《风险理论》第1章效用理论与保险课件

风险理论教材：

R.卡尔斯，M.胡法兹等《现代精算风险理论》，科学出版社，2005.参考书：吴岚，王燕:《风险理论》，财经出版社，2006肖争艳:《风险理论》，人大，2008邹公明，范兴华：《风险理论》，上海财大，2006风险理论教材：风险理论与保险精算概述《风险理论》--准精算师考试科目风险理论与保险精算概述《风险理论》--准精算师考试科目一、风险的概念

人们习惯用“风险”这个词来表达可能发生的不利事件和各种灾害。但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每个人对风险这个概念的理解和描述也各不相同。风险是“无法预知”或“未卜先知”的。

一、风险的概念

讨论题根据自身经历，对风险进行描述；2.试想，如果人类能具备预知未来的能力，世界会是什么样子？我们的生活又会是什么样子？讨论题二、风险的三要素

风险与三个因素直接有关：自然状态的不确定性（人们不能预知的或无法控制的自然状态—风险的客观或外部原因）；人的主观行为的不确定性（当事人或决策者的行为—风险的主观或内部原因）；两者结合所蕴涵的潜在后果。二、风险的三要素风险与三个因素直接有关：三、风险的保险学定义在保险学中，风险由两部分构成：潜在不利后果的严重程度如何；发生不利后果的可能性多大。风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。三、风险的保险学定义在保险学中，风险由两部分构成：

四、保险业务分类寿险：以被保险人的生命为标的，以生死为事故。

寿险的保险期相对较长，损失分布的规律（生命表）也比较稳定。非寿险：除了寿险以外的一切保险业务，如财物险、车辆险等。

非寿险多为短期保险，损失情况五花八门，损失分布规律也比较复杂。

四、保险业务分类五、保险精算的基本问题

精算学以现代数学和统计学为基础,对保险经营中的某些问题进行定量化的分析和研究,为保险公司进行科学决策和提高管理水平提供依据和方法。精算师要解决的几个基本问题：（1）保费设计；（2）准备金评估；（3）再保险设计；（4）资产负债与偿付能力管理。五、保险精算的基本问题精算学以现代数学和统计学为基础中国精算师资格考试中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。准精算师考试目的在于考察考生对保险精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务，考试课程共设9门，均为必考课程。中国精算师资格考试中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试科目01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计03复利数学04寿险精算数学05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论06生命表基础07寿险精算实务08非寿险精算数学与实务09综合经济基础准精算师资格考试科目01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运课程内容第一章效用理论与保险第二章个体风险模型第三章聚合风险模型第四章破产理论第五章保费原理课程内容第一章效用理论与保险第一章效用理论与保险第一章效用理论与保险§1.1引言

本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保险公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、准备金提留、再保险自留额安排等问题的基础。然而这些讨论都是基于对理赔风险的正确把握进行的，这仅是问题的一个方面。本章是从另外的角度，也就是从决策者的主观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人或被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。并用效用函数作为描述和度量决策者偏好和风险态度的工具。§1.1引言本书第二至第四章讨论的个体效用理论的几个基本假设效用理论的几个基本假设风险态度：对待风险的态度可以分为三种：风险厌恶、风险偏好和风险中性。例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什么也得不到。B：100%的机会得到10元。选择A？或B？选择A：偏好风险；选择B

：厌恶风险风险态度：对待风险的态度可以分为三种：风险厌恶、风险偏好和风例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会失去10元。选择A？或B？选择B：厌恶风险选择A

：偏好风险例：我们有这样的二种选择：选择B：厌恶风险§1.2期望效用模型§1.2期望效用模型如果B非常小，那么P几乎不会大于0.01B；如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5稍大一些；如果B非常大，那么P就会比0.01B大很多。

结论：因为这么大的损失一但发生可能导致破产，因此可以付出比期望值高的费用为风险投保。如果B非常小，那么P几乎不会大于0.01B；结论：因为这么《风险理论》第1章效用理论与保险课件边际效用递减原理

效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原理和最大期望效用原理。边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随着其绝对数量的增加而逐渐降低。讨论题：举例说明上述原理的正确性。边际效用递减原理

效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣边际效用原理的主要涵义边际效用原理的主要涵义最大期望效用原理

