2019下教师资格白皮书-中学含学科知识

下教师资格笔试科目二之中学（数学学科第一章题型考点分值占 第二章必备考点知识分 第三章题答题技 第四章易错题巩固练 第五章高效备考学习计 第一章考情分析按照教育部的统一部署，2019年下半年中小学教师资格考试预计11月3日进行笔试，教师考试预计数学学科知识与教学能力《初级中学》以及《高级中学》考题将延续以题路，作时间依为120分钟，试卷满分150分；题题型单项选题、简答题、解答题、论述题、案例分析题、教学设计题六个题型；考试内容包含数学分析、线性代数、空间解析几何、统计与概率、课标及教学论、高中知识、初中知识，共七个模块．现就近4次教师资格考试基本考情进行总结如下试卷结构分析：笔试时间总分值考试题型题量和分值试卷分值占比120150单项选择8540简答5735解答11010论述11515案例分析12020教学设计13030小结：笔试时间、总分值、题型、题量和分值以及分值占比一直稳定不变．各知识模块题型题量分值占比小结：线性代数该知识模块分值占比从4次的考题中可以发现，上半年所占分值比例比下半年空间解析几何该知识模块分值占比从4次的考题中可以发现，上半年所占分值比例比下率该知识模块分值占比相对较低，其中18年上半年分值占比0%．常考查的知识点为条件概率、正态分布，考查方式多以单项选择题、简答题、解答题为主．整体难度不高．课标及教学论该知识模块分值占比较高，多年来占比均超过50%．该知识模块主要考查考高中知识该知识模块是从17年开为在课标及教学论中涉及，现逐步扩展到独立考查，19年上半年未涉及，在往年考题中涉及知识点每年各有不同，目前涉及到的知识点主要有集合、简易逻辑、导数、概率等．考查方式多以单项选择题为主，整体难度较低．初中知识该知识模块是从19年上半年开始新增加数学知识考点，往年该模块考查知识内容为在课标及教学论中涉及，现逐步扩展到独立考查，目前涉及到的知识点主要有理数与无数、方程的实数解等．考查方式多以单项选择题为主，整体难度较低．试卷结构分析：笔试时间总分值考试题型题量和分值试卷分值占比120150单项选择8540简答5735解答11010论述11515案例分析12020教学设计13030小结：笔试时间、总分值、题型、题量和分值以及分值占比一直稳定不变．各知识模块题型题量分值占比小结：线性代数该知识模块分值占比相对稳定．常考查的知识点为矩阵的特征值与特征向量空间解析几何该知识模块分值占比从4次的考题中可以发现，上半年所占分值比例比下率该知识模块分值占比相对较低，其中18年上半年分值占比0%．常考查的知课标及教学论该知识模块分值占比较高，多年来占比均超过50%．该知识模块主要考查考高中知识该知识模块是从17年开始新增加数学知识考点，往年该模块考查知识内容为在课标及教学论中涉及，现逐步扩展到独立考查，19年上半年未涉及，在往年考题中涉及知识点每年各有不同，目前涉及到的知识点主要有集合、简易逻辑、导数、概率等．考查方式多以单项选择题为主，整体难度较低．19年上半年开始新增加数学知识考点，目前涉及到的知识点第二章高频考点考点·古典概型与几何概型任何事件（除不可能事件）古典具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型①试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一②每一个试验结果出现的可能性相等如果一次试验中可能出现的结果有 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么一个基本事几何

n如果某个事

A包括的结果有mAPA)mn如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积率模型为几何概率模型，简称为几何概型．①无限性：在一次试验中，可能出现②等可能性：每个结果的发生具有等可能性几何概型中，事件AP(A) 考点·导数 fxxfxyfx上点xfx处的切线的斜yfxfx 基本初等函数的导数公导函f（x）＝c（c为常数f（x）＝xα（α为实数f′（x）＝xlnf′（x）＝xf′（x）＝cos2f′（x）＝－sin2（1）fxgx'f'xg'x（2）fxgx'f'xgxfxg'xf

f'xgxfxg'

gx0复合函数的导

g2 yfgxyfu,ugxy'y'u' y对uux那么函数yfx在这个区间内是减少的．考点·极限洛必达法（1）概念：在分子与分母导数都存在的情况下，分别对分子分母进行求导运算，直到该极2 0 （）适类型通常况下用于型是 型极限．02 0 ．求或 型极限的0变量替换与重要极限等价无穷小因子替换0求 型的方法和上述方法基本相同，必须注意的是：为使用洛必达法则需根据函数的型化为或 型．注意，一般将较复杂的因子取作分子，特别地含有对数因子时型化为或 将该因子取求求 若是与根式函数之和、差有关的，则需用分子有理化方法转化．利用两个重要极

