《EViews软件使用指南》课件-第06章-ARCH和GARCH估计

第六章条件异方差模型

EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因:首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。1第六章条件异方差模型EViews中

§6.1自回归条件异方差模型自回归条件异方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(GeneralizedARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？

2§6.1自回归条件异方差模型

恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。

3恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻

t的ut的方差(=t2

)依赖于时刻(t1)的扰动项平方的大小，即依赖于

ût2-1

。

4从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时

6.1.1ARCH模型

为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：(6.1.1)

如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：(6.1.2)由于yt的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（6.1.1）也称为均值方程。56.1.1ARCH模型5假设在时刻

(t1)

所有信息已知的条件下，扰动项

ut的条件分布是：~(6.1.7)

也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。6假设在时刻(t1)所有信息已知的条

由于(6.1.7)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：然而，容易加以推广。例如，一个ARCH

(p)过程可以写为：（6.1.8）7由于(6.1.7)中ut的方差依赖于前

如果扰动项方差中没有自相关，就会有H0：这时

从而得到扰动项方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：其中，ût表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的OLS残差。88在ARCH(p)过程中，由于ut是随机的，ut2不可能为负，所以对于{ut}的所有实现值，只有是正的，才是合理的。为使ut2协方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程（6.1.9）的根全部位于单位圆外。如果i（i=1,2,…,p）都非负，式（6.1.9）等价于1+2+…+p1。9在ARCH(p)过程中，由于ut是随

6.1.2

GARCH(1,1)模型

我们常常有理由认为

ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheterosce-dasticitymodel，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。

106.1.2GARCH(1,1)模在标准化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.11)方差方程：

(6.1.12)其中：xt是1×(k+1)维外生变量向量，是(k+1)×1维系数向量。

(6.1.11)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差，式（6.1.12）也被称作条件方差方程。11在标准化的GARCH(1,1)模型中：11

(6.1.12)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1．常数项（均值）：2．用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。3．上一期的预测方差：

t2-1

（GARCH项）。GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。

12(6.1.12)中给出的条件方差方程是下面三

在EViews中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t

时期的对数似然函数为：(6.1.13)

其中(6.1.14)

这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。13在EViews中ARCH模型是在扰动项是条

有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：1．如果我们用条件方差的滞后递归地替代（6.1.12）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：

（6.1.15）我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。14有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释

2．设vt=ut2t2。用其替代方差方程（6.1.12）中的方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：

（6.1.16）因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是

加

的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。152．设vt=ut2t2。用

方差方程的回归因子

方程(6.1.12)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程：

（6.1.17）注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：16方差方程的回归因子16

高阶GARCH(p,q)模型

高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，记作GARCH(p,q)。其方差表示为：（6.1.18）

这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。

17高阶GARCH(p,q)模型176.1.4ARCH的检验

下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCHLM检验和残差平方相关图检验。

1.ARCHLM检验Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。186.1.4ARCH的检验下面介绍检验一ARCHLM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：

式中ût是残差。这是一个对常数和直到q阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：（1）F统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；（2）TR2统计量是Engle’sLM检验统计量，它是观测值个数T乘以回归检验的R2；19ARCHLM检验统计量由一个辅助检验回归计2.

平方残差相关图

显示直到所定义的滞后阶数的平方残差ût2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。可适用于使用LS，TSLS，非线性LS估计方程。显示平方残差相关图和Q-统计量，选择View/ResidualTests/CorrelogramSquaredResidual，在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。202.平方残差相关图20

例6.1沪市股票价格指数波动的ARCH检验

为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列{sp}是1995年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对{sp}进行自然对数处理，即将序列{log(sp)}作为因变量进行估计。2121

由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——随机游动（RandomWalk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：(6.1.25)首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：(6.1.26)(2.00)(821.26)R2=0.997对数似然值=4506

22由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——

可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。23可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，图6.1

股票价格指数方程回归残差

观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。24图6.1

因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了在滞后阶数p=3时的ARCHLM检验结果如下。此处的P值为0，拒绝原假设，说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。可以计算式（6.1.26）的残差平方的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。25因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的A

