超速?(2)又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向E处,问此时客车距离楼房多远?[答案]答案见解析[解析](1)在Rt△ABC中,∠BAC=60°,AB=100米,则BC=100米.在Rt△ABD中,∠BAD=45°,AB=100米,则BD=100米.在△BCD中,∠DBC=75°+15°=90°,则DC==200米.故客车的速度v==1200米/分钟=72千米/小时,所以客车没有超速.(2)由(1)得,在Rt△BCD中,∠BCD=30°,因为∠DBE=15°,所以∠CBE=105°,所以∠CEB=45°.在△BCE中,由正弦定理可知=,所以EB==50米.故客车离楼房的距离为50米.[第25页第22题](13分)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,4sin2-cos2A=.(1)求角A的度数;(2)若a=,b+c=3,求b、c的值.[答案]答案见解析[解析](1)∵B+C=π-A,∴=-,由4sin2-cos2A=,得4cos2-cos2A=,即2(1+cosA)-(2cos2A-1)=,整理得4cos2A-4cosA+1=0,即(2cosA-1)2=0.∴cosA=,又0°<A<180°,∴A=60°.(2)由A=60°,根据余弦定理cosA=,得=,∴b2+c2-bc=3,①又b+c=3,②∴b2+c2+2bc=9.③①-③得bc=2.④解②④得或[第25页模块保留](2014湖南,19,13分,★☆☆)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.[答案]答案见解析[解析]设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在△CDE中,由正弦定理,得=.于是sinα===,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cosα===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos=coscosα+sinsinα=-cosα+sinα=-×+×=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.[第29页第6题](2015河南开封月考,★☆☆)已知数列.(1)求该数列的第10项;(2)是否为数列中的项?为什么?[答案]答案见解析[解析](1)记数列为{an},则an====1-,故a10=1-=1-=.(2)令an=,即1-=,得3n=100,解得n=.因为∉N+,所以不是该数列中的项.[第29页第8题](2014河南郑州一模,★★☆)已知无穷数列{an}的通项公式an=,试讨论此数列的单调性.[答案]答案见解析[解析]∵an+1=,∴an+1-an=-=[9(n+2)-10(n+1)]=(8-n),∴当1≤n<8时,an+1>an;当n=8时,an+1=an;当n>8时,an+1<an.故数列{an}先增后减,且第8,9项最大.[第30页第13题](2013河南濮阳检测,★★☆)已知{an}的通项公式为an=n2-7n+50,求数列中的最小项.思路点拨本题考查数列中最小项的求法,可构造不等式组确定n值.[答案]答案见解析[解析]易知a1不最小,设数列{an}中的第n项最小,则即解得∴当n=3或n=4时,数列中的项最小,最小项为a3=a4=38.[第37页第1题](2014安徽池州月考,★☆☆)已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列.[答案]答案见解析[解析]∵,,成等差数列,∴=+.∵+=+++=y++=y·++=2++,而2×=(z+x)·=(z+x)·=2++,∴+=2·,即,,成等差数列.[第38页第2题](2014浙江绍兴一中期中,★★☆)已知数列{an}满足a1=1,an+1=1-,其中n∈N+.设bn=.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.[答案]答案见解析[解析](1)bn+1-bn=-=-=-==2(常数),∴数列{bn}是等差数列.(2)∵a1=1,∴b1===2,由(1)知数列{bn}的公差为2,∴bn=b1+(n-1)d=2+(n-1)×2=2n.所以=2n,解得an=.[第38页第3题](2012江苏,20(1),★★☆)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足an+1=,n∈N+.设bn+1=1+,n∈N+,求证:数列是等差数列.[答案]答案见解析[解析]由题设知an+1===,所以=,从而-=1(n∈N+),所以数列是以1为公差的等差数列.[第38页第4题](2015河北唐山月考,★☆☆)数列{an}是首项a1=-1,公差d=3的等差数列,若an=2015,则n=()A.672B.673C.662D.663[答案]B[解析]由题意得an=a1+(n-1)d=-1+(n-1)×3=3n-4,令an=2015,即3n-4=2015,解得n=673.故选B.[第38页第5题](2015山西太原段考,★☆☆)一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数,则其公差d=()A.