相似三角形讲义教师版

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形图形的放大或减小，称为图形的放缩运动。把形状相同的两个图形说成是相似的图形，也许就说是相似性。注意：⑴相似图形重申图形形状相同，与它们的地点、颜色、大小没关。⑵相似图形不不过指平面图形，也包含立体图形相似的状况。⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，此中一个图形可以看作是由另一个图形放大或减小获得的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．相似多边形的性质：假如两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比率。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比率线段有关看法及性质（1）有关看法1、比：采纳同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，那么就说这两am条线段的比是a：b＝m：n（或bn）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。ac3、比率：两个比相等的式子叫做比率，如bdac4、比率外项：在比率bd（或a：b＝c：d）中a、d叫做比率外项。ac5、比率内项：在比率bd（或a：b＝c：d）中b、c叫做比率内项。ac6、第四比率项：在比率bd（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比率项。ab7、比率中项：假如比率中两个比率内项相等，即比率为ba（或a:b＝b:c时，我们把b叫做a和d的比率中项。比率线段：关于四条线段a、b、c、d，假如此中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即ac（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比率线段，简称比率线段。（注意：在求线段bd比时，线段单位要一致，单位不一致应先化成同一单位）（2）比任性质acadbc1.基天性质:bd（两外项的积等于两内项积）acbd2.反比性质：bdac(把比的前项、后项交换)更比性质(交换比率的内项或外项)：4.合比性质：acabcd（分子加（减）分母,分母不变）bdbd．注意：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间badcacac．发生相同和差变化比率仍建立．如：dabcbdabcd等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）假如acem(bdfn0)，那么acema．bdfnbdfnb注意：(1)此性质的证明运用了“设k法”，这类方法是有关比率计算，变形中一种常用方法．应用等比性质时，要考虑到分母能否为零．可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．知识点三：黄金切割1）定义：在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），假如ACBC，即AC=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金切割，点C叫做线2ABAC段AB的黄金切割点，AC与AB的比叫做黄金比。此中AC51AB≈AB。22）黄金切割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金切割点.作法：①过点B作BD⊥AB，使；②连接AD，在DA上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE，则点C就是所求作的线段AB的黄金切割点.黄金切割的比值为：.（只需求记着）3）矩形中，假如宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。知识点四：平行线分线段成比率定理(一)平行线分线段成比率定理平行线分线段成比率定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比.例.已知l1∥l2∥l3,ADlBElCFl可得

123推论:平行于三角形一边的直线截其余两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比率.（1）是“A”字型由DE∥BC可得：ADAE或BDEC或ADAE.此推论较原定理应用更加DBECADEAABAC广泛,条件是平行.推论的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比率.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即利用比率式证平行线)定理:平行于三角形的一边,并且和其余两边订交的直线,所截的三角形的三．．．．．边与原三角形三边对应成比率.．．．．．．．平行线均分线段定理：三条平行线截两条直线,假如在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。★★★三角形一边的平行线性质定理定理：平行于三角形一边的直线截其余两边所得的线段对应成比率。几何语言∵△ABE中BD∥CEABAD上上∴BCDE简记：下下ABADBCDE上上下下归纳：ACAE和ACAE推行：近似地还可以获得全全和全全★★★三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其余两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比率.★★★三角形一边的平行线的判判定理三角形一边平行线判判定理假如一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比率，那么这条直线平行于三角形的第三边.三角形一边的平行线判判定理推论假如一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比率，那么这条直线平行于三角形的第三边.★★★平行线分线段成比率定理1．平行线分线段成比率定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比率.用符号语言表示：AD∥BE∥CF,ABDE,BCEF,ABDE.BCEFACDFACDFAD2．平行线均分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如BE果在向来线上所截得的线段相等，那么在另向来线上所截得的线CF段也相等.用符号语言表示：

ADPBEPCF

AB

BC.DE

DF重心定义：三角形三条中线订交于一点，这个交点叫做三角形的重心.重心的性质：三角形的重心到一个极点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.知识点三：相似三角形1、相似三角形1）定义：假如两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比率，那么这两个三角形叫做相似三角形。几种特别三角形的相似关系：两个全等三角形必定相似。两个等腰直角三角形必定相似。两个等边三角形必定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不必定相似。增补：关于多边形而言，全部圆相似；全部正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比率。3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的