1，lim11x xx

1e（或lim1xxe考点·函数展开成幂级数f(xf(xxx0f(x)f'(x)(xx)f''(x0)(xx)2 nf(n)(xn

f(n)(x00

(xx0)

为函数f在xx0处的泰勒级数．记作f 0(xx)n，其中 ”叫做可展开为f

f

f(n)特别的当x00，则称f(0) x

x2

xn 为函数f(x f(n) xf(xf(xx

Rx，有limR(xlimf(n1((xxn100中xx0之间Rn(x)

n(nf(x)x0处的泰勒公式余limR(x) f(n)(0)验证n ，逐个计算an x并代 (0)xnf(0)f'(0)x (0)xn 解法二：间接法常用代换展

e1 ,x (1)n (2n(1)n (2n n(1)(2n

n0

,xcosx1x2x4

(nx(nxn (1)n(1)n1n n1 n nln(1x)x

,1x( (n1)xn,1( (n1)xn,1x 1xx2 (1)nxn (1)nxn,1x11x 考点·级数的敛散性定 若数项级数ui的部分和数列{Sn的极限存在，即limSnS，则称级数ui

则就称级数

发散．当级数

收敛时，称极限值limSnS为此级数和，称rnSSnun1un2

为级数的余项或余和．几何级数（等比级数qnq1q1pnpp1p1n考点·定积分的性质aaf(x)dx0abadxbab af(x)dxbf(x)dx akf(x)dxkaf(x)dx 5.

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dx bf(x)g(x)dxbf(x)dxbg(x 在区间abf(x0，则bf(x)dx0a 如果在区间[abf(xg(x)，则af(xag(x) af(x)dx

f(x)dx（abbmf(xMx[abm(baaf(x)dxM(bab11．定积分中值定理：如果函数f(x)在[ab]连续，至少存在一个[ab． 12f(xaf(x)dx0f(x为偶函数，则af(x)dx20f(x)dx考点·变限积分F

b(a(

f(t)dt，F(x)f(b(x))b(x)f(a(x))a(x)考点·行列式的基本性质行列式中任意两行（列）若行列式中两行（列）若行列式中某一行（列）有公因子k，则公因子k可提取到行列式符号外，即 kas as asn an an 行列式中若一行（列）行列式中若两行（列）考点·矩阵的特征值和特征向量定AFn阶方阵，如果存在数域F0，使得量nAaijnE-A称为AAn征多项式，记为ff()EA

-

，f

EA0A性iA的任一特征值，非零向量ξAiiAξiξkAk的特征值（k为正整数iiA的任一特征值，非零向量ξA的属于特征值i的特征向量，若 fxa0xnaxn1a为任一多项式，则有fifA的特 若i是Aξ为AiAf(P1f1A的属于特征的特征向量．即特征向量不是被特征值所唯一决定的．相反，特征值确实被特注：属于不同特征值的特征向量是线性无关的Aξ0ξA的特征值0A的一个特征向ξ．nAaijnE-A0A的全部i，再n据齐次线性方程组iEAX0Ai的特征向量．其中，基础解A属于i的线性无关特征向量，通解即为Ai的全体特征向量（不包含0向量）．考点·线面位置关系两个平面间的关1A1xB1yC1zD102A2xB2yC2zD20

A1B1C1D1ABCD ABCD 12A1A2B1B2C1C201与2的夹角（法向量间的夹角，不大于90）n1n1n1n1A1A2B1B2A2B2C A2B2C 两条直线间的关12L:xx1yy1zz1L:xx2yy2zz212

LLl1m1n1，且(xyzL的方程22 22

1 L1L2l1l2m1m2n1n20L1

L2的夹角（方向向量间的夹角，不大于 度）满cos l1l2m1m2 ．l2m2 l2m2 直线和它在平面投影直线所夹锐角 称为直线与平面的夹角．当直线与平面垂直时，规定角 2Lxx0yy0zz0AxByCzD0slmnnABC} LsnAlBmCn0Ax0By0Cz0D0 Lsn