6.1.4

ARCH-M模型金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中:（6.1.29）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：或取对数

266.1.4ARCH-M模型26ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差(风险)：

这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。27ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益在EViews中估计ARCH模型

估计GARCH和ARCH模型，首先选择Quick/EstimateEquation或Object/NewObject/Equation，然后在Method的下拉菜单中选择ARCH，得到如下的对话框。28在EViews中估计ARCH模型估计GARCH和A

与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方程。

一、均值方程(Meanequation)

在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可以用公式的形式输入均值方程。

29与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差方如果解释变量的表达式中含有ARCH—M项，就需要点击对话框右上方对应的按钮。EViews5.0中的ARCH-M的下拉框中，有4个选项：1.选项None表示方程中不含有ARCH−M项；2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差；3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差

2。

4.选项Log(Var)，表示在均值方程中加入条件方差的对数ln(

2)作为解释变量。

30如果解释变量的表达式中含有ARCH—M项，就需

二、方差设定和分布设定(Varianceanddistributionspecification)

EViews5的选择模型类型列表

(1)在下拉列表中可以选择所要估计的ARCH模型的类型。31二、方差设定和分布设定(Varianceand(2)在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。

(3)设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。(4)如果估计一个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的个数为0。可以估计含有多个非对称项的非对称模型。在EViews4.0中，并没有这个选项，非对称模型中的非对称项只能有1项。

32(2)在Variance栏中，可以根据需要

(5)Error组合框可以设定误差的分布形式，缺省的形式为Normal（Gaussian），备选的选项有：Student’s-t，GeneralizedError（GED）、Student’s-twithfixeddf.和GEDwithfixedparameter。需要注意，选择了后两个选项的任何一项都会弹出一个选择框，需要在这个选择框中分别为这两个分布的固定参数设定一个值。误差的条件分布形式默认为Normal（Gaussian）。

33(5)Error组合框可以设定误差的分

三、估计选项（Options）

EViews为我们提供了可以进入许多估计方法的设置。只要点击Options按钮并按要求填写对话即可。

34三、估计选项（Options）34

1.回推(Backcasting)

在缺省的情况下，MA初始的扰动项和GARCH项中要求的初始预测方差都是用回推方法来确定初始值的。如果不选择回推算法，EViews会设置残差为零来初始化MA过程，用无条件方差来设置初始化的方差和残差值。但是经验告诉我们，使用回推指数平滑算法通常比使用无条件方差来初始化GARCH模型的效果要理想。

351.回推(Backcasting2.系数协方差(CoefficientCovariance)

点击HeteroskedasticityConsistentCovariances计算极大似然（QML）协方差和标准误差。如果怀疑残差不服从条件正态分布，就应该使用这个选项。只有选定这一选项，协方差的估计才可能是一致的，才可能产生正确的标准差。注意如果选择该项，参数估计将是不变的，改变的只是协方差矩阵。362.系数协方差(Coefficient

3.导数方法(Derivatives)

EViews现在用数值导数方法来估计ARCH模型。在计算导数的时候，可以控制这种方法达到更快的速度（较大的步长计算）或者更高的精确性（较小的步长计算）。

4.迭代估计控制(Iterativeprocess)

当用默认的设置进行估计不收敛时，可以通过改变初值、增加迭代的最大次数或者调整收敛准则来进行迭代控制。

5．算法选择

(Optimizationalgorithm)

ARCH模型的似然函数不总是正规的，所以这时可以利用选择迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯-牛顿）使其达到收敛。373.导数方法(Derivatives)ARCH模型的估计结果

利用GARCH(0,3)模型重新估计例6.1的式（6.1.25），结果如下：38ARCH模型的估计结果38

ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部分提供了均值方程的标准结果；下半部分，即方差方程包括系数，标准误差，z-统计量和方差方程系数的P值。在方程(6.1.12)中ARCH的参数对应于，GARCH的参数对应于。在表的底部是一组标准的回归统计量，使用的残差来自于均值方程。

