4-电路的瞬态分析解析

第4章电路的暂态分析4.1暂态电路的基本概念和换路定则4.2RC电路的暂态响应4.3一阶电路暂态分析的三要素法2.瞬态电路中的基本概念稳态：在给定条件下，电流和电压已到达某一稳态值（对沟通而言是指其幅值、频率稳定）。瞬态：电路由一个稳态过渡到另一个稳态须要阅历的过程。4.1暂态电路的基本概念和换路定则1.过渡过程：从一种稳定状态过渡到另一种新的稳定状态须要阅历的过程。4.1.1基本概念电路状态发生变更时，如电路接入电源、从电源断开、电路参数的变更等等，统称为换路。3.换路：S未动作前,原稳态：S接通电源后，进入另一稳态：i=0,uC=0i

=0，uC=USS+–uCUSRCiS+–uCUSRCiuCtt1USO初始状态过渡状态新稳态S+–uCUSRCi产生过渡过程的电路及缘由?无过渡过程I电阻电路t=0UR+_IK电阻是耗能元件，其上电流随电压按比例瞬时变更，不存在过渡过程。Ut电容为储能元件，它储存的能量为电场能量,换路引起电容中电场能发生变更，电路中将会出现过渡过程。电容电路因为能量的存储和释放须要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。UKR+_CuC电感电路电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，换路引起电感中磁场能发生变更，电路中将会出现过渡过程。因为能量的存储和释放须要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。KRU+_t=0iLt结论含有储能元件（L、C）的电路，在换路时存在过渡过程，没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡过程。电路中的u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时u、i都处于短暂的不稳定状态，所以过渡过程又称为电路的暂态过程。（2）激励与响应激励：将电路中由电源、信号源供应的电流或电压叫做激励。又可称为输入。响应：电路在外部激励的作用下，或者在内部储能的作用下产生的电压和电流通称为响应。又可称为输出。依据产生响应的缘由不同，分为：零输入响应、零状态响应、全响应依据激励信号的不同，分为：阶跃响应、正弦响应、脉冲响应3.探讨暂态过程的目的相识驾驭这种物理现象的规律。4.分析方法(1)数学分析经典法，欧姆定律，基尔霍夫定律既充分利用暂态过程的特性（电子技术中常用暂态现象改善波形及产生特定的波形）又预防它产生的危害（如在电路接通、断开时，会产生过电压（流）现象，从而使电气设备损坏）(2)试验分析利用示波器来视察各个量随时间而变更的规律。本章主要分析RC、RL一阶线性电路（仅含有一个储能元件（电容或电感）或经等效简化后只含一个储能元件的电路）的瞬态过程。只限于阶跃激励。通过本章的学习，应对线性电路的瞬态具有初步的理论基础。储能元件电容：用来表征电路中电场能储存这一物理性质的志向元件。电容器充电后，两极板间便产生电压。通过试验可以证明，电容器极板上储积的电荷q与外加电压u成比例,若电容元件上电压的参考方向如图所示，即令1电容C-i(t)q(t)+u(t)式中C为正值常数，称为电容。电容单位为法拉(法，F)q—u特性曲线（库伏特性）如图所示。quq=Cu库伏特性曲线02.伏安关系(VCR)(1)从电荷变更的角度描述VCR(i-u)电流i(t)与电压u(t)为关联参考方向，如图所示，则：+q-qiCu3.电容电压的连续性质在有限电流的前提下电容电压不能跃变电容电压的跃变则必定伴有无限大的电容电流4.电容的贮能(1)电容的功率u、i为关联参考方向时，电容的瞬时功率为是时间的函数。(2)电容的贮能及公式在时间间隔[t0，t]内，电压由u(t0)变到u(t)，电容元件吸取的能量为电容元件在任一时刻t的贮能为贮能公式在任一时刻，电容元件的电场能量与电容电压的平方成正比。2.电感电感：能储存磁场能量的实际电路元件。线性电感元件：志向元件，其磁链(t)和电流i(t)间具有线性关系(t)=Li(t)式中L为正值常数，称为电感。单位为亨利(亨，H)Li(t)(t)+-u(t)(t)和i(t)的参考方向符合右手螺旋法则。—i特性曲线（韦安特性）如图所示。i=Li韦安特性曲线02.伏安关系(VCR)(1)u表示为i的函数当电压（电流）的参考方向与磁链的参考方向符合右手螺旋法则时，可得：电感电压的大小与电流的变更律成正比。电感对直流起着短路的作用（电感短直，电容隔直）。电感元件是动态元件。Li(t)(t)+-u(t)4.电感的贮能(1)电感的功率u、i为关联参考方向时，电感的瞬时功率为是时间的函数。(2)电感的贮能及公式在时间间隔[t0，t]内，电流由i(t0)变到i(t)，电感元件吸取的能量为贮能公式在任一时刻，电感元件的磁场能量与电感电流的平方成正比。电感元件在任一时刻t的贮能为3.电容、电感元件的串联与并联(1)电容元件的串联与并联电容元件的串联u+-CeqiC1C2Cniu1+-u2+-un+-+-u电容元件的并联i1i2inC1C2Cni+-uCeqi+-u(2)电感元件的串联与并联电感元件的串联电感元件的并联L1L2Lniu1+-u2+-un+-+-uu+-Leqiii1i2inL1L2Ln+-uLeqi+-u一、换路电路的接通、切断、短路、电压突变、电路参数变更等都称为换路。t=0