AlL与的夹角 s,n，sin2

A2B2 l2m2考点·曲面的切平面与法线方程F(x,y,z)0，在曲面上任取一条通过点M的曲M处的切向量为Tx(t0y(t0z(t0

xyy(tz切平面方程为Fx(M)(xx0Fy(Myy0Fz(M)(zz00法线方程为 x y z ．Fx(x0,y0,z0 Fy(x0,y0,z0 Fz(x0,y0,z0zf(xyF（x，y，z）=f（x，y）-zM处的切平面nfx(x0y0fy(x0y01}．Mfx(x0y0xx0fy(x0y0yy0zz0曲线M处的法线方程为xx0yy0zz0fx(x0,y0

fy(x0,y0 考点·曲面方程球面(xx0)2(yy0)2(zz0)2旋转yoz平面上的曲线f(y,z)0绕z轴旋转一周的曲面方程为f x2y2,z)0yoz平面

fyz0y轴旋转一周的曲面方程为fyx2z2)0柱平行于定直线，并沿定曲线CL所形成的曲面称为柱面．这条定曲线C叫做柱面的准线，动直线L叫做柱面的母线．二次方程

x2y2z2

x2y2 x2z2 y2z2①椭球面与三个坐标平面的交线： 1， 1，

②椭球面的几种特殊情况

ab 1，旋转椭球面，由椭圆 1绕z轴旋转而成 abcx2y2z2a2x①2y2x①

q2

2 2 2

③x2③2

z ①单叶双曲面：x2y2 ②双叶双曲面：

x2

考点·向量组的极大线性无关组及矩阵的秩基本极大线性无关，注：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩．矩阵的矩阵的行向量组的秩与列向量组的秩相等，称为基本等价的向量组必有相同的秩．（秩相同的向量组未必等价第三章主观题答题技巧（一）案例分析的考查要点新课程理念是案例分析考查的要点，分析案例时，需要从课程理念出发，评析教学示例的内容．如案例分析中的典型问题：“上述教学片断体现了哪些数学课程理念？请简要评析（至少答出三点/四点请根据数学课程理念，从师生关系的处理方面/从学生主体地位方面/简要点评上述案例．”教学教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划，对教学设计的评析能考查出教师的综合素养．如问题：“对材料中的教学过程的设计进行评析，对材料中的导入环节设计进行评析”等．（二）案例分析的理论依据数学课程标准要课程性数学的课程性质决定了数学在教育中的地位．在案例分析中要综合的评析是否体现数学的性质．课程的目标和内容是不是围绕“必备的基础知识和基本技能”；有没有体现基础性、普及型和发展性的特点；能不能培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面课程理新课程理念对教学具有一定的指导作用，案例分析中需要分析教师是否将新课程的理念到教学过程注意要教学目评析教学目标与确定教学目标一样，要遵循三条①是否体现数学课程的基本理念的精神；②是否实现三维目标的整合又有所侧重；③是否具体明确，可操作，可课堂评析课堂导入可从以下几个方面考虑教学行为（教学片段③从微观方面说，教学方法是否恰当；教学程序是否循序渐进；练习设计是否有效；教学效果、教学问教学问题是课堂组织的重要因素，对于教学问题的评析可以从以下几点进行：①围绕教学目标，突出重难之间的联系，抓住的内在思路，从目标的整体效应出发设计精而少、具有多方面功能的提问，②针对实际，难易适度提问设计要切合学生实际，难易适度，过难过易都不会收到好的效果；但也要注意设计些稍难及较易的问题，分别让优生和后进生来回答，这种差异性提问，将能更好地调动全体学生的积极必要时拿出来作为铺垫式的提问．③顺序得当，发展课堂提问本身就是思维能力训练，但浅表化的“是不是”“好不好”一类的提问是不能达到思维练的．问训练维重教之一一般来提可为“是什么”“为什么”“怎么样”几类，这三类都含有思维的因素，但要求和层次不同，效果也就不一样．“是什么”一般是以判断的形式作答，是思维的结果；而后两者须把前因讲清楚，不但要判断，而且要把思维的过程说出来，层次高，难度大．因此，要认真设计好后两者的提问．④结构恰当，层次分明——分析——到深刻含义的顺序来设计的，层次分明，由浅入深，环环紧扣．不同的教学环节、不同的教学时间，应设计不同类型和不同层次的提问．教学效应该说，教学效果是衡量课堂教学最终目标，不管教学目标如何确定、教学过程如何开展，最终都要看教学效果如何．在评析教学效果时，一定要具体情况具体分析，要具备专业的眼光，不被表面现象蒙蔽，也不要被看似“有效”冲昏头脑．什么效果，但是对学生的学习品质产生积极而深远的影响．从长远看，真有效，是长效、高效．评析作国家或地方行政规定，如，一二年级不留家庭作业，三四年级不超过半小时，五六年级不超过（三）案例分析的答题思路审题审题干，明考“数学课程理念”“教学目”“教学过程”“导入设计”“教学重难点”“某内容的教学”等字样，明确题目的考点．读材料，划句根据题干明确的考点，完整的读材料．在读材料的过程中，划出体现数学课程理念的句子、析句子，找理答题破题，就题答所谓“就题答题”，是指从正面回答题干问题，题干怎么问，就怎么答，题干问什么，就答什么分析，有理有“理”指的是理论知识，“据”指的是材料信息．在具体分析环节，一方面要点明材料关键点，另一方面，要结合相关的理论评价，收束总对案例进行综合评价，总结教师行为，阐明是否应该提倡，有何影响，我会怎么做等．