最大期望效用原理

《风险理论》第1章效用理论与保险课件《风险理论》第1章效用理论与保险课件效用函数的确定人们在做某个决策时，不自觉地使用这效益函数，因此效用函数是客观存在的，但却很难给出一个明确的解析式。可以向决策人提出大量的问题，通过他们对这些问题的回答来决定该决策人的效用函数。如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费P？”效用函数的确定人们在做某个决策时，不自觉地使用这效益函数，因《风险理论》第1章效用理论与保险课件效用函数的基本特征效用函数的基本特征《风险理论》第1章效用理论与保险课件Jensen不等式的证明Jensen不等式的证明根据Jensen不等式确定保费（1）被保险人方面：根据Jensen不等式确定保费（1）被保险人方面：《风险理论》第1章效用理论与保险课件（2）保险人方面：（2）保险人方面：《风险理论》第1章效用理论与保险课件成交！成交！《风险理论》第1章效用理论与保险课件《风险理论》第1章效用理论与保险课件在后面式子的两边同时取期望，得到在后面式子的两边同时取期望，得到因此，风险X的最大保费近似为使用风险厌恶系数，则对风险X所需最大保费近似为由上式可见，均值-方差保费原理是合理的。将（1.13）与（1.14）代入（1.10），得到因此，风险X的最大保费近似为使用风险厌恶系数，注意到用替换时，并没有改变。从（1.18），我们可以看到风险厌恶系数真正反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，需要支付的保费也越大。

注意到用替换时，并没有改变。从（1.18）§1.3效用函数族线性效用函数的风险厌恶系数是0；指数效用函数的风险厌恶系数是；其它效用函数的风险厌恶系数均可表示为

。§1.3效用函数族线性效用函数的风险厌恶系数是0；-例1.3.1（指数保费）假设一保险人使用参数为的指数效用函数，对于风险X，最小保费应为多少？

a-例1.3.1（指数保费）假设一保险人使用参数为的把代入均衡方程（1.11）得其中是X的矩母函数，代表风险厌恶系数。指数保费随着增加而增加，而与保险人当前的财富无关。更有意义的是，

被保险人的最大保费的表达同，但是其使用的参数会有所不同。把代入均衡方程（1.11矩母函数一、定义：设X为随机变量，如果以下数学期望存在，则称它为X的矩母函数，记为。二、矩母函数的性质（1）若随机变量X的各阶中心矩存在，则（2）随机变量的期望值与方差和矩母函数具有下列关系上式中称为累积量母函数。（3）如果随机变量X和Y相互独立，则矩母函数一、定义：常用分布的矩母函数分布矩母函数注解BinomialB(n,p)

PoissonPois(λ)

UniformU(a,b)

Normal

N(μ,σ2)

GammaΓ(k,θ)

ExponentialExp(λ)

Chi-squareχ2k

常用分布的矩母函数分布矩母函数注解BinomialB(n,如果被保险人的效用函数是参数为的指数效用函数，则最大保费为

例：假设损失X服从参数为的指数分布，令，则如果被保险人的效用函数是参数为的因此被保险人愿意在纯保费之上附加相当数量的额外保费。138.6>100（均值）因此被保险人愿意在纯保费之上附由例1.2.4中的近似公式(1.18)得显然，近似表达式(1.22)随递增。如果X是方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的保费也是随递增的，具体证明如下。令由Jensen不等式知由例1.2.4中的近似公式(1.18)得显然，近似表达式(1取则且取则对任意，通过对上述不等式两边取对数，得由此证明，指数保费随着厌恶系数的增加而增加。特别地，在和两个极端情况，有对任意，通过对上述不等式两边取对数，得由《风险理论》第1章效用理论与保险课件由方程(1.10)，发生损失X之后的期望效用为以及支付保费P之后的效用为由方程(1.10)，发生损失X之后的期望效用为以及支付保费根据（1.10），（1.28）与（1.29）右端应当相等，由此求得最大保费为：容易验证，，故保费将随着财富的增加，且。根据（1.10），（1.28）与（1.29）右端应当相等，由例1.3.3（不可保的风险）某决策者使用风险厌恶系数为的指数效用函数，他想对分布为的风险进行投保，其中表示参数为a,b的伽玛分布．确定并证明，何时，此时说明了什么？分布的矩母函数为