-2B.-3C.-4D.-6[答案]C[解析]由题意知a6≥0,a7<0,所以有解得-≤d<-,又因为d∈Z,所以d=-4,选C.[第38页第6题](2012福建,2,5分,★☆☆)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为()A.1B.2C.3D.4[答案]B[解析]∵a1+a5=2a3=10,∴a3=5,又∵a4=7,∴公差d=a4-a3=2.故选B.[第39页第10题](2012辽宁,4,5分,★☆☆)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24[答案]B[解析]a2+a10=a4+a8=16.故选B.[第39页第11题](2014安徽望江中学月考,★★☆)已知函数f(x)为R上的增函数且为奇函数,数列{an}为等差数列,a3>0,则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可以为正数也可以为负数[答案]A[解析]因为{an}为等差数列,所以a1+a5=2a3>0.故a5>-a1.又因为f(x)为单调递增的奇函数,所以f(a5)>f(-a1)=-f(a1),故有f(a5)+f(a1)>0.又a3>0,所以f(a3)>f(0)=0.所以f(a1)+f(a3)+f(a5)>0.故选A.[第39页第12题](2015山东青岛检测,★☆☆)已知等差数列{an}中,a1007+a1008=2015,a1=-1,则a2014=________.[答案]2016[解析]由等差数列的性质得a1+a2014=a1007+a1008=2015,∴a2014=2015-(-1)=2016.[第39页第7题](2014安徽淮北一中月考,★☆☆)公差为d、各项均为正整数的等差数列{an}中,若a1=1,an=51,则n+d的最小值等于________.[答案]16[解析]由数列的通项公式an=a1+(n-1)d,得51=1+(n-1)d,整理得(n-1)d=50.∵an∈N+,∴d∈Z.又∵n∈N+,∴n,d的取值有以下可能:故n+d的最小值为6+10=11+5=16.[第39页第8题](2013广东,12,5分,★☆☆)在等差数列{an}中,已知a3+a8=10,则3a5+a7=________.[答案]20[解析]设等差数列的公差为d,则a3+a8=2a5+d=10,3a5+a7=3a5+a5+2d=2(2a5+d)=20.[第39页第9题](2014浙江台州月考,★☆☆)已知{an}为等差数列,若a1+a5+a9=8π,则cos(a3+a7)的值为()A.B.-C.D.-[答案]D[解析]因为{an}为等差数列,所以a1+a9=a3+a7=2a5,故a1+a5+a9=3a5=8π,解得a5=π,所以cos(a3+a7)=cos(2a5)=cosπ=-.[第40页第3题](2014广东湛江二模,★☆☆)在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为()A.14B.15C.16D.17[答案]C[解析]设公差为d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,∴a8=24,∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16.[第40页第4题](2015山东潍坊检测,★★☆)在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1(n∈N+),则a2015=()A.1006B.1007C.1008D.1009[答案]D[解析]由2an+1=2an+1,得an+1-an=,所以数列{an}是公差为的等差数列,设公差为d,∴a2015=a1+2014d=2+2014×=1009.[第40页第5题]等差数列{an}的公差d<0,且a2a4=12,a1+a5=8,则其通项公式为()A.an=2n-2B.an=2n+4C.an=-2n+12D.an=-2n+10[答案]D[解析]由等差数列的性质得a2+a4=a1+a5=8.又a2a4=12,所以a2,a4为方程x2-8x+12=0的两根,解得或当a2=2,a4=6时,d==2>0(舍),当a2=6,a4=2时,d==-2.所以数列的通项公式为an=a2+(n-2)d=6+(n-2)×(-2)=-2n+10.[第40页第8题](2014辽宁抚顺月考,★☆☆)已知数列{an}满足:a1=1,-=1(an>0,n∈N+),若an=9,则n=________.[答案]81[解析]∵-=1,∴{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×1=n.又an>0,∴an=.由an=9得=9,解得n=81.[第40页第9题](2015齐鲁名校教科研协作体调研,★★☆)设{an}是正项数列,a1=2,-=2,则an=________.[答案][解析]由已知可得{}是一个公差为2的等差数列,其首项=4,所以=4+(n-1)×2=2n+2,又因为an>0,所以an=.[第42页第1题](2014山东淄博一中期中,★☆☆)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于()A.B.C.D.