注意如果在均值方程中不存在回归量，那么这些标准，例如R2也就没有意义了。

39ARCH估计的结果可以分为两部分：上半部例6.1利用GARCH(0,3)模型重新估计的方程如下：均值方程：

(2.51)(810.77)方差方程：

(40.87)(7.66)(4.58)(5.46)R2=0.997D.W.=1.92

4040

方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都是统计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCH—LM检验，相伴概率为P=0.97，说明利用GARCH模型消除了原残差序列的异方差效应。ARCH的系数小于1，满足参数约束条件。41方差方程中的ARCH项和GARCH项的系数都

例6.2

估计我国股票收益率的ARCH—M模型选择的时间序列是1998年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数{sp}，股票的收益率是根据公式：reln(spt/spt-1)，即股票价格收盘指数对数的差分计算出来的。ARCH-M模型：re+t+ut

42例6.2估计我国股票收益率的ARCH4343估计出的结果写成方程:均值方程:(-2.767)(2.998)方差方程:(5.54)(12.49)(29.59)

对数似然值=3006AIC=-5.77SC=-5.74

在收益率方程中包括

t

的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础——“均值方程假设”的含义。在这个假设下，

应该是正数，结果

=0.267，因此我们预期较大值的条件标准差与高收益率相联系。估计出的方程的所有系数都很显著。并且方差方程系数+之和小于1，满足平稳条件。均值方程中t

的系数为0.267，表明当市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率也相应的增加0.267个百分点。

44估计出的结果写成方程:44ARCH模型的视图与过程

一旦模型被估计出来，EViews会提供各种视图和过程进行推理和诊断检验。

一、ARCH模型的视图

1.Actual,Fitted,Residual

窗口列示了各种残差形式，例如，表格，图形和标准残差。

2.条件SD图

显示了在样本中对每个观测值绘制向前一步的标准偏差t。t

时期的观察值是由t-1期可得到的信息得出的预测值。

45ARCH模型的视图与过程一旦模型被估计

3.协方差矩阵

显示了估计的系数协方差矩阵。大多数ARCH模型（ARCH—M模型除外）的矩阵都是分块对角的，因此均值系数和方差系数之间的协方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常数，那么在协方差矩阵中就存在两个C；第一个C是均值方程的常数，第二个C是方差方程的常数。

4.

系数检验

对估计出的系数进行标准假设检验。463.协方差矩阵46

5.残差检验/相关图-Q-统计量

显示了标准残差的相关图（自相关和偏自相关）。这个窗口可以用于检验均值方程中的剩余的序列相关性和检查均值方程的设定。如果均值方程是被正确设定的，那么所有的Q—统计量都不显著。

475.残差检验/相关图-Q-统计量47二、ARCH模型的过程

1．构造残差序列

将残差以序列的名义保存在工作文件中，可以选择保存普通残差

ut或标准残差

ut/t

。残差将被命名为RESID1，RESID2等等。可以点击序列窗口中的name按钮来重新命名序列残差。

2．构造GARCH方差序列

将条件方差t2以序列的名义保存在工作文件中。条件方差序列可以被命名为GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/ConditionalSDGragh所示的条件标准偏差。48二、ARCH模型的过程48

3．预测

例3

假设我们估计出了如下的ARCH(3)(采用Marquardt方法)模型：(留下2001年10月—2001年12月的3个月做检验性数据)493．预测49

使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的预测值，和它的预测标准误差和条件方差。为了在工作文件中保存预测值，要在相应的对话栏中输入名字。如果选择了Dogragh选项EViews就会显示预测值图和两个标准偏差的带状图。50使用估计的ARCH模型可以计算因变量的静态的和动态的

估计期间是1/03/1998-9/28/2001，预测期间是10/02/2001-12/31/2001左图表示了由均值方程和SP的预测值的两个标准偏差带。51估计期间是1/03/1998-9/28/2001，5252§6.2非对称ARCH模型

在资本市场中，经常可以发现这样的现象：资产的向下运动通常伴随着比之程度更强的向上运动。为了解释这一现象，Engle和Ng（1993）绘制了好消息和坏消息的非对称信息曲线，波动性