，例1.3.3（不可保的风险）某决策者使用风险厌恶系数为因为,我们有.因而所以，计算出的保费大于纯保费。如果，则，这表明决策者愿意支付任何有限的保费。按照效用理论，如果风险厌恶系数为，那么承保该风险的保险人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因为。对于保险人来说，这种风险是不可保的。因为Allais悖论考虑下面可能的资本收益很多人会选择X,其实，由此可见期望效益并不总能反映决策者的行为。完全没有风险的状态与期望效用指标相比，对决策着可能更有吸引力。Allais悖论考虑下面可能的资本收益§1.4停止损失再保险的最优性再保险合同通常只承保保险人的一部分风险。停止损失(再）保险承保损失超出指定免赔额的超额部分。它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假设)，则理赔支付为§1.4停止损失再保险的最优性再保险合同通常只对于停止损失保险，其纯保费为，称为停止损失保费，记为在离散情形，为阶梯函数，其在x处的跳为；在连续情形，有导函数两种情形下的停止损失保费都可由下式给出对于停止损失保险，其纯保费为，现在的问题是：对于保险人来说，应该对损失X设置多大的免赔额d？在再保险问题上，就是保险人应该预留多大的自留额？这是再保险的一个核心问题。现在的问题是：对于保险人来说，应该对损失X设置多大的免赔额d免赔额（自留额）的确定定理：（停止损失再保险期望效用最大）若风险厌恶型的投保人愿意付出的保费为P，则对他而言，具有最大期望效用的保险形式是停止损失再保险，当免赔额满足下列方程时，则有免赔额（自留额）的确定定理：（停止损失再保险期望效用最大）若证明：由于投保人是风险厌恶型的，，因此上面最后一个不等式成立，可分三种情况讨论：（1），不等式以等号成立；（2），，不等式也以等号成立；（3），，，，最后的不等式成立。证明：由于投保人是风险厌恶型的，，因此上对前面的不等式两侧取数学期望，得定理得证。对前面的不等式两侧取数学期望，得定理得证。定理1.4.l（停止损失再保险的最优性）用记当损失为时，某再保险合同约定的理赔支付。假设对于任意成立,则定理1.4.l（停止损失再保险的最优性）用记当损证明:记因为，所以只需证明证明:记因为上式成立的一个充分条件是以概率1成立．当时，．，显然成立；当时,我们有，有上式成立的一个充分条件是停止损失保费不仅使自留风险的方差达到最小，而且还使被保险人的期望效用达到最大。停止损失保费不仅使自留风险的方差达到最小，而且还使被保险人的例1.4.2（比例再保险的最优性）假设保险人收取保费,正寻求最有利的再保险满足，且自留风险的方差给定如下：例1.4.2（比例再保险的最优性）假设保险人收取保费我们必须使再保险公司的期望利润达到最小我们必须使再保险公司的期望利润达到最小问题B容易解决一些问题B容易解决一些《风险理论》第1章效用理论与保险课件风险理论教材：

R.卡尔斯，M.胡法兹等《现代精算风险理论》，科学出版社，2005.参考书：吴岚，王燕:《风险理论》，财经出版社，2006肖争艳:《风险理论》，人大，2008邹公明，范兴华：《风险理论》，上海财大，2006风险理论教材：风险理论与保险精算概述《风险理论》--准精算师考试科目风险理论与保险精算概述《风险理论》--准精算师考试科目一、风险的概念

人们习惯用“风险”这个词来表达可能发生的不利事件和各种灾害。但是由于所面对的具体问题和环境的不同，每个人对风险这个概念的理解和描述也各不相同。风险是“无法预知”或“未卜先知”的。

一、风险的概念

讨论题根据自身经历，对风险进行描述；2.试想，如果人类能具备预知未来的能力，世界会是什么样子？我们的生活又会是什么样子？讨论题二、风险的三要素

风险与三个因素直接有关：自然状态的不确定性（人们不能预知的或无法控制的自然状态—风险的客观或外部原因）；人的主观行为的不确定性（当事人或决策者的行为—风险的主观或内部原因）；两者结合所蕴涵的潜在后果。二、风险的三要素风险与三个因素直接有关：三、风险的保险学定义在保险学中，风险由两部分构成：潜在不利后果的严重程度如何；发生不利后果的可能性多大。风险被简单地定义为“潜在损失的概率”。三、风险的保险学定义在保险学中，风险由两部分构成：