t=0的前一瞬间t=0+

t=0的后一瞬间t=0换路瞬间二、换路定律 瞬态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造成的。因为任何物质在确定的稳态下，都具有确定的或确定变更形式的能量，当条件变更，能量随着变更，但是能量的积累或衰减须要确定时间。例如，电动机的n不能跃变，这是因为它的动能不能跃变。 同理，电路的暂态过程是由于储能元件的能量不能跃变而产生的。4.1.2换路定律uC

(0+)=uC

(0)1.电感电流iL

不能跃变依据：换路时，电感元件中储存的磁场能量WL=1/2LiL2

不能突变。iL

(0+)=iL

(0)2.电容电压u

C不能跃变依据：换路时，电容元件中储存的电场能量WC=1/2CuC

2

不能突变。注：电阻R为非储能元件，其iR、u

R均可突变； 另外，iC、uL均可突变。求初始值的一般方法：(1)由换路前电路求uC(0)和iL(0)；(2)由换路定则，得uC(0+)和iL(0+)；(3)作0+等效电路：(4)由0+等效电路求其他的u(0+)、i(0+)。电容用电压为uC(0+)的电压源替代；电感用电流为iL(0+)的电流源替代。依据换路定则，可确定t=0+时的电路中的电压和电流之值，即暂态过程的初始值。三、电路初始值的确定例1.求

uC

(0+),iC(0+).t=0时打开开关S.由换路定则：uC

(0+)=uC

(0)=8V0+等效电路：+10ViiCuCS10k40k+C解：+10Vi(0+)iC(0+)8V10k+例2.t=0时闭合开关S.求uL(0+).iL(0+)=iL(0)=2A0+等效电路：10VS14iLLuL+–解：10V14iL(0+)uL(0+)+–留意：例3.0+等效电路：iL(0+)=iL(0)=ISuC(0+)=uC(0)=RISuL(0+)=uC(0+)=RISiC(0+)=iL(0+)uC(0+)/R=ISIS=0求iC(0+),uL(0+).S(t=0)+–uLCuCLISRiL+–+–uL(0+)uC(0+)R+–iC(0+)iL(0+)解：结论有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生变更时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数变更等）存在过渡过程；没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡过程。电路中的u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时u、i都处于短暂的不稳定状态，所以过渡过程又称为电路的暂态过程。uC