0

信息53§6.2非对称ARCH模型在资本市场中资本市场中的冲击常常表现出一种非对称效应。这种非对称性是十分有用的，因为它允许波动率对市场下跌的反应比对市场上升的反应更加迅速，因此被称为“杠杆效应”，是许多金融资产的一个重要事实特征。例如，许多研究人员发现了股票价格行为的非对称实例——负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。因为较低的股价减少了股东权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。本节将介绍2种能够描述这种非对称冲击的模型：TARCH模型和EGARCH模型。54资本市场中的冲击常常表现出一种非对称效应6.2.1TARCH模型

TARCH或者门限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)独立的引入。条件方差指定为：(6.2.1)其中，dt-1是虚拟变量：当ut-1<0时，dt-1=1；否则，dt-1=0。

在这个模型中，好消息(ut>0)和坏消息(ut<0)对条件方差有不同的影响：好消息有一个

的冲击；坏消息有一个对+

的冲击。如果0，则信息是非对称的，如果

>0

，我们说存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果

<0

，则非对称效应的作用是使得波动减小。556.2.1TARCH模型55许多研究人员发现了股票价格行为的非对称的实例。负的冲击似乎比正的冲击更容易增加波动。因为较低的股价减少了相对公司债务的股东权益，股价的大幅下降增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。估计TARCH模型，EViews5要在Threshold选项中填“1”，表明有1个非对称项，可以有多个。56许多研究人员发现了股票价格行为的非对称的实例

对于高阶TARCH模型的制定，EViews将其估计为：

(6.2.2)6.2.2EGARCH模型

EGARCH或指数（Exponential）GARCH模型由纳尔什（Nelson，1991）提出。条件方差被指定为：(6.2.5)等式左边是条件方差的对数，这意味着杠杆影响是指数的，而不是二次的，所以条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过<0的假设得到检验。如果0

，则冲击的影响存在着非对称性。57对于高阶TARCH模型的制定，EViews将其EViews指定了更高阶的EGARCH模型：(6.5.6)

估计EGARCH模型只要选择ARCH指定设置下的EGARCH项即可。克里斯汀(Christie，1982)的研究认为，当股票价格下降时，资本结构当中附加在债务上的权重增加，如果债务权重增加的消息泄漏以后，资产持有者和购买者就会产生未来资产收益率将导致更高波动性的预期，从而导致该资产的股票价格波动。因此，对于股价反向冲击所产生的波动性，大于等量正向冲击产生的波动性，这种“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非对称性，在美国等国家的一些股价指数序列当中得到验证。58EViews指定了更高阶的EGARCH模型

例6.4股票价格波动的TARCH模型和EGARCH模型

那么在我国的股票市场运行过程当中，是否也存在股票价格波动的非对称性呢？利用沪市1995年1月3日至2001年12月31日的股票收盘价格指数数据，我们估计了股票价格波动的两种非对称模型，结果分别如下：

①TARCH模型：均值方程：

(10.19)(1917.69)

方差方程：(5.34)(9.6)(7.87)(224.62)

R2=0.997AIC=-5.21SC=-5.1959例6.4股票价格波动的TARCH模型和E6060

杠杆效应项由结果中的RESID(-1)^2(RESID(-1)<0)描述，它是显著为正的，所以存在非对称影响。在TARCH模型中，杠杆效应项的系数显著大于零，说明股票价格的波动具有“杠杆”效应：利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动：当出现“利好消息”时，即当ût0时，有一个

的冲击；而出现“利空消息”时，即当ût0时，则会带来

的冲击。TARCH模型:61杠杆效应项由结果中的RESID(-1)^②EGARCH模型：均值方程：(7.42)(1938.87)

方差方程：

(-13.8)(20.47)(-7.08)(489.15)

R2=0.997AIC=-5.22SC=-5.2

62②EGARCH模型：626363

这个例子中，利空消息能比等量的利好消息产生更大的波动的结果在EGARCH模型中也能够得到印证，在EGARCH模型中，，其非对称项的系数小于零，。当ût0时，有一个

倍的冲击；

当ût0时，有一个

倍冲击。

此例中是负的并在统计上是显著的，这表明在样本期间沪市的股票收盘价格指数中存在杠杆效应。EGARCH模型:64这个例子中，利空消息能比等量的利好消息产§6.3成分ARCH模型(ComponentARCHModel)