四、保险业务分类寿险：以被保险人的生命为标的，以生死为事故。

寿险的保险期相对较长，损失分布的规律（生命表）也比较稳定。非寿险：除了寿险以外的一切保险业务，如财物险、车辆险等。

非寿险多为短期保险，损失情况五花八门，损失分布规律也比较复杂。

四、保险业务分类五、保险精算的基本问题

精算学以现代数学和统计学为基础,对保险经营中的某些问题进行定量化的分析和研究,为保险公司进行科学决策和提高管理水平提供依据和方法。精算师要解决的几个基本问题：（1）保费设计；（2）准备金评估；（3）再保险设计；（4）资产负债与偿付能力管理。五、保险精算的基本问题精算学以现代数学和统计学为基础中国精算师资格考试中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。准精算师考试目的在于考察考生对保险精算的基本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务，考试课程共设9门，均为必考课程。中国精算师资格考试中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为准精算师资格考试科目01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运筹学02数学基础（Ⅱ）：概率论、数理统计、应用统计03复利数学04寿险精算数学05风险理论：损失分布、风险模型、效用理论06生命表基础07寿险精算实务08非寿险精算数学与实务09综合经济基础准精算师资格考试科目01数学基础（Ⅰ）：微积分、线性代数、运课程内容第一章效用理论与保险第二章个体风险模型第三章聚合风险模型第四章破产理论第五章保费原理课程内容第一章效用理论与保险第一章效用理论与保险第一章效用理论与保险§1.1引言

本书第二至第四章讨论的个体风险模型、聚合风险模型和破产理论，无疑是分析和解决保险公司经营管理中诸多关键问题如产品定价、准备金提留、再保险自留额安排等问题的基础。然而这些讨论都是基于对理赔风险的正确把握进行的，这仅是问题的一个方面。本章是从另外的角度，也就是从决策者的主观角度来讨论风险决策问题，具体是从保险人或被保险人的偏好出发讨论他们的风险态度。并用效用函数作为描述和度量决策者偏好和风险态度的工具。§1.1引言本书第二至第四章讨论的个体效用理论的几个基本假设效用理论的几个基本假设风险态度：对待风险的态度可以分为三种：风险厌恶、风险偏好和风险中性。例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的机会得到10000元钱，99.9%的机会什么也得不到。B：100%的机会得到10元。选择A？或B？选择A：偏好风险；选择B

：厌恶风险风险态度：对待风险的态度可以分为三种：风险厌恶、风险偏好和风例：我们有这样的二种选择：A：0.1%的失去10000元钱，99.9%的机会不损失。B：100%的机会失去10元。选择A？或B？选择B：厌恶风险选择A

：偏好风险例：我们有这样的二种选择：选择B：厌恶风险§1.2期望效用模型§1.2期望效用模型如果B非常小，那么P几乎不会大于0.01B；如果B略微大一点，如500，那么P就可能比5稍大一些；如果B非常大，那么P就会比0.01B大很多。

结论：因为这么大的损失一但发生可能导致破产，因此可以付出比期望值高的费用为风险投保。如果B非常小，那么P几乎不会大于0.01B；结论：因为这么《风险理论》第1章效用理论与保险课件边际效用递减原理

效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣彼得堡悖论时提出来的主要包括两条原理：边际效用递减原理和最大期望效用原理。边际效用递减原理：个人对所追求的商品和财富的满足程度由其效用值衡量，且随着其商品和财富的绝对数量的增加而增加，但增加的速率却随着其绝对数量的增加而逐渐降低。讨论题：举例说明上述原理的正确性。边际效用递减原理

效用的概念是丹尼尔.伯努利在解释圣边际效用原理的主要涵义边际效用原理的主要涵义最大期望效用原理

最大期望效用原理

《风险理论》第1章效用理论与保险课件《风险理论》第1章效用理论与保险课件效用函数的确定人们在做某个决策时，不自觉地使用这效益函数，因此效用函数是客观存在的，但却很难给出一个明确的解析式。可以向决策人提出大量的问题，通过他们对这些问题的回答来决定该决策人的效用函数。如“为了避免以概率q损失1个单位货币，你愿意支付多少保费P？”效用函数的确定人们在做某个决策时，不自觉地使用这效益函数，因《风险理论》第1章效用理论与保险课件效用函数的基本特征效用函数的基本特征《风险理论》第1章效用理论与保险课件Jensen不等式的证明Jensen不等式的证明根据Jensen不等式确定保费（1）被保险人方面：根据Jensen不等式确定保费（1）被保险人方面：《风险理论》第1章效用理论与保险课件（2）保险人方面：（2）保险人方面：《风险理论》第1章效用理论与保险课件成交！成交！《风险理论》第1章效用理论与保险课件《风险理论》第1章效用理论与保险课件在后面式子的两边同时取期望，得到在后面式子的两边同时取期望，得到因此，风险X的最大保费近似为使用风险厌恶系数，则对风险X所需最大保费近似为由上式可见，均值-方差保费原理是合理的。将（1.13）与（1.14）代入（1.10），得到因此，风险X的最大保费近似为使用风险厌恶系数，注意到用替换时，并没有改变。从（1.18），我们可以看到风险厌恶系数真正反映了风险厌恶的程度：对风险厌恶程度越高，需要支付的保费也越大。

