全国高考文科数学试题及天津卷

2015年天津卷高考数学试卷（文科）一、选择题1.已知全集U={1,2,3,4,5,6}，会合A{2,3,5}，会合B={1,3,4,6}，则会合ACUB=(A){3}(B){2,5}(C){1,4,6}(D){2,3,5}x202.设变量x,y知足拘束条件x2y0，则目标函数的最大值为z3xyx2y80(A)7(B)8(C)9(D)143.阅读右侧的程序框图，运转相应的程序，则输出i的值为(A)2(B)3(C)4(D)54.设xR，则“1<x<2”是“|x2|1”的(A)充分而不用要条件(B)必需而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不用要条件5.已知双曲线x2y21(a0,b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的a2b2x2y23渐近线与圆2相切，则双曲线的方程为(A)x2-y2=1(B)x2-y2=1913139(C)x2-y2=1(D)x2-y2=133如图，在圆O中，M，N是弦AB的三均分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为8(B)3(C)105(A)(D)3327.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数，记af(log0.53),bf(log25),cf(2m)，则a,b,c,的大小关系为1(A)a<b<c(B)c<a<b(C)a<c<b(D)c<b<a8.已知函数2|x|,x23f(2x)，则函数yf(x)g(x)的零点的f(x)(x2)2,x，函数g(x)2个数为(A)2(B)3(C)4(D)5二.填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。9.i是虚数单位，计算12i的结果为．i一个几何体的三视图以以下图（单位：m），则该几何体的体积为．11.已知函数f(x)axlnx,x(0,)，此中a为实数，fx为fx的导函数，若f13，则a的值为．12.已知a0,b0,ab8,则当a的值为时log2alog2(2b)获得最大值。13.在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，AB2,Bc1,ABC60,点E和点F分别在线段BC和CD上，且BE2BC,DF1DC,则AEAF的值为．3614.已知函数f(x)sinxcosx(0),xR,若函数fx在区间,内单调递加，且函数fx的图像对于直线x对称，则的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分。15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采纳分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加竞赛。（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打竞赛。（ⅰ）用所给编号列出全部可能的结果；（ⅱ）设A为事件“编号为A5,A6的两名运动员最罕有一人被抽到”，求事件A发生的概率。216.（13分）△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，bc2,cosA1,4（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos2A的值。617.（13分）如图，已知AA1平面ABC，BB1//AA1,ABAC3，BC25,AA17,，BB127,点E,F分别是BC，AC的中1点，（Ⅰ）求证：EF//平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1平面BCB1。（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小。18.已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn,n?N*,求数列{cn}的前n项和.19.已知椭圆x2+y25，a2b2=1(a>b>0)的上极点为B，左焦点为F,离心率为5（Ⅰ）求直线BF的斜率；（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与x轴交于点M，|PM||MQ|.（ⅰ）求l的值；3（ⅱ）若|PM|sinBQP759，求椭圆的方程.20.已知函数f(x)4xx4,xR,此中nN*，且n2.（Ⅰ）求f(x)的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证：对于随意的正实数x，都有f(x)g(x);a1（Ⅲ）若方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根且，求证：3x1，x2，x1<x2x2x14.34参照答案一、选择题：1.B2.C3.C4.A5.D6.A7.B8.A二、填空题：9.i10.811.3312.413.2914.218三、解答题：（15）本小题主要察看分层抽样，用列举法计算随机事件所含的基本领件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。察看运用概率、统计知识解决简单实诘问题的能力。满分13分。（Ⅰ）解：应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2（Ⅱ）（ⅰ）解：从6名运动员中随机抽取2人参加双打竞赛的全部可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A4,A5},{A5,A6},{A4,A5},{A5,A6},共15种。