GARCH(1,1)模型将条件方差设定为：(6.3.1)令其中是非条件方差或长期波动率，(6.3.1)变为：(6.3.2)

表示了均值趋近于

，这个在所有时期都为常数。

65§6.3成分ARCH模型(ComponentARCH

成分ARCH模型允许均值趋近于一个变动的水平qt：

暂时成分:(6.3.3)长期成分:(6.3.4)

此处t仍然是波动率，而qt代替了

，它是随时间变化的长期变动。(6.3.3)描述了暂时成分

t2-qt，它将随+的作用收敛到零。(6.3.4)描述了长期成分qt它将在

的作用下收敛到

。典型的

在0.99和1之间，所以qt缓慢的接近。66成分ARCH模型允许均值趋近于一个变动的水平qt：把暂时方程和长期方程联合起来：(6.3.5)该方程表明了成分ARCH模型是一个非线性的严格的GARCH(2,2)模型。在成分ARCH模型的条件方差方程中，可以包含进外生变量，它可以在长期方程中，也可以在暂时方程中（或者两者均可）。暂时方程中的变量将对变化率的短期移动产生影响，而长期方程中的变量将影响变动率的长期水平。67把暂时方程和长期方程联合起来：67

在暂时方程中还可以引入非对称影响，称为非对称的成分ARCH模型。它的条件方差方程的形式为：

(6.3.6)(6.3.7)其中z是外生变量，d是虚拟变量，表示负的冲击，当ut-1＜0时，dt=1；否则，dt=0。只要

0，冲击就会对变动率的短期波动产生非对称的影响；>0意味着条件方差中的暂时杠杆效应。需要注意，这种非对称效应只出现在短期波动中，对长期波动率的影响则主要体现在系数

的变化上。68在暂时方程中还可以引入非对称影响，称为非对称的成分A在EViews中估计成分ARCH模型

选择Model下拉列表中的ComponentARCH(1,1)，非对称成分ARCH模型还要对非对成项个数做选择。

我们在前面的例子中已经估计了沪市的股票收盘价格指数的GARCH模型，但是方差方程被假定为均值不变的，在引入了CGARCH模型后，重新进行估计，得到的结果为：69在EViews中估计成分ARCH模型选择Model例6.51.CGARCH模型：70例6.51.CGARCH模型：70均值方程：

(0.09)

(1042.5)方差方程：长期成分方程:

(7.25)(65916.04)(-26.17)

暂时成分方程:

(20.97)(35.34)在暂时成分方程中，+之和为0.8447，小于1，表示暂时成分2-

qt将收敛于零；而长期波动率

qt则通过

的作用，本例中=0.9994，缓慢的收敛于均值0.0002。71均值方程：712.非对称的CGARCH模型：722.非对称的CGARCH模型：72前面已经证明了股价的波动具有非对称效应，“利空消息”产生的波动比等量的“利好消息”产生的波动大，利用非对称CGARCH模型，我们可以进一步印证这个结论：

均值方程：

(5.84)

(4088.3)

方差方程：长期成分方程:

（1.65）（2273.4）（6.72）暂时成分方程:

(7.75)(3.54)(19.5)

R2=0.994

AIC=-5.24SC=-5.2273前面已经证明了股价的波动具有非对称效应，“利

方差方程的统计结果中的系数C(2)、C(3)、C(4)和C(5)的含义与对称的CARCH模型的含义相同，系数C(7)对应着对称CARCH模型中的系数C(6)，而这里的系数C(6)就是代表了暂时方程(6.3.7)中的非对称项的系数

。此处的估计值为0.086，意味着这种非对称效应的结果是使得长期波动率以更快的速度收敛到稳态。说明存在杠杆效应。由于哑变量

d表示负冲击，所以这种杠杆效应就可以解释为负的冲击比正的冲击带来的波动大。需要注意的是，这种非对称效应只出现在暂时方程中，也就是说，出现的这种非对称效应只是暂时的，它对长期波动率

qt的影响是：它使得长期方程中的减小为0.988，这将会导致长期波动率

qt以更快的速度收敛于稳态。

74方差方程的统计结果中的系数C(2)、C(3)第六章条件异方差模型

EViews中的大多数统计工具都是用来建立随机变量的条件均值模型。本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的——建立变量的条件方差或变量波动性模型。我们想要建模并预测其变动性通常有如下几个原因:首先，我们可能要分析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。75第六章条件异方差模型EViews中

