对学生思维训练的几点思考

益智数学，自主课堂――对小学生数学思维训练的几点看法桃源县漳江小学朱丽芳背景简介：数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。《标准（2022年版）》中明确指出：“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。”、“数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。”随着新课程改革的不断深入，我们在打造高效课堂的路上边走边探索，边走边反思，常常也会收获意外的惊喜。案例描述：那天，是一堂“两位数乘两位数”的练习课。我打算像往常一样，先让学生独立做《数学练习册》15分钟，然后再有针对性的进行讲解。可当我宣布学习任务没多久，就听到教室里有人在窃窃私语。我巡视了一下，发现大部分学生为了一道题目在“抓耳挠腮”，看来是遇到“拦路虎”了。题目如下：用2、4、5这三个数字组成一个两位数后，还剩下一个一位数。猜猜看，怎样组合，可以使它们的乘积最大？猜第一次:()()()=()猜第二次:()()()=()猜第三次:()()()=()你发现组合的规律了吗？想一想，怎样组合可以使它们的乘积最小？题目最后还建议学生“自己再找3个数字，验证你的发现，并与同学交流。”我边看题目边暗自思量：这道题目还真是有点麻烦呢，看似开放，可实际有规律可寻，怎么办呢？这个问题很有挑战性！我灵机一动，何不让大家试试呢!师：同学们，你觉得这道题目最关键的是什么？生1：要让组成的这个两位数和一位数乘积最大或最小。师：你理解得真好。那咱们先来研究怎样使它们的乘积最大。谁有了自己的想法？生1：我猜是542=108最大。生2：不对，是524＝208最大。师：哦，这样组合果然比108大，还有不同的看法吗？同学们稍顿了一下，有的已经在纸上开始写写画画了。我见状，立即启发学生：“用2、4、5组成的两位数和一位数是不是就只有这两道呢？”生齐答：不是。师：那请你赶快动笔写一写，算一算，还会有哪些情况呢？注意列举时要尽量做到有顺序。于是，我趁机要求学生以小组为单位开展合作学习，并鼓励学生：“先自己动笔写一写，再把你的想法和组内的同学说一说，比一比哪组想到的方法又快又好！”学生们立即跃跃欲试，纷纷行动起来。片刻过后，我组织学生开始汇报。师：谁能按顺序说说还能写出哪些算式？生：先排最小的2在十位，能组成254＝100和245＝120；再把4排在十位，能写出452＝90和425＝210；最后把5排在十位，能写出542＝108和524＝208这位同学一口气说完，我边听边板书在黑板上，心中窃喜：“大家认为他的想法怎么样？”生齐答：很好！师：让我们把掌声送给他！他利用了我们以前学过的排列与组合的知识，这样有顺序地思考，就能做到既不重复也不遗漏。请大家仔细观察这六道算式，你发现了什么？生：我发现425＝210积最大。师：大家同意吗？生齐答：同意。师：那你们再仔细看看，这样的组合有什么特点?小组同学讨论一下。（两分钟过后）生：我们组认为，要让乘积最大，用其中最大的数作为一位数，其余两个数组两位数，积最大。师：看看，2、4、5这三个数中，最大的是？（生：5）那让5做这个一位数，其余两个数可以组成24和42，怎样排是积最大的？生：从大到小排。师：也就是说，当5是一位数时，剩下的两个数中425的积最大，是吗？（生：是）那谁能把这个发现说完整点？生：三个数组合，用其中最大的数做为一位数，其余两个数组成一个最大的两位数，所得积最大。师：你们听清楚了吗？谁再用自己的话说一次？又一个学生回答。我趁热打铁：想一想，怎样组合可以使它们的乘积最小？学生们情绪再度升温：老师，我发现452＝90积最小。师：你发现什么规律了吗？同桌两人先说一说。生：我发现用最小的数作为一位数，其余两个数组成最小的两位数，所得积最小。我没想到学生的反应如此之快，急忙进一步诱导：那是不是所有的3个数都有这样的规律呢？你还有什么疑问？生：如果三个数中间有一个数是0怎么办？生：如果有4个数怎么办?、、、、、、最后学生们发现解决这类问题要考虑两点：一是尽可能把大数放在高位；二是尽可能让两个数的差最小。这样两个数相差越小，积越大。当下课铃声响起时，学生们还沉浸在活跃的气氛中滔滔不绝。虽然小小的一道题目花去了我一整节课的时间，但我觉得值！案例反思：首都师范大学阎颖教授曾说过“数学是什么？数学是使人变聪明的学科，因此数学老师的首要职责就是发展学生的思维”。益阳市桃江县桃花江小学校长、特级教师黄丽君在暑假国培班讲座时，就用自己的亲身经历告诉我们发展学生思维在数学学习中的重要作用。她说，一学期中她有大概三分之一的时间要在外学习交流，三分之一的时间开会做学校各项工作的安排部署，另外的三分之一用来教一个班的数学。我们不仅质疑：这么短的时间能做什么？可她就是做到了！她用三分之一的时间教给学生学习方法，做思维训练。她说如果学生了解了什么是一维空间、二维空间、三维空间，你还怕他分不清长度、面积和体积吗？当学生掌握了好的学习方法，难题都会做了，简单的还用你教吗？这样长期训练下来，她随便出去十天半个月，他们班的数学根本不用人代课，学生可以自己上，自己学，她回来只要稍加点拨，学生成绩就能一直位居同年级首位。还有广东省小学数学特级教师孔珍，从小学四年级起就带着学生做课题研究，这些经过思维强化的孩子高中毕业后多数出国留学或考入了国家重点大学深造。我想说，做这样老师的学生真是幸福！他们成功的经历各不同，但又有共性，那就是：关注学生思维的训练！下面我想结合自身的教学经验，谈谈对学生思维训练的几点做法：一、认真研读教材，做到深刻领会