第四章巩固练习(4x3

1)(24

5(3x

(x101)A． D． 设函

fxx=0处连续，且x®

=1，则 A．f(0)=0且f'(0)存 B．f(0)=1且f'(0) C．f(0)=0且f'(0)存 D．f(0)=1且f'(0) 设A为n阶矩阵，则行列式为A=0的必要条件是 A的两行元素对应成正 B．A中必有一行为其余各行的线性组C．A中有一列元素全为 C．A中任一列均为其余各列的线性组 轾

犏

a23，B

，P= 1 犏

犏

a31 a32 a33 P=

，P=

，则B

B. C. D.已知向量组a1，a2，a3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是 a1+a2，a2+a3，a3-a1+a2，a2+a3，a1+2a2a1+2a2，2a2+3a3，3a3a1+a2+a3，3a1+5a2-5a3，2a1-3a2+极 （x,y）0,02xy132 2若f'(x)1，则limf(x0h)f(x0h)等于 C．- D．-x2sin1,x

． A．不连 B．连续但不可C．可导但导函数不连 D．导函数连曲线ysinx在，上与X轴所围成的图形的面积是 (xy)dxydyXY＞0G内与积分路径无关，则L

(x C．- 考查二元函数的下面四条性质：①f（x，y）在点（x0，y0）连续；②f（x，y）在点y0）处的两个偏导数连续；③（x，y）在点（x0，0）处可微；④（x，y）在点（x0，y0）处两个偏导数存在若用“PQ”表示性质P可推出性质Q则（ A．③④ B．③②C．②③ D．③①下列级数中发散的是 n nA. n

B.nn sin 2nC.(n

D.

n常 1-

为 nA．发 B．条件收C．绝对收 D．收敛性与的取值有设f(x)ln(1x2)，g(x)ex则[f(g(x))]' 11

1

e21

2e21已知向量 若垂直于，则a等于 aaxi3j4k,b4iaxj7 B．- x1x2x3x1x2x方程组xx1x2x A．- B． AB AB ABA (AB)1A1实二次型fx，x，x）x22x23x24xx2xx是 1 2不定二次 B．半正定二次 C．半负定二次 D．正定二次方程y22x，表示空间的曲面为 函数uxyz2yz3在点(1,1,1)沿L2i2jk的方向导数为 1515 B． C．11515

D．3已知P(A)0.5，P(B)0.9，P(B|A)0.6则P(AB) 设A，B为独立的事件且P(A)＞0，P(B)＞0则下面四个式子中不成立的 P(BA) B．P(AB)P(C．P(AB) D．P(AB)P(设随量x的分布函数为F（x）则Y2X1的分布函数为