§6.1自回归条件异方差模型自回归条件异方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特别用来建立条件方差模型并对其进行预测的。ARCH模型是1982年由恩格尔(Engle,R.)提出，并由博勒斯莱文(Bollerslev,T.,1986)发展成为GARCH(GeneralizedARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有，而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会不会出现异方差呢？会是怎样出现的？

76§6.1自回归条件异方差模型

恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏观数据时，发现这样一些现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。

77恩格尔和克拉格（Kraft,D.,1从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误差的方差中有某种相关性。为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是时刻

t的ut的方差(=t2

)依赖于时刻(t1)的扰动项平方的大小，即依赖于

ût2-1

。

78从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时

6.1.1ARCH模型

为了说得更具体，让我们回到k-变量回归模型：(6.1.1)

如果ut的均值为零，对yt取基于(t-1)时刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的关系：(6.1.2)由于yt的均值近似等于式（6.1.1）的估计值，所以式（6.1.1）也称为均值方程。796.1.1ARCH模型5假设在时刻

(t1)

所有信息已知的条件下，扰动项

ut的条件分布是：~(6.1.7)

也就是，ut遵循以0为均值，(0+1u2t-1)为方差的正态分布。80假设在时刻(t1)所有信息已知的条

由于(6.1.7)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它为ARCH(1)过程：然而，容易加以推广。例如，一个ARCH

(p)过程可以写为：（6.1.8）81由于(6.1.7)中ut的方差依赖于前

如果扰动项方差中没有自相关，就会有H0：这时

从而得到扰动项方差的同方差性情形。恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假设：其中，ût表示从原始回归模型（6.1.1）估计得到的OLS残差。828在ARCH(p)过程中，由于ut是随机的，ut2不可能为负，所以对于{ut}的所有实现值，只有是正的，才是合理的。为使ut2协方差平稳，所以进一步要求相应的特征方程（6.1.9）的根全部位于单位圆外。如果i（i=1,2,…,p）都非负，式（6.1.9）等价于1+2+…+p1。83在ARCH(p)过程中，由于ut是随

6.1.2

GARCH(1,1)模型

我们常常有理由认为

ut的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程(6.1.8)不过是t2的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t2的滞后值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheterosce-dasticitymodel，简记为GARCH模型)。在GARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。

846.1.2GARCH(1,1)模在标准化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.11)方差方程：

(6.1.12)其中：xt是1×(k+1)维外生变量向量，是(k+1)×1维系数向量。

(6.1.11)中给出的均值方程是一个带有扰动项的外生变量函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差，式（6.1.12）也被称作条件方差方程。85在标准化的GARCH(1,1)模型中：11

(6.1.12)中给出的条件方差方程是下面三项的函数：1．常数项（均值）：2．用均值方程(6.1.11)的扰动项平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信息：ut2-1（ARCH项）。3．上一期的预测方差：

t2-1

（GARCH项）。GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差t2-1的说明。

86(6.1.12)中给出的条件方差方程是下面三

在EViews中ARCH模型是在扰动项是条件正态分布的假定下，通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t

时期的对数似然函数为：(6.1.13)

其中(6.1.14)

这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项）和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。87在EViews中ARCH模型是在扰动项是条

有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型：1．如果我们用条件方差的滞后递归地替代（6.1.12）式的右端，就可以将条件方差表示为滞后扰动项平方的加权平均：

（6.1.15）我们看到GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似，但是，它包含了在更大滞后阶数上的，扰动项的加权条件方差。88有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释