经过一轮的课改实验，新教材给广大教师所呈现的图文并茂、形象直观、生动有趣、贴近学生生活。然而，当我们用心去翻阅教材时，不难发现，教材的很多内容精而少，只见相应的主题图、几句对话、几个问题等。那么，如何创造性地使用教材，达到训练学生思维的目的呢?

首先，我们应该明确每册教材所要达成的目标，对每册教材的整体架构和主要知识板块，必须做到全面掌握，心中有数。这样才能在时间分配和重点处理上有的放矢，科学合理。另外，明确每个单元应达成的教学目标,对每个单元的重点知识重难点必须清楚明白，并在课堂教学中指导学生采取合理的学习方式。最后，要明确每节课应达成的教学目标。把每一课、每一幅图中蕴涵的教学因素都发掘出来，要根据教学实际合理地组织教材，在此基础上再备课。例如，人教版小学数学四年级上册中”积的变化规律”的教学，教材中的例题只为我们提供了”一个因数不变，另一个因数乘或除以几(0除外)，积也乘或除以相同的数”的规律。我们就要合理补充教材，将两个因数同时乘或除，以及一个因数乘，另一个因数除的这两种情况考虑进来，引导学生进一步探究积的变化规律。这样不但训练了学生的发散思维，也为后面学习商的变化规律打好基础。二、加强变式训练，做到举一反三精心设计课堂练习，不仅能帮助学生掌握所学知识，形成解题的技能、技巧，而且是训练学生思维，发展智力，培养能力的关键环节。因此，教师设计课堂练习就具有针对性、层次性和创造性，并根据教学内容、教学要求和学生认知实际，采用“相同起点，不同终点，分层达标”的方法，对各类学生进行针对性的训练。例如，在教学比例知识这一章节中，为了使学生对正比例和反比例的意义理解得更透彻，在思维训练课中，我先安排以下两题的练习：