[答案]C[解析]由{an}为等差数列,得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.由已知=,即S8=3S4,得S8-S4=2S4.∴数列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12构成以S4为首项,S4为公差的等差数列.∴S12-S8=3S4,故S12=S8+3S4=6S4;S16-S12=4S4,故S16=S12+4S4=10S4.∴==.故选C.[第42页第2题](2014山东青岛期中,★☆☆)已知等差数列{an}的公差d>0,若a1+a2+…+a2013=2013at(t∈N+),则t=()A.2014B.2013C.1007D.1006[答案]C[解析]由等差数列的求和公式得a1+a2+…+a2013===2013a1007,故t=1007.[第43页第10题](2013北京海淀期中,★☆☆)已知数列{an}的前n项和Sn=2-2n+1,则a3=()A.-1B.-2C.-4D.-8[答案]D[解析]a3=S3-S2=2-24-(2-23)=-8.[第43页第11题](2014江苏三市月考,★☆☆)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则其通项公式为________.[答案]an=[解析]n=1时,a1=S1=2×12-3×1+1=0.n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n+1-[2(n-1)2-3(n-1)+1]=4n-5.显然,n=1时,不满足上式.故an=[第43页第3题](2012辽宁,6,5分,★☆☆)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=()A.58B.88C.143D.176思路点拨利用等差数列的性质求S11.[答案]B[解析]∵a1+a11=a4+a8=16,∴S11===88,故选B.[第43页第4题](2011江西,5,5分,★☆☆)设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和.若S10=S11,则a1=()A.18B.20C.22D.24[答案]B[解析]由S10=S11得a11=0,即a1+10d=0,又d=-2,∴a1=20.选B.[第43页第5题](2013江西南昌月考,★★☆)已知等差数列{an}中,a1+a2=4,a5+a6=16,则a3+a4=()A.10B.8C.6D.12[答案]A[解析]因为数列{an}为等差数列,所以S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即a1+a2,a3+a4,a5+a6成等差数列,所以a3+a4===10,故选A.[第43页第6题](2013山东肥城检测,★★☆)已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则=()A.B.C.D.[答案]C[解析]当n为奇数时,等差数列{an}的前n项和Sn==n,同理,Tn=n,令n=5,即得====.[第43页第7题](2011天津,11,5分,★☆☆)已知{an}是等差数列,Sn为其前n项和,n∈N+.若a3=16,S20=20,则S10的值为________.[答案]110[解析]设{an}的公差为d,则a1+2d=16,20a1+d=20,解得a1=20,d=-2,所以S10=10a1+d=110.[第43页第8题](2013云南玉溪期中,★★☆)已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,所有奇数项之和为15,所有偶数项之和为35,则这个数列的项数为________.[答案]20[解析]设公差为d,因为项数是偶数,所以由题意知a1+a3+…+an-1=15,a2+a4+…+an=35,两式相减得(a2-a1)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=35-15=20,即d=20,所以n===20.[第43页第9题](2015广东湛江月考,★☆☆)若数列{an}的前n项和Sn=n2+10n,则a3=()A.16B.15C.39D.14[答案]B[解析]a3=S3-S2=(32+10×3)-(22+10×2)=15.故选B.[第44页第12题](2014广东珠海月考,★☆☆)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,求k的值.[答案]答案见解析[解析]∵Sn=n2-9n,∴n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-10.而n=1时,a1=S1=-8∉(5,8).故由5<ak<8得5<2k-10<8,解得7.5<k<9.又∵k∈N+,故k=8.[第44页第13题](2015山西大同月考,★☆☆)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=8,S3=6,则a10=()A.20B.18C.16D.14[答案]B[解析]设等差数列的公差为d,则有即解得所以a10=a1+9d=18.