2．设vt=ut2t2。用其替代方差方程（6.1.12）中的方差并整理，得到关于扰动项平方的模型：

（6.1.16）因此，扰动项平方服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久性的自回归的根是

加

的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。892．设vt=ut2t2。用

方差方程的回归因子

方程(6.1.12)可以扩展成包含外生的或前定回归因子z的方差方程：

（6.1.17）注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以要求：90方差方程的回归因子16

高阶GARCH(p,q)模型

高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，记作GARCH(p,q)。其方差表示为：（6.1.18）

这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。

91高阶GARCH(p,q)模型176.1.4ARCH的检验

下面介绍检验一个模型的残差是否含有ARCH效应的两种方法：ARCHLM检验和残差平方相关图检验。

1.ARCHLM检验Engle在1982年提出检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM检验。自回归条件异方差性的这个特殊的设定，是由于人们发现在许多金融时间序列中，残差的大小与最近的残差值有关。ARCH本身不能使标准的OLS估计无效，但是，忽略ARCH影响可能导致有效性降低。926.1.4ARCH的检验下面介绍检验一ARCHLM检验统计量由一个辅助检验回归计算。为检验原假设：残差中直到q阶都没有ARCH，运行如下回归：

式中ût是残差。这是一个对常数和直到q阶的滞后平方残差所作的回归。这个检验回归有两个统计量：（1）F统计量是对所有残差平方的滞后的联合显著性所作的一个省略变量检验；（2）TR2统计量是Engle’sLM检验统计量，它是观测值个数T乘以回归检验的R2；93ARCHLM检验统计量由一个辅助检验回归计2.

平方残差相关图

显示直到所定义的滞后阶数的平方残差ût2的自相关性和偏自相关性，计算出相应滞后阶数的Ljung-Box统计量。平方残差相关图可以用来检查残差自回归条件异方差性（ARCH）。如果残差中不存在ARCH，在各阶滞后自相关和偏自相关应为0，且Q统计量应不显著。可适用于使用LS，TSLS，非线性LS估计方程。显示平方残差相关图和Q-统计量，选择View/ResidualTests/CorrelogramSquaredResidual，在打开的滞后定义对话框，定义计算相关图的滞后数。942.平方残差相关图20

例6.1沪市股票价格指数波动的ARCH检验

为了检验股票价格指数的波动是否具有条件异方差性，本例选择了沪市股票的收盘价格指数的日数据作为样本序列，这是因为上海股票市场不仅开市早，市值高，对于各种冲击的反应较为敏感，因此，本例所分析的沪市股票价格波动具有一定代表性。在这个例子中，我们选择的样本序列{sp}是1995年1月3日至2001年12月31日的上海证券交易所每日股票价格收盘指数，为了减少舍入误差，在估计时，对{sp}进行自然对数处理，即将序列{log(sp)}作为因变量进行估计。9521

由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——随机游动（RandomWalk）模型描述，所以本例进行估计的基本形式为：(6.1.25)首先利用最小二乘法，估计了一个普通的回归方程，结果如下：(6.1.26)(2.00)(821.26)R2=0.997对数似然值=4506

96由于股票价格指数序列常常用一种特殊的单位根过程——

可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，拟合的程度也很好。但是需要检验这个方程的误差项是否存在条件异方差性，。97可以看出，这个方程的统计量很显著，而且，图6.1

股票价格指数方程回归残差

观察上图，该回归方程的残差，我们可以注意到波动的“成群”现象：波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH效应。98图6.1

因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的ARCHLM检验，得到了在滞后阶数p=3时的ARCHLM检验结果如下。此处的P值为0，拒绝原假设，说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。可以计算式（6.1.26）的残差平方的自相关（AC）和偏自相关（PAC）系数，结果说明式（6.1.26）的残差序列存在ARCH效应。99因此，对式(6.1.26)进行条件异方差的A

6.1.4

ARCH-M模型金融理论表明具有较高可观测到风险的资产可以获得更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种利用条件方差表示预期风险的模型被称为ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回归模型。在ARCH-M中我们把条件方差引进到均值方程中:（6.1.29）ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件标准差：或取对数

1006.1.4ARCH-M模型26ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指数的收益率（returet）依赖于一个常数项及条件方差(风险)：

这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为GARCH-M模型。101ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益在EViews中估计ARCH模型

估计GA