①一物体在AB直路上做了一次往返运动，去时用8分钟，回来时用10分钟。

往返时间的比8:10＝4:5

往返的速度的比:＝5:4

②两物体在AB两地相向而行，甲每分行35米，乙每分行28米，5分钟相遇。

甲乙的速度比35:28＝5:4

相遇时甲乙的路程比(35×5):(28×5)＝5:4

通过计算，使学生掌握了当路程一定时，速度和时间成反比例，当时间一定时，路程和速度是成正比例，学生对核心的、基本的概念(正反比例意义)进行了抽象和概括，帮助学生进一步理解了正反比例的意义，在此基础上，可引导学生解决以下新问题。

③加工一批零件，甲独做3天完成，乙独做要4天完成，两人同时加工到完成任务时，甲已做了96个零件，这批零件共有多少个？

由于学生对正反比例的意义的理解达到了很高的概括程度，因此解决以上问题并不难，由于甲乙两人的工作时间相同，工作量与工作效率成正比例。

甲乙的工作效率比是4:3，所以甲乙的工作量的比是4:3

96÷4×(4＋3)=168(个)

从以上例子证明，学生理解原有的概念的概括程度起着决定性的作用，举一反三，在变式练习中形成了知识的思维训练。三、结合生活实际，做到活学活用在平时的教学中，教师应挖掘教材练习中蕴含的智力因素，紧密联系生活实际，强化学生的求异思维，使他们在课堂上始终保持主动学习的精神状态，从而达到有效的思维训练的目的。例如，教学长方体体积计算的一堂思维训练课中，某教师首先出示了一道这样的例子：①长方体冰箱，底面积1200平方厘米，水深35厘米，把箱中的水倒入另一个底面积为2400平方厘米的长方体水池，求此时水深多少厘米？教师在教学中借助实物模型，边演示边讲解，帮助学生分析和掌握本题重要因素，水的体积不变，只是由于容器底面的大小变化造成了水面高度的变化。学生抓住本题的重要因素，解题就非常容易了。

解：1200×35÷2400＝(厘米)

由于学生牢固地掌握了这一题的重要因素，对后继他的学习就非常有所帮助。

②长方体冰箱，底面积1200平方厘米，深35厘米，箱中水面高10厘米。现放进一个棱长为20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。求此时水面高多少厘米？此题是一个较复杂的问题，这就需要教师在教学中帮助学生认真寻找以上两题中的共同因素：水的体积不变，造成水面高度改变是由于水的占地面积改变。水的占地面积由原来的1200平方厘米，减少到现在只有1200－400＝800平方厘米。揭示以上两题的共同因素，迁移就自然地形成了。

1200×10÷(1200－400)＝15(厘米)

这样的迁移水到渠成，使学生感到自然，同时使学生体会到知识的内在联系，活学活用，有利于提高他们的思维能力。四、注重教学实效，做到长抓不懈思维品质的一个重要特征是思维逻辑严谨、过程有条理、思维结果正确，即思维具有严密性。在教学中有计划、有目的地剖析“典型错题”，引导学生发现错误，找出错因，可以培养学生严格审视事物的习惯，做到思维过程严谨，结论准确无误，从而提高思维的严密性。刚上初中的女儿就对她的数学老师赞赏有加，说她不但上课风趣幽默，还最喜欢给他们出难题，有时一个题目变变变，能写出十几个变式题，她还以“每日一题”的形式来逐步培养学生的思维能力。第一个月据说学生摸不着头脑，都说老师出的题太难，到了第二个月，学生慢慢适应，数学成绩果然有长进，每次考试无论多难的题目，都会有学生拿满分。不得不说，这是一位既有经验又有远见的好老师!在学了“积的变化规律”后，我给我的学生出了这样的习题:①一个长方形操场的面积是300平方米，如果宽增加到原来的4倍，长不变，操场现在的面积是多少平方米?②一个长方形操场的面积是300平方米，宽是10米，现在将宽增加到40米，长不变，操场现在的面积是多少平方米?③一个长方形操场的面积是300平方米，宽是10米，现在将宽增加了40米，长不变，操场现在的面积是多少平方米?这样的题目经常有，但学生还是经常错。通过这样典型题目的对比，让学生区别“增加到”和