(0+)=uC

(0)1.电感电流iL

不能跃变依据：换路时，电感元件中储存的磁场能量WL=1/2LiL2

不能突变。iL

(0+)=iL

(0)2.电容电压u

C不能跃变依据：换路时，电容元件中储存的电场能量WC=1/2CuC

2

不能突变。注：电阻R为非储能元件，其iR、u

R均可突变； 另外，iC、uL均可突变。4.2RC电路的暂态响应本节将通过只含一个电阻和电容的最简洁RC电路来分析电容的充放电规律。用经典法分析电路的瞬态过程，就是依据激励（电源电压或电流），通过求解电路的微分方程以得出电路的响应（电压和电流）。

uC

(0)=U0解答形式

uC(t)=Aept特征方程RCp+1=0S(t=0)+–uCRCi+–uR4.2.1RC电路的零输入响应一、零输入响应(Zeroinputresponse)：激励(电源)为零，由电容元件的初始状态uC(0+)所引起的响应。探讨RC电路的零输入响应，就是探讨电容的放电规律初始值uC

(0+)=uC(0)=U0

A=U0=RC,uC变更的快慢由时间常数确定。二、时间常数I0tiCOU0tuCO(2)从理论上讲t时,电路才能达到稳态.但事实上一般认 为经过35的时间,过渡过程结束,电路已达到新的稳态。C储存的电荷愈多R放电电流愈小t02345U00.368U00.135U00.05U00.02U00.007U0=RCuC衰减（或变更）得越慢(1)每经过时间

,uC衰减到原值的36.8%放电愈慢U0tuC00.368U01

2

零状态响应(Zerostateresponse)：指换路前电容元件未储有能量，uC(0)=0，在激励(电源)作用下产生的电路的响应。探讨RC电路的零状态响应，就是探讨电容的充电规律。(2)求特解（与已知函数有相同的形式，可取换路后的稳态值）uC'=US(1)列方程：(t≧0时)uC(0)=0非齐次线性常微分方程解答形式为：补函数特解S(t=0)+–uCUSRCi+–uR4.2.2RC电路的零状态响应uC

(0+)=A+US=0

A=US(3)求补函数（对应齐次方程的通解）uC”(4)求通解(5)确定常数USUSuC'uC"稳态重量暂态重量uctOtiO综上所述，可将计算线性电路暂态过程的步骤归纳如下：(1)按t≧0时电路列微分方程；(2)求微分方程的特解，即稳态重量；(3)求微分方程的补函数，即暂态重量；(4)按换路定则确定暂态过程的初始值，求积分常数A。 对较困难的电路的暂态分析，还可应用戴维宁定理将换路后的电路化简为一个简洁电路，而后利用上述由经典法得出的式子。(1)将储能元件划出，而将其余部分（线性有源二端网络）看作一个等效电源；(2)求等效电源的Uoc和Ro；(3)求时间常数=RoC；(4)将数据代入式子。例.+–uCC+UR1R2iCi2i1U=9V，R1=6k，R2=3k，C=1000pF，uC(0)=0。求t≧0时的uC。解法1:应用支路电流法列方程解之得其通解为其中解法2:应用戴维宁定理将换路后的电路等效为一简洁电路。ROUO+CuC+RO=R1//R2=2k+–uCC+UR1R2iCi2i1全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应。uC'=US全解为

uC(t)=uC'+

uC"非齐次方程uC"=Aept=RCuC

(0+)=A+US=U0A=U0US(t>0)稳态重量暂态重量uC(0)=U0S(t=0)+–uCUSRCi+–uR4.2.3RC电路的全响应全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应这是叠加原理在电路暂态分析中的体现。在求全响应时，可将uC(0+)看作一电压源小结 只含一个储能元件的线性电路，不论简洁或困难，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。若初始值为4.3一阶电路暂态分析的三要素法电路响应的一般式稳态重量暂态重量则则4.3.1三要素的定义与公式由于零输入响应和零状态响应是全响应的特殊状况，因此，三要素公式适用于求一阶电路的任一种响应，具有普遍适用性。用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：确定初始值f(0+)

确定稳态值f(∞)求时间常数τ

用三要素法求解直流电源作用下一阶电路的响应，其求解步骤如下：1.确定初始值f(0+)