注意到用替换时，并没有改变。从（1.18）§1.3效用函数族线性效用函数的风险厌恶系数是0；指数效用函数的风险厌恶系数是；其它效用函数的风险厌恶系数均可表示为

。§1.3效用函数族线性效用函数的风险厌恶系数是0；-例1.3.1（指数保费）假设一保险人使用参数为的指数效用函数，对于风险X，最小保费应为多少？

a-例1.3.1（指数保费）假设一保险人使用参数为的把代入均衡方程（1.11）得其中是X的矩母函数，代表风险厌恶系数。指数保费随着增加而增加，而与保险人当前的财富无关。更有意义的是，

被保险人的最大保费的表达同，但是其使用的参数会有所不同。把代入均衡方程（1.11矩母函数一、定义：设X为随机变量，如果以下数学期望存在，则称它为X的矩母函数，记为。二、矩母函数的性质（1）若随机变量X的各阶中心矩存在，则（2）随机变量的期望值与方差和矩母函数具有下列关系上式中称为累积量母函数。（3）如果随机变量X和Y相互独立，则矩母函数一、定义：常用分布的矩母函数分布矩母函数注解BinomialB(n,p)

PoissonPois(λ)

UniformU(a,b)

Normal

N(μ,σ2)

GammaΓ(k,θ)

ExponentialExp(λ)

Chi-squareχ2k

常用分布的矩母函数分布矩母函数注解BinomialB(n,如果被保险人的效用函数是参数为的指数效用函数，则最大保费为

例：假设损失X服从参数为的指数分布，令，则如果被保险人的效用函数是参数为的因此被保险人愿意在纯保费之上附加相当数量的额外保费。138.6>100（均值）因此被保险人愿意在纯保费之上附由例1.2.4中的近似公式(1.18)得显然，近似表达式(1.22)随递增。如果X是方差有限的非负随机变量，则(1.20)所决定的保费也是随递增的，具体证明如下。令由Jensen不等式知由例1.2.4中的近似公式(1.18)得显然，近似表达式(1取则且取则对任意，通过对上述不等式两边取对数，得由此证明，指数保费随着厌恶系数的增加而增加。特别地，在和两个极端情况，有对任意，通过对上述不等式两边取对数，得由《风险理论》第1章效用理论与保险课件由方程(1.10)，发生损失X之后的期望效用为以及支付保费P之后的效用为由方程(1.10)，发生损失X之后的期望效用为以及支付保费根据（1.10），（1.28）与（1.29）右端应当相等，由此求得最大保费为：容易验证，，故保费将随着财富的增加，且。根据（1.10），（1.28）与（1.29）右端应当相等，由例1.3.3（不可保的风险）某决策者使用风险厌恶系数为的指数效用函数，他想对分布为的风险进行投保，其中表示参数为a,b的伽玛分布．确定并证明，何时，此时说明了什么？分布的矩母函数为

，例1.3.3（不可保的风险）某决策者使用风险厌恶系数为因为,我们有.因而所以，计算出的保费大于纯保费。如果，则，这表明决策者愿意支付任何有限的保费。按照效用理论，如果风险厌恶系数为，那么承保该风险的保险人对于任何有限的保费P，都会遭受损失，因为。对于保险人来说，这种风险是不可保的。因为Allais悖论考虑下面可能的资本收益很多人会选择X,其实，由此可见期望效益并不总能反映决策者的行为。完全没有风险的状态与期望效用指标相比，对决策着可能更有吸引力。Allais悖论考虑下面可能的资本收益§1.4停止损失再保险的最优性再保险合同通常只承保保险人的一部分风险。停止损失(再）保险承保损失超出指定免赔额的超额部分。它的定义如下：如果发生的损失为X(我们假设)，则理赔支付为§1.4停止损失再保险的最优性再保险合同通常