故选B.[第44页第14题](2014广东惠州第二次调研,★☆☆)设Sn是等差数列{an}的前n项和,a1=2,a5=3a3,则S9=()A.-72B.-54C.54D.72[答案]B[解析]设公差为d,由a5=3a3得a1+4d=3(a1+2d),∴d=-a1=-2.∴Sn=na1+×d=2n+×(-2)=-n2+3n.∴S9=-92+3×9=-54.故选B.[第44页第15题](2012重庆,1,5分,★☆☆)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5=()A.7B.15C.20D.25[答案]B[解析]设公差为d,∵{an}是等差数列,∴⇒∴S5=5a1+d=5×(-1)+10×2=15,故选B.[第44页第16题](2015山东枣庄月考,★★☆)等差数列{an}中,a10=33,a2=1,Sn为其前n项和,则S20-2S10=()A.40B.200C.400D.20[答案]C[解析]设等差数列的公差为d,则d==4.所以S20-2S10=-2×=10(a20-a10)=100d=400.[第44页第17题](2011福建,17,12分,★☆☆)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.[答案]答案见解析[解析](1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3可得1+2d=-3.解得d=-2.从而,an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,所以Sn==2n-n2.由Sk=-35可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N+,故k=7.[第45页第18题](2015河南郑州月考,★☆☆)已知等差数列{an}中,a1=-28,d=4,则使前n项和Sn取得最小值的n值为()A.7B.8C.7或8D.6或7[答案]C[解析]由已知得an=a1+(n-1)d=-28+(n-1)×4=4n-32.由即解得7≤n≤8,故n=7或8.[第45页第19题](2013浙江嘉兴月考,★☆☆)等差数列{an}(n∈N+)中,已知a1=5,且前n项和Sn中,仅当n=10时,S10最大,则公差d满足()A.-<d<-B.-<d<-C.<d<D.<d<[答案]A[解析]由题意得a10>0,a11<0.即解得-<d<-.故选A.[第45页第20题](2013浙江温州月考,★☆☆)数列{an}满足an=-2n+11,则使得其前n项和取得最大值的n等于()A.4B.5C.6D.7[答案]B[解析]由an≥0得n≤,因为a5=1>0,所以该数列的前5项为正数,所以前5项的和最大.[第45页第21题](2010福建,3,5分,★☆☆)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于()A.6B.7C.8D.9[答案]A[解析]∵{an}是等差数列,∴a4+a6=2a5=-6,即a5=-3,公差d===2,∴{an}是首项为负数的递增数列,所有的非正项之和最小.∵a6=-1,a7=1,∴当n=6时,Sn最小.故选A.[第45页第22题](2013山东青岛调研,★★☆)已知等差数列{an}的公差d>0,且a2012,a2013为方程x2+5x-3=0的两根,则使得其前n项和取得最小值的n等于()A.2012B.2013C.4024D.4025[答案]A[解析]因为d>0,所以a2012<a2013,由根与系数的关系得所以a2012<0,a2013>0,所以该数列的前2012项和最小.故选A.[第45页第23题](2015山西太原检测,★★☆)若数列{an}是等差数列,首项a1>0,a2014+a2015>0,a2014·a2015<0,则使其前n项和Sn>0成立的最大正整数n是________.[答案]4028[解析]由已知得a2014>0,a2015<0.而S4028==>0,S4029==4029a2015<0.故使Sn>0的最大正整数n为4028.[第45页第24题](2014北京海淀一模,★★☆)等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大?[答案]答案见解析[解析]解法一:由S3=S11得3a1+d=11a1+d,则d=-a1.从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,又a1>0,所以-<0.故当n=7时,Sn最大.解法二:由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.同解法一可得d=-·a1,则a=-<0,故当n=7时,Sn最大.解法三:同解法一可得,d=-a1.因为a1>0,所以d<0.要使Sn最大,则有即解得6.5≤n≤7.5,故当n=7时,Sn最大.解法四:由S3=S11,可得2a1+13d=0,即(a1+6d)+(a1+7d)=0,故a7+a8=0,又由a1>0,S3=S11可知d<0,所以a7>0,a8<0,所以当n=7时,Sn最大.[第46页第10题](2015河北“五个一名校联盟”质检,★☆☆)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且Sn=(n∈N+).