第11讲图形的变化及投影视图

第11讲图形的变换及投影与视图第一部分考点搜索（一）图形的平移与旋转：1．平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：①平移不改变图形的与，即平移前后的图形②平移前后的图形对应点连得线段平行且2．旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵性质：①旋转前后的图形②旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都（二）轴对称图形和中心对称图形1.轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形2．中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做（三）立体图形的三视图视图：从不同的方向看一个物体，然后描绘出所看到的图形即视图其中，从看到的图形称为立视图，从看到的图形称为左视图，从看到的图形称为俯视图，一般三视图式指___________,________________,________________第二部分典例精析考点一：轴对称图形例1（2012•柳州）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（）A． B．C． D．

圆等边三角形矩形等腰梯形【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可．【解答】A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；

B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；

C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；

D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误．故选C．例2（2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（）A．（-3，-5） B．（3，5） C．（3．-5） D．（5，-3）【答案】B【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．【解答】点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（3，5）．故选B．同步拓展1.（2012•宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．、故选B．2．（2012•沈阳）在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（）A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（2，-1） D．（-2，1）【解答】点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（-1，-2）．故选A．小结：考点二：中心对称图形例3（2012•襄阳）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A．【分析】依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答．【解答】B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形．故选A．同步拓展1．（2012•株洲）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；

C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；

D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．2.（2012•资阳）下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【解答】①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；

③圆是中心对称图形，也是轴对称图形；④梯形不是中心对称图形，等腰梯形是轴对称图形，一般梯形不是轴对称图形；⑤等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；

⑥直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形；⑦国旗上的五角星不是中心对称图形，是轴对称图形，故是轴对称图形又是中心对称图形的有②③，故选：B．小结：考点三：图形的平移与旋转例4（2012•义乌市）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．【解答】根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，

∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又∵AB+BC+AC=8，

∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故选；C．例5（2012•十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（）A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③【答案】①②③⑤【分析】证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；

如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．【解答】由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，

故结论①正确；

如图①，连接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等边三角形，

∴OO′=OB=4．

故结论②正确；

∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．

在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故结论③正确；

S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，

故结论④错误；

如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．

易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，

则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，

故结论⑤正确．

综上所述，正确的结论为：①②③⑤．

故选A．同步拓展1.（2012•莆田）如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC=3cm，则A′C=cm．．【解答】∵将△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，

∴AA′=2cm，

又∵AC=3cm，

∴A′C=AC-AA′=1cm．故答案为：1．2．（2012•南通）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+；…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于（）A．2011+671 B．2012+671 C．2013+671 D．2014+671【分析】仔细审题，发现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解．【解答】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=，

∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2++1=3+；又∵2012÷3=670…2，

∴AP2012=670（3+）+2+=2012+671．故选B．小结：考点四：投影例6（2012•湘潭）如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（）A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱【答案】B【分析】根据圆柱的左视图的定义直接进行解答即可．【解答】如图所示圆柱从左面看是矩形，故选：B．同步拓展1．（2012•梅州）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是（写出符合题意的两个图形即可）【解答】在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．故答案为：正方形、菱形（答案不唯一）．小结：考点五：几何体的三视图例7（2012•咸宁）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】看哪个几何体的三视图中有长方形，圆，及三角形即可．【解答】A、三视图分别为长方形，三角形，圆，符合题意；

B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；

C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，不符合题意；

D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，不符合题意；故选A．例8（2012•岳阳）如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（）A．主视图改变，俯视图改变B．主视图不变，俯视图不变C．主视图不变，俯视图改变D．主视图改变，俯视图不变【答案】C【分析】主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．【解答】根据图形可得，图①及图②的主视图一样，俯视图不一样，即主视图不变，俯视图改变．故选C．同步拓展1．（2012•随州）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】①正方体的主视图与左视图都是正方形；

②圆柱的主视图和左视图都是长方形；

③圆锥主视图与左视图都是三角形；

④球的主视图与左视图都是圆；故答案为：D．2.（2012•宜昌）球和圆柱在水平面上紧靠在一起，组成如图所示的几何体，托尼画出了它的三视图，其中他画的俯视图应该是（）A．两个相交的圆 B．两个内切的圆C．两个外切的圆 D．两个外离的圆【解答】从上面可看到两个外切的圆，故选C．考点六：判几何体的个数例9（2012•宿迁）如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C．【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可．【解答】由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4．故选C．同步拓展1．（2012•孝感）几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，

第二层应该有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，

所以这个几何体的体积是5．故选：B．2.（2011佛山）如图，一个小立方块所搭的几何体，从不同的方向看所得到的平面图形中（小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数），不正确的是（ ）3.（2012•济宁）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（）A．3个或4个 B．4个或5个 C．5个或6个 D．6个或7个【解答】左视图与主视图相同，可判断出底面最少有3个小正方体，最多有4个小正方体．而第二行则只有1个小正方体．则这个几何体的小立方块可能有4或5个．故选B．小结：考点七：几何体的相关计算例10（2012•荆州）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为cm2．（结果可保留根号）【答案】（75+360）【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．【解答】根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，∵其高为12cm，底面半径为5，

∴其侧面积为6×5×12=360cm2密封纸盒的侧面积为：×5×6×5=75cm2∴其全面积为：（75+360）cm2．故答案为：（75+360）．同步拓展1．（2012•南平）如图所示，水平放置的长方体底面是长为4和宽为2的矩形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于（）A．16 B．24 C．32 D．48【解答】依题意，得长方体的体积=12×2=24．故选B．7．（2012•临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．18cm2B．20cm2C．（18+2）cm2D．（18+4）cm2【解答】根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，

底边边长为2cm，侧棱长是3cm，所以侧面积是：（3×2）×3=6×3=18cm2．故选A．小结：第三部分每课质检选择题1.（2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【】 A． 5 B． 6 C． 11 D． 162.（2012广东佛山3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】3.（2012广东梅州3分）下列图形中是轴对称图形的是【】A．B．C．D．4.（2012广东汕头4分）下列平面图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是【】A．等腰三角形B．正五边形C．平行四边形D．矩形5.（2012广东深圳3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【】6.（2012•重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．7．（2012•丽水）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（）A．① B．② C．⑤ D．⑥8．（2012•玉林）下列基本几何体中，三视图都相同图形的是（）A．

B．

C．

D．

圆柱

三棱柱球长方体10．（2012•永州）