初始值f(0+)是指任一响应在换路后瞬间t=0+时的数值，与本章前面所讲的初始值的确定方法是一样的。先作t=0-电路。确定换路前电路的状态uC(0-)或iL(0-),这个状态即为t＜0阶段的稳定状态，因此，此时电路中电容C视为开路，电感L用短路途代替。作t=0+

电路。利用刚换路后一瞬间的电路确定各变量的初始值。若uC(0+)=uC(0-)=U0，iL(0+)=iL(0-)=I0，在此电路中C用电压源U0代替，L用电流源代替。电容、电感元件在t=0时的电路模型若uC(0+)=uC(0-)=0或iL(0+)=iL(0-)=0，则C用短路途代替，L视为开路。可用图说明。作t=0+电路后，即可按一般电阻性电路来求解各变量的u(0+)、i(0+)。2、确定稳态值f(∞)作t=∞电路。瞬态过程结束后，电路进入了新的稳态，用此时的电路确定各变量稳态值u(∞)、i(∞)。在此电路中，电容C视为开路，电感L用短路途代替，可按一般电阻性电路来求各变量的稳态值。3、求时间常数τRC电路中，τ=RC；RL电路中，τ=L/R；其中，R是将电路中全部独立源置零后，从C或L两端看进去的等效电阻，(即戴维南等效源中的R0)。例1图(a)所示电路中，t=0时将S合上，求t≥0时的i1、iL、uL响应。

解(1)先求iL(0-)。作t=0-电路，见图(b)，电感用短路途代替，则：(2)求f(0+)。作t=0+电路，见图(C)图中电感用4/3A的电流源代替，流向与图(b)中iL(0-)一样。因为题意要求i1、iL、uL，所以相应地需先求i1(0+)和uL(0+)。椐KVL，图(C)左边回路中有：

得：图(C)右边回路中有：(2)求f(0+)。作t=0+电路，见图(C)3i1(0+)+6[i1(0+)-iL(0+)]=12(3)求f(∞)。作t=∞电路如图(d)，电感用短路途代替.则:uL(∞)=0

(4)求τ。从动态元件L两端看进去的戴维南等效电阻为：（5）代入三要素公式t≥0t≥0t≥0得：i1(t)、iL(t)及uL(t)的波形图如图所示。电路响应的变更曲线，都是按指数规律变更的（增长或衰减），如下图：f()tf(t)OOf(0+)=0f()tf(t)Of(0+)f(0+)≠0f(0+)tf(t)OOf()=0f()tf(t)OOf(0+)f()≠0例2.已知：t=0时合开关S。求换路后的uC(t)。解tuC

(V)20.66701A213F+uCS留意：1.t的求法：t=ROC，RO为由C两端看进去的等效电阻,利用除源等效法将换路后电路中的电源除去。同一电路只有一个时间常数t，各响应的变更规律是相同的。2.三要素法只适用于一阶线性电路，对二阶或二阶以上电路不适用（二阶或二阶以上电路的响应将不是指数规律，例如以下的波形）。tiOT/2

小结(1)含有动态元件L、C的电路是动态电路，其伏安关系是微分或积分关系。电容C:电感L:换路定律是指：电容电压和电感电流不能跃变：

即

uC(0+)=uC(0-)

iL(0+)=iL(0-)（3）零输入响应：当外加激励为零，仅有动态元件初始储能所产生所激发的响应。

零状态响应：电路的初始储能为零仅由输入产生的响应。

全响应：由电路的初始状态和外加激励共同作用而产生的响应，叫全响应。（4）求解一阶电路三要素公式为：iL

(0+)=iL(0)=35/0.2=175A=I0uV(0+)=875kV!例3.现象：电压表烧坏!L=0.4HVRV5k35VS(t=0)iLuV+–R=0.2小结：1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应都是一个指数衰减函数。2.衰减快慢取决于时间常数.RC电路：=RC,RL电路：=L/R3.同一电路中全部响应具有相同的时间常数。L=0.4H35VS(t=0)iLR=0.2预防措施：D在线圈两端并接一低值泄放电阻R’或用二极管供应放电回路。t=1s时开关S合向1,

t=2s时开关S合向2