全等三角形的性质和判定的应用的教学设计

第6课时全等三角形的性质和判定的应用1．熟练掌握判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA，AAS，SSS；(重点)2．会根据具体情况选择合适方法证明三角形全等．(难点)一、情境导入1．判定三角形全等的四种方法：SAS，ASA，AAS，SSS.2．怎样选择合适的方法解题呢？二、合作探究探究点一：对两个三角形全等条件的再认识【类型一】条件开放如图，∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，要使△ABC≌△EBD，则需要补充的条件为____________(填一个即可)．解析：需要补充的条件为BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D.(1)补充的条件为BC＝BD，∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，又有BC＝BD，∴△ABC≌△EBD(SAS)．(2)补充的条件为∠A＝∠E，∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，又有∠A＝∠E，∴△ABC≌△EBD(ASA)．(3)补充的条件为∠C＝∠D，∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，又有∠C＝∠D，∴△ABC≌△EBD(AAS)．故填BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D.方法总结：①已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等．②添加条件时，应结合判定全等的四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．【类型二】结论开放如图，点F在BC上，AB＝AE，AC＝AF，∠EAB＝∠CAF，请你任意写出一个正确结论：______________．解析：由∠EAB＝∠CAF可得∠EAF＝∠CAB，又AB＝AE，AC＝AF，所以△ABC≌△AEF(SAS)，所以CB＝FE，∠E＝∠B，∠AFE＝∠C.故可以填：△ABC≌△AEF或CB＝FE或∠E＝∠B或∠AFE＝∠C.方法总结：对于结论开放题，应先结合已知条件和图形进行推理，得出各种结论，任选其中之一即可．【类型三】条件结论都开放如图，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，点D、E、F、C在同一直线上，有如下三个关系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF.(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出所有你认为正确的命题(用序号写出命题书写形式，如：如果①、②，那么③)；(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．解析：(1)本题主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作为条件的关系式能不能证明△ADF≌△BCE，从而得到结论；(2)对于“如果①，③，那么②”进行证明，根据平行线的性质得到∠AFD＝∠BEC，因为AD＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF.解：(1)如果①、③，那么②；如果②、③，那么①.(2)对于“如果①、③，那么②”证明如下：∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.又∵AD＝BC，∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE.∴DF＝CE.∴DF－EF＝CE－EF即DE＝CF.对于“如果②、③，那么①”证明如下：∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC.∵DE＝CF，∴DE＋EF＝CF＋EF即DF＝CE.∵∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE.∴AD＝BC.方法总结：对于条件结论都开放的题目，结合图形，从中选取的条件要能使结论成立．探究点二：灵活选用合适方法证明三角形全等如图，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于点O.求证：(1)△ABC≌△AED；(2)OB＝OE.解析：(1)由∠BAD＝∠EAC可知∠BAC＝∠EAD，所以由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE,∠BAC＝∠EAD,AC＝AD))，可证△ABC≌△AED(SAS)；(2)由(1)知∠ABC＝∠AED，AB＝AE可知∠ABE＝∠AEB，所以∠OBE＝∠OEB，则OB＝OE.证明：(1)∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，即∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AE,∠BAC＝∠EAD,AC＝AD))，∴△ABC≌△AED(SAS)．(2)由(1)知∠ABC＝∠AED，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∴∠ABE－∠ABC＝∠AEB－∠AED，即∠OBE＝∠OEB.∴OB＝OE.探究点三：添加辅助线证明三角形全等如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.求证：(1)△BFC≌△DFC；(2)AD＝DE.解析：(1)由CF平分∠BCD可知∠BCF＝∠DCF，然后通过SAS就能证出△BFC≌△DFC.(2)连接BD，要证明AD＝DE，证明△BAD≌△BED则可．由于BD＝BD，所以只需另外证明两组角对应相等即可．证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF.在△BFC和△DFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝DC,∠BCF＝∠DCF,FC＝FC))，∴△BFC≌△DFC.(2)连接BD.∵△BFC≌△DFC，∴BF＝DF，∴∠FBD＝∠FDB.∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.∴∠ABD＝∠FBD.∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC.∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.∴∠BDA＝∠BDC.又∵BD＝BD，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE.方法总结：证明全等三角形中常见辅助线的作法：①连接两点；②倍长中线；③过一点作已知直线的平行线；④过一点作已知直线的垂线．探究点四：多次运用三角形全等的判定如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在E移动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．解析：要证BE＝DE，先证△ADC≌△ABC(SSS)，得到∠DAE＝∠BAE，再证△ADE≌△ABE(SAS)即可．解：相等．理由如下：在△ABC和△ADC中，AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE，在△ADE和△ABE中，AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.方法总结：把要证明的边相等或角相等，转化为证明它们所在的三角形全等．如果两个三角形全等的条件不具备，可通过两次或多次三角形全等得出．探究点五：全等三角形判定的实际应用如图，A、B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，过D点作DE⊥BF，使E、C、A在一条直线上，则DE的长就是A、B之间的距离，请说明理由．解：∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，∠B＝∠EDC＝90°，∴△ACB≌△ECD，∴AB＝DE.∴DE的长就是A、B之间的距离．方法总结：本