初中数学辅助线专项突破 专题1中点专题（无答案）

.@:第一章中点专题三角形是初中几何的重要内容之一，也是历年中考命题的热点。其中，三角形各边的中点、中线及中位线的有关性质的应用，是中考的必考内容，历年多以计算和证明题的形式出现。我们预计与中点有关的操作性试题和综合性的探究题将是今后几年中考数学的重点题型。方法技巧提炼与中点有关的辅助线，我们总结以下四种类型：类型一见中线，可倍长1.倍长中线或类中线〔与中点有关的线段〕构造全等三角形或平行四边形2.有些几何题在利用“倍长中线〞证完一次全等三角形后，还需再证一次全等三角形，即“二次全等〞.在证明第二次全等时，难点通常会表达在倒角上.常见的倒角方法有：①“8〞字型〔如图1-8〕；②平行线；③180°〔平角；三角形内角和〕；④360°〔周角；四边形内角和〕；⑤小旗子〔三角形外角〕；⑥90°〔互余角〕类型二见等腰三角形，想“三线合一〞等腰三角形底边的中点，可以考虑与顶点连接，用“三线合一〞类型三见斜边，想中线直角三角形斜边的中点，可以考虑构造斜边中线，目的是得到三条等线段和两对等角.类型四见多个中点，想中位线三角形的两边有中点，可以连接这两个中点构造中位线；一边中点，可以在另一边上取中点，连接构造中位线；一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形.精题精讲精练类型一见中线可倍长例题1.如图1-9，在∆ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F,AF=EF，求证：AC=BE.【思路提示】AD是中线，可考虑倍长中线.变式.如图1-10，在∆ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF//AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，假设AD为三角形ABC的角平分线，求证：BG=CF.例题2.如目1-11,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D为BC的中点，点E,F分别为AB,AC上的点,且ED⊥FD,以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？假设能，该三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形？【思路提示】倍长中线DF,造全等三角形变式1.如图1-12，点M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB,∠AMC的平分线分别交AB,AC于点E，F,连接EF.求证：BE+CF>EF.变式2.如图1-13，在△ABC中，点D是BC的中点，DM⊥DN，假如BM2+CM2=DM2+DN2求证：AD2=〔AB2+AC2〕.例题3.〔丰台一模〕ABC和△AED是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，连接EC，取EC的中点M，连接BM和DM.如图1-14〔1〕，假如点D，E分别在边AC，AB上，那么BM，DM的数量关系与位置关系是；将图1-14〔1〕中的△ADE绕点A旋转到图1-14〔2〕的位置，判断〔1〕中的结论是否仍然成立，并说明理由.【思路提示】见到中点可考虑倍长中线证全等，得到线段相等和平行线，再证二次全等即可.检测1：如图1-15，在ABC中，假设AB=10，AC=6，求边上的中线AD的取值范围.检测2：如图1-16，在ABC中，D是BC边上的中点，DE丄DF于点D，DE交AB于点E：，DF交AC于点F，连接EF.求证：BE+CF>EF.类型二见等腰三角形，想“三线合一〞例题4.如图1-17，一副三角板如图放置，等腰直角三角板ABC固定不动，另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边的交点G,H始终在边AB,BC上.〔1〕在旋转过程中线段和CH大小有何关系？证明你的结论.〔2〕假设AB=BC=4cm，在旋转过程中四边形的面积是否改变？假设不变，求出它的值；假设改变，求出它的取值范围.〔3〕假设交点G，H分别在边AB，BC的延长线上，那么〔1〕中的结论仍然成立吗？请画出相应的图形，直接写出结论.【思路提示】见到中点D，而且在等腰直角三角形的底边上，可以想“三线合一〞，再证全等.例题5.如图1-18，点P是等腰RtABC底边BC上一点，过点P作BA，AC的垂线，垂足分别为点E，F,设点D为BC的中点.求证：是等腰直角三角形.【思路提示】欲证明是等腰直角三角形，需证明DE=DF,=90°,故只要证明即可解决.检测1：如图1-19，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E,F分别是AB,AC边上的点，且DE丄DF.〔1〕请说明：DE=DF；〔2〕请说明：BE2+CF2=EF2；〔3〕假设BE=6，CF=8，求DEF的面积.〔直接写结果〕类型三见斜边，想中线例题6.如图1-20，ABC中，假设∠B=2∠C，AD丄BC，E为BC边的中点.求证：AB=2DE.【思路提示】取斜边AC或AB的中点，利用斜边中线性质和中位线性质.例题7.如图1-21，在RtABC中，ACB=90°,点D，E分别是AB,AC的中点，点F在BC的延长线上，且CEF=A.求证：DE=CF.【思路提示】点D，E分别是直角三角形ABC斜边和直角边的中点，利用斜边中线的性质和中位线解题.检测1：如图1-22，在RtABC中，ACB=90°，M是AB的中点，E，F分别是AC，BC延长线上的点，且CE=CF=AB，那么的度数为多少？检测2：如图1-23，在RtACB中，C为直角顶点，ABC=25°，O为斜边中点.将OA绕着点O逆时针旋转〔0°<<180°〕至OP，当BCP恰为轴对称图形时，的值为多少？类型四见多个中点，想中位线例题8.问题一：如图1-24〔1〕，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N.求证：BME=CNE.问题二：如图1-24〔2〕，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF，分别交DC，AB于点M，N，判断的形状，请直接写出结论.问题三：如图1-24〔3〕，在ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，连接GD。假设EFC=60°，判断AGD的形状并证明.【思路提示】见到两个中点，想到中位线;又AB,CD相等不共点，想到可以通过平移转移使它们共端点，这个可由取中点构造中位线实现.例题9.如图1-25，ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到点D，使BD=AB.求证：CD=2CE.【思路提示】点B，E都是中点，可以尝试倍长中线，或构造中位线检测1：如图1-26，在ABC中，点O是重心，BC=10，连接AO并延长交BC于点D，连接并延长交AC