【数学竞赛】七年级数学思维探究(25)多边形的边与角

泰勒斯（公元前624前547），古希腊学者，西方理性数学的建议者，素有“科学之父”的美称．他不知足于直观的感性的特别认识，崇尚抽象的理性的一般的知识，发现了很多平面几何定理，泰勒斯在天文学方面也有独出心裁样的工作，相传他曾测知公元前585年5月28日的一第二天全食，他不愧于其墓碑上镌刻的颂词：“他是一位圣贤，又是一位天文学家，在日月星斗的王国里，他顶天立地，名看重史．”25．多边形的边与角解读课标大街上的人行道，装饰一新的居家，在很多地方，我们可以看到由各样形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的美丽的地面和墙面．一般地，由n条不在同向来线上的线段首尾挨次连结构成的平面图形称为n边形，又称多边形．边、角、对角线是多边形中最基本的见解．多边形的很多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转变为三角形问题来解决的基本策略．多边形的内角和性质反应出必定的规律性：n2180随n的变化而变化，而多边形的外角和性质反映出更实质的规律：外角和是360的一个常数．把内角问题转变为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧．问题解决例1如图，ABCDEF__________．FEDGHACB试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶三角形的性质，把分其他角加以集中．例2凸多边形恰巧有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）．A．4B．5C．6D．7试一试把凸多边形内角问题转变为外角问题．例3凸n边形除掉一个内角外，其他内角和为2570，求n的值．试一试设除掉的角为x，可成立对于x，n的不定方程；又0x180，又可获得对于n的不等式，故有两种解题门路，注意n为自然数的隐含条件．例4如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．证明：BADEAF180．ADFBCE试一试从四边形AECF内角和下手．角星例5（1）如图①，随意画一个五角星，求ABCDE（2）如图②，用“一笔划”方法画成的七角形，求ABC（3）如图③，用“一笔划”方法画成的2n1角形n≥2，且B1B2A1A2A3A2nA2n1度数．

F度数．DEFB2nB2n1是凸

2n

G度数．1边形，求A2A1AAB1AA3B2B2n+1EIDB3B2nBJA2nEHA4KB4B9BGLNAA9M5B5B8B7CDFCB6A6A8图①图②A7图③分析从特别到一般，将所求的度数用有关三角形、凸多边形内角和的式子表示．解（1）1802）5403A1A2A2nA2n1（2n1个三角形A1B1B2n1，A2B2B1，A3B3B2，，A2nB2nB2n1，（）A2n1B2n1B2n的内角总和减去多边形B1B2B2nB2n1外角和的2倍）2n118036022n3180．完很多边形把平面上的一些点以及这些点中某些点之间连结的线段，称为一个图．如图，这样的图有6个点，每两点之间都有一条线，称为完满六边形．一个完满n边形共有nn1条连线．2例6证明：任何6个人中，必有3个人相互认识，或许有3个人相互不认识．分析与解借助图表示这一抽象的思想．用点A1，A2，，A6代表6个人，两个人相互认识则在对应的两点间连一条红边，不然连一条蓝边，问题转变为图中必有三边同色的三角形．考虑A1与5条引线，由于只染了两种颜色，由抽屉原理知必有3条同色，不如设A1A2，A1A3，A1A4同为红色；若A2A3，A3A4，A4A2中有红边，则有红色△A1AiAj2≤i,j≤4；若A2A3，A3A4，A4A2无红边，则△A2A3A4为蓝色三角形，不论哪一种状况，图中都有同色三角形．A13A2A4数学冲浪知识技术广场1．如图，1、2、3、4是五边形ABCDE的4个外角，若A120，则1234_______．3

D2EC41AB2．如图①，将一块正六边形硬纸片做成一个底面还是正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个极点处剪去一个四边形，如图①中的四边形AGA'H，那么GA'H的度数为_______．HA'G图②图①3．如图，1234567的度数为_____________．1357464．用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图①，用n个全等的正六边形按这类方式拼接，如图②，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为___________．图①图②5．将五边形纸片ABCDE按以以下图的方式折叠，折痕为AF，点E、D分别落在E'、D''上，已知AFC76，则CFD'等于（）．A．31B28C．24D．22．ABEE'CDFD'6．如图，已知正五边形ABCDE中，12，34，则x（）．A．30B．45C．40D．36A1x3BE24CD7．一个凸多边形的每一内角都等于140，那么，从这个多边形的一个极点出发的对角线的条数是（）．A．9条B．8条C．7条D．6条8．一个凸n边形，除一个内角外，其他n1个内角的和是2400，则n的值是（）．A．15B．16C．17D．不可以确立9．如图，已知DC∥AB，BAEBCD，AE⊥DE，D130，求B的度数．DCEAB10．如图，在四边形ABCD中，BD90，AE、CF分别均分BAD和BCD．求证：AE∥CF．DECAFB思想方法天地11．从凸n边形的一个极点引出的全部对甬线把这个凸n边形分红了m个小三角形，若m等于这个凸n边形对角线条数的4，那么此n边形的内角和为________．9306012．一个多边形截去一个（三角形状的）角后，形成另一个多边形，其内角和是，则原多边形是_________边形．13．如图，设CGE120，则ABCDEF__________．AECαGFBD14．如图，ABCDEFGHIK的度数为_________．BAGCKHFIDE15．如图，ABCDEFG的度数等于（）．A．360B．450C．540D．720AGBFCMNED16．在一个多边形中，除了两个内角外，其内角之和为2002，则这个多边形的边数为（）．A．12B．12或13C．14D．14或1517．有一个边长为4m的正六边形客堂，用边长为50cm的正三角形瓷砖铺满，则需要这类瓷砖（）．A．216块B．288块C．384块D．512块18．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先行进一米，此后原地逆时针方向旋转0180，被称为一次操作，若5次操作后发现赛车回到出发点，则角为（）．A．720B．108或144C．144D．720或14419．如图，在凸六边形ABCDEF中，已知ABCDEF成立，试证明：该六边形必有两条对边是平行的．CDBAEF20．已知凸四边形ABCD中，AC90．（1）如图①，若DE均分ADC，BF均分ABC的邻补角，判断DE与BF的地点关系并证明；（2）