(1)求证:数列{an}是等差数列;(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.[答案]答案见解析[解析](1)证明:Sn=(n∈N+),①Sn-1=(n≥2),②①-②得an=(n≥2),整理得(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1(n≥2).∵数列{an}的各项均为正数,∴an+an-1≠0,∴an-an-1=1(n≥2),当n=1时,a1=1,∴数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)得Sn=,∴bn===2,∴Tn=2×+++…+=2=.[第46页第1题](2014山东潍坊期末,★☆☆)等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a8=13,S7=35,则a8=()A.8B.9C.10D.11[答案]B[解析]设公差为d,由已知得S7==7a4=35,故a4=5.又因为a3+a8=(a4-d)+(a4+4d)=2a4+3d=13,解得d=1.故a8=a4+4d=5+4=9.选B.[第46页第5题]在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=()A.9B.10C.11D.12[答案]B[解析]由题意知奇数项共(n+1)项,首项为a1,末项为a2n+1;偶数项共n项,首项为a2,末项为a2n,故奇数项的和S奇==(n+1)an+1,偶数项的和S偶==nan+1,∴=,所以=,解得n=10.[第46页第6题](2014山东师大附中质检,★★☆)等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(··…·)=()A.10B.20C.40D.2+log25[答案]B[解析]log2(··…·)=a1+a2+…+a10==5(a1+a10),∵a1+a10=a5+a6=4,故原式=5×4=20.[第46页第7题](2015河北保定重点高中联考,★☆☆)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2(m≥2),Sm=0,Sm+1=3,则m=________.[答案]5[解析]由已知得am=Sm-Sm-1=2(m≥2),am+1=Sm+1-Sm=3,故d=am+1-am=1.由Sm=0可得=0,所以a1+am=0.故a1=-2,所以由am=-2+(m-1)×1=2,解得m=5.[第46页第8题]已知等差数列{an}中,a1+a2+a3+a4=9,a5+a6+a7+a8=36,则a9+a10+a11+a12=________.[答案]63[解析]由题意得S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,且S4=9,S8-S4=36,故2(S8-S4)=S4+(S12-S8),即S12-S8=2(S8-S4)-S4=2×36-9=63.[第46页第8题](2014广东珠海期末,★★☆)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3n+1,则an=________.[答案][解析]当n=1时,a1=S1=31+1=4.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2·3n-1.显然,当n=1时,不满足上式.所以an=[第46页第9题]若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,已知=,则=________.[答案][解析]=====.[第46页第9题](2014浙江温州十校联考,★★☆)等差数列{an}中,a1=2013,前n项和为Sn,-=-2,则S2013的值为________.[答案]2013[解析]由等差数列前n项和性质知,是一个等差数列.设其公差为d,则由已知得-=-2=2d,解得d=-1.∴=+(2013-1)×d=2013+2012×(-1)=1.∴S2013=2013.[第47页第11题](2013北京东城检测,★☆☆)已知数列{an}是等差数列,a1=50,d=-0.6.(1)从第n项开始有an<0,求n;(2)求此数列前n项和Sn的最大值.[答案]答案见解析[解析](1)∵a1=50,d=-0.6,∴an=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6.令-0.6n+50.6≤0,则n≥≈84.3,又n∈N+,故n≥85时,an<0,即n=85.(2)∵a1=50>0,d=-0.6<0,由(1)知a84>0,a85<0,∴S1<S2<…<S84且S84>S85>S86>…,∴(Sn)最大=S84=50×84+×(-0.6)=2108.4.[第47页第12题](2015山东实验中学第二次诊断,★★☆)已知数列{an}满足an+1+an=4n-3(n∈N+).(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn.[答案]答案见解析[解析](1)若数列{an}是等差数列,设公差为d,则an=a1+(n-1)d,所以an+1=a1+nd.