21

1C.Gy Fy D．GyFn23nn

y n幂级数nn

x的收敛域是 -11 -11 -3, -． 3设有以下命

B． ，33

①数列{xn}收敛，则xnlimxnalimxnlal ③数列limxnalimx2n1limx2n x④数列极限limx存在limxn11，以上命题正确的个数 xn n 已知幂级数a(x1)n在x=2处条件收敛，则该幂级数 nn收敛半径为 B．收敛区间为 A． 鸡兔同笼，共有8个头，22只眼，问鸡兔各有几只？这个问题解决“鸡兔同笼，共有8个头，22条腿，问鸡兔各有几只？”这个问题，可以这样做：如果8只都是兔子，那么一共要有8×4=3232-22=1010÷2=5（ 从一般到特殊的推 B．从特殊到一般的推C．通过实验验证结论的推 D．通过观察猜想得到结论的推《义务教育数学课程标准（2011年》从四个方面阐述课程目标，这四个方面是 y z设L:x1 ，L:x1y1z （1）L1L2 已知A 2，求A1 exylnysinx0dyx2x求极限lim

sintdt设函数 1x2，求函数的单调区间和极值1xcos2xdx0y4y4y 设函数yf满足条件 2,y

y(x)dx 8.

2ax 2ax

化为极坐标形式，并计算积xf(x)dxarcsinxc

1dxfy''2y'3ye-3x求初值问

dy x

y2(x2)2y(0)4的解 nDn

0 1矩阵A 0满足AX=B，其中B 2，求矩阵

1

1 0 2 1 2

，求其逆矩阵A-1设1,2,3,4P4维线性空间V的一组基，V的一个线性变换 1 3下的矩阵为 ．求的核1(0)与的秩 5 x2x曲面z y2

在哪个点处的切平面平行于平面2x2yz0，并写出此点的法线方程．2xy2z1求通过直线x2yz20x+y+z-1=018．103件次品，每次从中取出一件产品，同时放入一件正品，直至取到正品为止，求抽取次数X的数学期望．C,0x3,0y二维 量(X,Y)的概率密度f(x,y)

，求常数C程组A*4E)x0求矩阵求方程组A*4E)x02xyz121lx2yz20π3xy2z10的位置关系，并求出直线l与平面πB)PA0.5，P(B0.4，PA|B0.6PAB)PA|B)学生在学习数学过程中，会因为出现错误，教师应如何对待学生的数学错误结合中学数学，围绕某一点，说明数形结合在数学中的具体应用在今后教学中，如何培养学生数形结合思想什么是巩固与发展相结合原则，结合实例说明？如何在教学中这一原则评价学生的数学学习应用采用多样化的方式，请列举四种不同类型的评价方式

ln(1x)1证明幂零矩阵A一定有特征值，并且它的特征值一定是设Vn0是VV1x(xa0,xV是VV1的维数等n叙述并证明拉格朗日中值定理（利用罗尓中值定理证明应用拉格朗日中值定理证明下列不等式 nmlnnnm，其中0mn 1．（初级中学）举例说明在教学中如何处理“预设”与“形成”的关2（高级中学《普通高中数学课程标准（实验》“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教．教师要发挥主导作用，处理好讲知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验．”简要说明数学思想方法的含义，并给出高中数学教学中常用的几种数学思想方法（至少5种，且任选一种思想进行举例说明且如何在教学过程中让学生感悟这种思想？问题一；汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t小时面的表．再试用含t的式子表示t（小时12345s（千米师：哪位同学来填表？据．师：你怎么算出来的？生1：路程=速度×时间师：观察谁在变1st在变，速度没问题二：每张票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出205张，晚场售出310张，三场票的票房收入各多少元？若设一场售出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y？师：某同学你来解答．师：观察谁在变2：x，y10探索它们的变化规律．如果弹簧长原长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质x（kg）的式子表示受力后的弹簧长L（cm）？答．生3：L=10+0.5x．师：怎么考虑的？长原长为10cm，所以受力后的弹簧长度L=10+0.5x．学生齐答：x、L在变．面积s的式子表示圆的半径r呢？（过程略问题五：用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化？记x米，面积S平方米，怎样用x的式子表S？（过程略教师根据得出的关量．常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量请简要评析该教学过程的特点2．（）某教师的例题解题课如下：环节一：教师给出例题，已知C的左焦F（-10）P（1，求椭圆C的标准方程，接着老师请学生做大约30