高中数学课件第四章第一节平面向量概念及其线性运算

1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.1.向量的有关概念2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝

.(2)结合律：(a＋b)＋c＝

.b＋a(b＋c)a＋向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

法则a－b＝a＋(－b)三角形向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ＞0时，λa与a的方向

；当λ＜0时，λa与a的方向

；当λ＝0时，λa＝

.λ(μa)＝

；

(λ＋μ)a＝

；

λ(a＋b)＝

.相同相反λμaλa＋μaλa＋λb03.向量a(a≠0)与向量b共线向量a(a≠0)与向量b共线的充要条件为存在唯一一个实数λ,

使

.[思考探究]如何用向量法证明三点A、B、C共线？提示：证明(或或)，即证明与共线，又因为有一公共点，所以三点共线.

b＝λa1.判断下列各命题的真假：(1)向量的长度与向量的长度相等；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(4)两个有公共终点的向量，一定是共线向量；(5)向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；(6)有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为(

)A.2

B.3C.4D.5解析：理解基本概念的内涵，按照定义逐个判定.(1)真命题；(2)假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；(3)真命题；(4)假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；(5)假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；(6)假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.答案：C2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(

)A.AB＝DC

B.AD＋AB＝ACC.AB－AD＝BD

D.AD＋CB＝0解析：由向量减法法则可知AB－AD＝DB.答案：C3.在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD

＝(

)

解析：如图所示，可知AD＝AB＋(AC－AB)＝c＋(b－c)＝b＋c.答案：A4.化简(AB－CD)－(AC－BD)＝

.解析：(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0答案：05.已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则A、B、C、D四点中，一定共线

的三点是

.解析：BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，∴BD与AB共线，又∵有公共点B，∴A、B、D三点共线.答案：A、B、D

1.着重理解向量以下几个方面：(1)向量的模；(2)向量的方向；(3)向量的起点和终点；(4)

共线向量；(5)相等向量.2.当判定两个向量的关系时，特别注意以下两种特殊情况：(1)零向量的方向及与其他向量的关系；(2)单位向量的长度及方向.

下列命题正确的是(

)A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边

形的四个顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行[思路点拨][课堂笔记]由于零向量与任意向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，也不可能是个平行四边形，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任意向量都共线，可得a与b共线.[答案]

C1.用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，

除利用向量的加、减法、数乘运算外，还应充分利用平面

几何的一些定理.2.在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运

用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，

相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量

转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.[特别警示]若A为BC的中点，则OA＝(OB＋OC)(O为平面上任意一点).△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a、b表示向量AE、BC、DE、DN、AM、AN.[思路点拨][课堂笔记]

BC＝AC－AB＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE＝BC＝(b－a).又AM是△ABC的中线，DE∥BC，得DN＝DE＝(b－a).又AM＝AB＋BC＝(a＋b).在例2题图中，连结C、D交AM于点P，若＝λ，

求λ、μ.解：＝又＝b，1.向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，

使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与其他向量

共线，要注意待定系数法和方程思想的运用.2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向

量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公

共点时，才能得出三点共线.

设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.[思路点拨][课堂笔记]

(1)∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴、共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.

高考对本节内容的常规考法是：以三角形或平行四边形为载体，以选择题或填空题为呈现形式，考查向量的概念及简单的线性运算.09年天津高考则以填空题的形式考查了向量线性运算的几何意义，是高考命题的一个新方向.

[考题印证](2009·天津高考)在四边形ABCD中，＝＝(1,1)，

则四边形ABCD的面积为

.【解析】由＝＝(1,1)知ABDC.又知四边形ABCD为菱形，且AB＝AD＝，又∵＝3，∴2＋2·＝3，∴cos∠ABC＝，∴∠ABC＝60°，BD＝在△ABD中，由余弦定理cos∠BAD＝故sin∠BAD＝，∴SABCD＝【答案】

[自主体验]点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比为

.解析：如图，∵故B，C，M三点共线.设则四边形AEMD是平行四边形.易知于是点M到直线AB的距离是点C到直线AB的距离的.故△ABM与△ABC的面积之比为.故填，另外，本题也可以通过＝1，利用三点共线的充要条件得到B，C，M三点共线.答案：1.(2009·山东高考)设P是△ABC所在平面内的一点，＋则(

)

解析：法一：由向量加法的平行四边形法则易知，与

的和向量过AC边中点，长度是AC边中线长的二倍，结合已知条件可知P为AC边中点，故＝0.法二：∵∴即＝0.答案：B2.平面向量a，b共线的充要条件是(

)A.a，b方向相同

B.a与b中至少有一个为零向量C.∃λ∈R，使b＝λa

D.存在不全为零的实数λ1、λ2，使λ1a＋λ2b＝0解析：A中，a，b同向则a，b共线，但a，b共线则a，b不一定同向.B中，若a，b两向量中至少有一个为零向量，则a，b共线，但a，b共线时，a，b不一定是零向量，如a＝(1,2)，b＝(2,4)，C中，当b＝λa时，a与b一定共线，但a，b共线时，若b≠0，a＝0，则b＝λa不成立.答案：D3.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a

－3b，则四边形ABCD的形状是(

)A.矩形B.平行四边形C.梯形D.以上都不对解析：由已知＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2.∴，又与不平行，即AD∥BC，AB不平行CD，∴四边形ABCD是梯形.答案：C4.(2010·黄冈模拟)设a，b是两个不共线的向量，若＝2a＋kb，＝a＋b，＝2a－b，且A、B、D三点共线，

则实数k的值等于

.解析：由于A、B、D三点共线，故∥，又＝2a＋kb，＝－＝a－2b，故由2a＋kb＝λ(a－2b)可解得k＝－4.答案：－45.如图，在△ABC中，点O是BC的中

点