由an+1+an=4n-3,得(a1+nd)+[a1+(n-1)·d]=4n-3,得解得(2)①当n为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)=2+(4×2-3)+(4×4-3)+…+[4(n-1)-3]=2+4[2+4+…+(n-1)]-3×=2+4×-3×=.②当n为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=(4×1-3)+(4×3-3)+…+[4(n-1)-3]=4[1+3+…+(n-1)]-3×=4×-=.[第49页第1题](2013山东胶南月考,★☆☆)已知数列{an}为等比数列,则下列说法正确的是()A.数列{an+1}不可能是等比数列B.数列{kan}(k为常数)一定是等比数列C.若an>0,则{lnan}一定是等差数列D.数列{}是等比数列,其公比与数列{an}的公比相等[答案]C[解析]A项,若数列{an}为非-1的常数列,则{an+1}是非零的常数列,显然是公比为1的等比数列,故该项不正确;B项,若k=0,则kan=0,此时数列{kan}不是等比数列,所以该项不正确;D项,因为=,所以若数列{an}为等比数列,则数列{}是等比数列,其公比为数列{an}的公比的平方,所以该项也不正确,所以选C.[第49页第2题](2014重庆,2,5分,★★☆)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()A.a1,a3,a9成等比数列B.a2,a3,a6成等比数列C.a2,a4,a8成等比数列D.a3,a6,a9成等比数列[答案]D[解析]不妨设公比为q,则=q4,a1·a9=q8,a2·a6=·q6,当q≠±1时,A、B均不正确;又=q6,a2·a8=q8,同理,C不正确;由=q10,a3·a9=q10,知D正确.[第50页第3题](2014安徽示范高中联考,★★☆)已知数列{an}中,a1=2,an+1=+2an(n∈N+).(1)证明:数列{lg(1+an)}是等比数列;(2)求数列{an}的通项公式.[答案]答案见解析[解析](1)证明:由an+1=+2an得:an+1+1=+2an+1=(an+1)2.两边取常用对数,得:lg(an+1+1)=lg(an+1)2=2lg(an+1).又a1=2,∴数列{lg(1+an)}是以lg3为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知lg(1+an)=2n-1×lg3=lg,∴1+an=,即an=-1.[第50页第4题](2013山东青岛月考,★★☆)数列{an}的前n项和为Sn,若an+Sn=n,cn=an-1.求证:数列{cn}是等比数列.[答案]答案见解析[解析]当n=1时,a1=S1.由an+Sn=n①,得a1+S1=1,即2a1=1,解得a1=.又因为an+1+Sn+1=n+1②,所以由②-①得:an+1-an+(Sn+1-Sn)=1,即2an+1-an=1.因为cn=an-1,所以an=cn+1,所以an+1=cn+1+1,所以2(cn+1+1)-(cn+1)=1,整理得:2cn+1=cn,故=(常数),又c1=a1-1=-≠0,所以数列{cn}是一个首项为-,公比为的等比数列.[第50页第5题](2015山西太原检测,★☆☆)已知正项等比数列{an}中,a4=a3+2a2,则其公比q=()A.-1B.2C.-1或2D.1或-2[答案]B[解析]由已知得q>0,由a4=a3+2a2得a2·q2=a2·q+2a2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍).[第50页第6题](2015广东汕头检测,★☆☆)在等比数列{an}中,a2=,an=,公比q=,则n=()A.3B.5C.4D.2[答案]B[解析]由通项公式的变形得an=a2·qn-2,即=×,化简得=,解得n=5.[第50页第7题](2013江西,3,5分,★☆☆)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24[答案]A[解析]设公比为q,由题意得q===2.故==2,解得x=-3.所以an=-3×2n-1,a4=-3×24-1=-24.选A.[第51页第10题](2012辽宁,14,5分,★☆☆)已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的公比q=________.[答案]2[解析]∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq,化简得,2q2-5q+2=0,即(2q-1)(q-2)=0,由题意知,q>1,∴q=2.[第51页第11题](2015广东梅州摸底,9,★☆☆)在等比数列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5=()A.27B.16C.81D.36[答案]A[解析]设公比为q,由已知得q>0,因为a1+a2=1,a3+a4=9,所以q2==9,解得q=3或-3(舍),故a4+a5=(a1+a2)·q3=1×33=27.