（ⅱ）解：编号为A5和A6的两名运动员中最罕有1人被抽到的全部可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6}，共9种93所以，事件A发生的概率P(A)5本小题主要察看同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的余弦公式以及正弦定理、余弦定理、余弦定理等基础知识。察看基本运算求解能力。满分13分。（Ⅰ）解：在115ABC中，由cosA，可得sinA44由SABC1315，得bc24，bcsinA2又由bc2，解得b6,c45由a2b2c22bccosA，可得a8由ac15sinAsinC，得sinC8（Ⅱ）解：cos(2A)cos2Acossin2Asin6663(2cos2A1)12sinAcosA15732216本小题主要察看直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。察看空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。（Ⅰ）证明：如图，连结A1B在ABC中，因为E和F分别是BC和AC的中点，所以11EF//BA1又因为EF平面A1B1BA，所以EF//平面A1B1BA（Ⅱ）证明：因为ABAC,E为BC中点，所以AEBC因为AA1平面ABC,BB1//AA1，所以BB1平面ABC，进而BB1AE又因为BCBB1B，所以AE平面BCB1，又因为AC平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1（Ⅲ）解：取BB的中点M和BC的中点N，连结AM,AN,NE1111因为N和E分别为BC1和BC的中点，所以NE//B1B,NE1B1B，2故NE//A1A，且NEA1A，所以A1N//AE，且A1NAE又因为AE平面BCB1，所以A1N平面BCB1，进而A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角。在ABC中，可得AE2，所以A1NAE26因为BM//AA1,BMAA1，所以AM1//AB,AM1AB，又由ABBB1，有AM1BB1在RtA1MB1中，可得A1B1B1M2A1M24在RtA1NB1中，sinA1N1A1B1N30A1B1N，所以A1B12所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30本小题主要察看等差数列、等比数列及其前n项和公式等基础知识。察看数列乞降的基本方法和运算求解能力。满分13分。（Ⅰ）解：设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q0由已知，有2q23d2,消去d，整理得q42q280q43d10,又因为q0，解得q2，所以d2所以数列{an}的通项公式为an2n1,nN*；数列{bn}的通项公式为bn2n1,nN*（Ⅱ）解：由（Ⅰ）有cn(2n1)2n1，设{cn}的前n项和为Sn，则Sn120321522...(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523...(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn12223...2n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)2n3所以，Sn(2n3)2n3,nN*本小题主要察看椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识。察看用代数方法研究圆锥曲线的性质。察看运算求解能力，以及用方程思想和化归思想解决问题的能力。满分14分。（Ⅰ）解：设F(c,0)，由已知离心率c5及a2b2c2，可得a5c,b2ca57又因为B(0,b),F(c,0)，故直线b02cBF的斜率k(c)20c（Ⅱ）设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM)（ⅰ）解：由（Ⅰ）可得椭圆的方程为x2y21，直线BF的方程为y2x2c，将直线方5c24c2程与椭圆方程联立，消去y，整理得3x25cx0，解得xP5c1x3因为BQBP，所以直线BQ的方程为y2c，与椭圆方程联立，消去y，整理得221x240cx0，解得xQ40c21又因为|PM|0，可得|xMxP||xP|7，及xM|xQxM||xQ|8|MQ|（ⅱ）解：由（ⅰ）有|PM|7，所以|PM|77，即|PQ|15|PM|，|MQ|8|PM||MQ|78157又因为|PM|sin75BQP，9所以|BP||PQ|sinBQP15|PM|sinBQP5573又因为yP2xP2c4c，所以|BP|(05c)2(2c4c)255c，3333所以55c55，得c133所以，椭圆方程为x2y214本小题主要察看导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识。察看函数思想、化归思想，察看综合分析问题和解决问题的能力。满分14分。（Ⅰ）解：由f(x)4xx4，可得f(x)44x3当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递加；8当f(x)0，即x1时，函数f(x)单调递减所以，f(x)的单调递加区间为(,1)，单调递减区间为(1,)1（Ⅱ）证明：设点P的坐标为(x0,0)，则x043,f(x0)12，曲线yf(x)在点P处的切线方程为yf(x0)(xx0)，即g(x)f(x0)(xx0)令函数F(x)f(x)g(x)，即F(x)f(x)f(x0)(xx0)，则F(x)f(x)f(x0)因为f(x)4x34在(,)上单调递减，故F(x)在(,)上单调递减.又因为F(x0)0，所以当x(,x0)时，F(x)0，当x(x0,)时，F(x)0，所以F(x)在(,x0)上单调递加，在(x0,)上单调递减，所以对于随意的实数x，F(x)F(x0)0，即对于随意的实数x，都有f(x)g(x).1a1g(x)12(x43