[第51页第12题](2015山东德州测试,★☆☆)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4[答案]A[解析]设公比为q,由已知得q>0.由等比数列的性质得a1·a2·a3=,a7a8a9=,所以===q18=2,∴q9=.而==q9=,所以a4a5a6=5.[第51页第13题](2014浙江湖州八校联考,★☆☆)已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a1a7+2a3a7+a3a9的值为()A.10B.20C.60D.100[答案]D[解析]由等比数列的性质可知a1·a7=,a3·a7=a4·a6,a3·a9=,故a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4·a6+=(a4+a6)2=102=100.故选D.[第51页第14题](2014广东,13,5分,★☆☆)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=________.[答案]50[解析]因为等比数列{an}中,a10·a11=a9·a12,所以由a10a11+a9a12=2e5,可解得a10·a11=e5.所以lna1+lna2+…+lna20=ln(a1·a2·…·a20)=ln(a10·a11)10=10ln(a10·a11)=10·lne5=50.[第51页第15题](2012广东,12,5分,★☆☆)若等比数列{an}满足a2a4=,则a1a5=________.[答案][解析]由等比数列的性质可得=a2a4=a1a5=,所以a1a5=()2=.[第51页第8题](2011辽宁,5,5分,★☆☆)若等比数列{an}满足anan+1=16n,则公比为()A.2B.4C.8D.16[答案]B[解析]设公比为q,由anan+1=q=16n>0知q>0,∵=q2==16,∴q=4,故选B.[第51页第9题](2014江苏,7,5分,★☆☆)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是________.[答案]4[解析]设公比为q,由a8=a6+2a4得a4q4=a4q2+2a4,两边都除以a4,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0⇔(q2-2)(q2+1)=0,∴q2=2.∵a2=1,∴a6=a2q4=1×22=4.[第52页第16题](2011江西,18,12分,★★☆)已知两个等比数列{an},{bn},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}唯一,求a的值.[答案]答案见解析[解析](1)设{an}的公比为q,b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,所以{an}的通项公式为an=(2+)n-1或an=(2-)n-1.(2)设{an}的公比为q,由(2+aq)2=(1+a)·(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根,由{an}唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=.[第52页第17题](2015山西太原质检,★☆☆)设等差数列{an}的公差不为0,a1=9d,若ak是a1与a2k的等比中项,则k=()A.2B.4C.6D.8[答案]B[解析]由题意得ak=a1+(k-1)d=(k+8)d,a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d.又=a1·a2k,所以(k+8)2d2=9d(2k+8)d,即k2-2k-8=0.解得k=4或k=-2(舍).[第52页第18题](2014山东济南外国语学校质检,★☆☆)各项均为正数的等比数列{an}的公比q≠1,且a2,a3,a1成等差数列,则的值为()A.B.C.D.或[答案]C[解析]由已知可得q>0.∵a2,a3,a1成等差数列,∴a3=a2+a1,即q2=q+1,解得q=或q=(舍).又===.[第52页第19题](2013山东测试,★★☆)已知等差数列{an}的公差d不为0,等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数,若a1=d,b1=d2且是正整数,则q的值可以是()A.B.-C.D.-[答案]C[解析]由题意知a2=a1+d=2d,a3=a1+2d=3d,b2=b1q=d2q,b3=b1q2=d2q2,所以==,令=t,因为是正整数,所以t为正整数,将选项代入,验证可知只有C项符合题意,故选C.[第52页第20题](2014山东日照月考,★★☆)已知a,b,c成等比数列,如果a,x,b和b,y,c都成等差数列,则+=________.[答案]2[解析]∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由a,x,b成等差数列,得x=.由b,y,c成等差数列,得y=.∴+=+=+====2.[第53页第10题]已知等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则等于________.[答案]3+2[解析]由题意知2×a3=a1+2a2,即a3=a1+2a2,设等比数列{an}的公比为q,则有a1·q2=a1+2a1q,故有q2-2q-1=0.解得q=+1或q=-+1.又∵an>0,∴q>0,∴q=+1,∴=q2=3+2.[第53页第11题](1)已知等比数列{an}中,a1+a2+a3=7,a1a2a3=8.求an;(2)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列,求这四个数.[答案]答案见解析[解析](1)解法一:设等比数列{an}的公比为q.由题意得即由②得a1q=2,③得=,即q+=,解得q=2或q=.当q=2时,a1=1,此时an=a1qn-1=2n-1;当q=时,a1=4,此时an=4×=.故an=2n-1或an=.解法二:∵a1·a3=,∴a1a2a3==8,∴a2=2.由题意得∴a1,a3是方程x2-5x+4=0的两根,解得或当a1=1,a3=4时,q=2,an=a1qn-1=1×2n-1=2n-1;当a1=4,a3=1时,q=,an=a1·qn-1=4×=.故an=2n-1或an=.(2)设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列,据题意有整理得解之得因此所求四个数为3,6,12,24.[第53页第12题]已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,令bn=loan(n∈N+),且b1+b2+b3=3,b1·b2·b3=-3.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.[答案]答案见解析[解析](1)证明:设数列{an}的公比为q(q>0),则=q.∵bn+1-bn=loan+1-loan=lo=loq(常数),∴数列{bn}是公差为loq的等差数列.(2)由(1)知b2是b1与b3的等差中项,∴2b2=b1+b3.由b1+b2+b3=3得b2=1,∴解得或由bn=loan得或由an=a1·qn-1(q>0)得,当a1=2时,q=;当a1=时,q=4,∴an=23-2n或an=22n-5(n∈N+).[第53页第21题](2014安徽,12,5分,★★☆)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.[答案]1[解析]设{an}的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).∴[(a1+1)+2(d+1)]2=(a1+1)[(a1+1)+4(d+1)],∴(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+[2(d+1)]2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),∴d=-1,∴a3+3=a1+1,∴公比q==1.[第53页第2题](2015吉林实验中学模拟,★☆☆)在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是()A.10B.1000C.100D.10000[答案]D[解析]由已知得lga3+lga6+lga9=lg(a3a6a9)=6,所以a3a6a9=106,而a3a9=,所以=106.所以a6=102.由等比数列的性质可得a1a11==104,故选D.[第53页第3题]如果-1,a,b,c,-9成等比数列,则()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=±3,ac=9D.b=±3,ac=-9[答案]B[解析]由题意得ac=-1×(-9)=9;b2=-1×(-9)=9.又-1,a,b成等比数列,所以a2=b×(-1)=-b,故b<0,所以b=-3.故选B.[第53页第3题](2015辽宁大连期末,★☆☆)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7[答案]D[解析]设{an}的公比为q(q≠0).由等比数列的性质可得a4a7=a5a6=-8,解方程组得或故q3=-2或q3=-.所以a1+a10=+a7q3=+4×(-2)=-7或a1+a10=+a7q3=+(-2)×=-7.故a1+a10=-7.故选D.[第53页第4题](2014广东珠海测试,★☆☆)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和为21,则a3+a4+a5=()A.33B.72C.84D.189[答案]C[解析]设公比为q,∵a1+a2+a3=21,∴1+q+q2=7,解得q=2或q=-3(舍),∴a3+a4+a5=a1·q2+a2·q2+a3·q2=(a1+a2+a3)·q2=21×22=84.[第53页第5题]已知{an}是等差数列,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则等于()A.B.C.D.[答案]D[解析]由a1,a3,a9成等比数列,得=a1·a9.故(a1+2d)2=a1(a1+8d),整理得a1=d.∴===.[第53页第5题](2014广东汕头期末,★☆☆)已知等比数列{an}的公比q为2,且a1+a3=5,则a2+a4的值为()A.10B.15