相似比。如△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF。相似比为k。4）判断：①定义法：对应角相等，对应边成比率的两个三角形相似。②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其余两边订交，所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似的判判定理：判判定理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判判定理2：假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比率，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比率且夹角相等，两三角形相似．判判定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比率，两三角形相似．直角三角形相似判判定理:○1.斜边与一条直角边对应成比率的两直角三角形相似。○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。增补一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD2=AD·BD，AC2=AD·AB，BC2=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.增补二：三角形相似的判判定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比率的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：假如一个三角形的两边和此中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比率，那么这两个三角形相似。相似三角形的性质①相似三角形对应角相等、对应边成比率.②相似三角形对应高、对应角均分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比).③相似三角形对应面积的比等于相似比的平方.2、相似的应用：位似1）定义：假如两个多边形不但相似，并且对应极点的连线订交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。需注意：①位似是一种拥有地点关系的相似，因此两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不必定是位似图形。②两个位似图形的位似中心只有一个。③两个位似图形可能位于位似中心的双侧，也可能位于位似中心的一侧。④位似比就是相似比。2）性质：①位似图形第一是相似图形，因此它拥有相似图形的全部性质。②位似图形是一种特别的相似图形，它又拥有特别的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）。③每对位似对应点与位似中心共线，不经过位似中心的对应线段平行。牢固练习：典型例题例1、.弦AB和CD订交于⊙o内一点P,求证:PA·PB=PC·PD

AOD例2：如图，△ABC中，AD是∠BAC的均分线，AD的垂直均分线

C

APB交AD于E,交BC的延长线于F求证：△ABF∽△CAF

EBFDC例3、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D，若AB=6；AAD=2；则AC=；BD=；BC=；D例4、如图：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC于D，F若E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F，

BCAD求证：AB:AC=DF:BFBEC例5.如图：小明想丈量一颗大树AB的高度，发现树的影子A恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得CD=4m,BC=10m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？针对性练习DBC1、判断①所有的等腰三角形都相似．（）②所有的直角三角形都相似．（）③所有的等边三角形都相似．（）④所有的等腰直角三角形都相似．（）2、Ｒt△ABC的斜边AB上有一动点Ｐ（不与点A、B重合），过Ｐ点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，则满足这样条件的直线共有多少条，请你画出来。假如两个相似三角形的面积之比为1:9,则它们对应边的比为；对应高的比为。周长的比为。4.假如两个相似三角形的面积之比为2:7,较大三角形一边上的高为，则较小三角形对应边上的高为。如图，小华在夜晚由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他身后影子的顶部恰好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点QCD时，发现他身前影子的顶部恰好接触到路灯B的底部，已知小华的身高是，两个路灯的高度都是，设AP=x(m)。

APQB求两路灯之间的距离；(2)当小华走到路灯B时，他在路灯下的影子是多少？常有的相似三角形小结：二、牢固练习：1、有一张比率尺为14000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实质周长是m，面积是m22、有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为，面积是。3、两个相似三角形的对应角均分线的长分别为10cm和20cm，若它们的周长的差是60cm，则较大的三角形的周长是，若它们的面积之和为260cm2，则较小的三角形的面积为2cm4、照相机镜头的取景框长16毫米。为了风景照的视觉成效最好，人像应在取景框长的黄金切割点处。如图，要拍左边的风景，人站在右边，则人像应距左边框_____毫米。A5、如图，若ABC的中线AD和中线BE交于点G，ABG的面积如图，若ABC的中线AD和中线

EGBDCBE交于点G，ABG的面积为4，ABC的面积为______。6、如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是。7、以下各组的两个图形，必定相似的是（）A、两条对角线分别对应成比率的两个平行四边形；B、有一个角对应相等的两个菱形；C、等腰梯形的中位线把它分成的两个等腰梯形；D、对应边成比率的两个多边形。9、如图，在平行四边形ABCD中，已知AE交BC于点E，

ADFBEC交BD于点F，且BE2=EF·EA。求证：AB2=BF·BD。10、如图，在△ABC中，已知EF∥AC，D是BC上一点，连接AAD，则△ABD与△BEF的面积相等。求证：FBE2=BD·BC。BDEC11、如图，由边长为1的25个小正方形构成的正方形网格上有一个△ABC；在网格上画出一个与△ABC相似且面积最

CB大的△A1B1C1，使它的三个极点都落在小正方形的极点上，A求△A1B1C1的最大面积。三、课后练习1、假如△ABC∽△A′B′C′，相似比为k(k≠1)，则k的值是（）A．∠A：∠A′B．A′B′：ABC．∠B：∠B′D．BC：B′C′2、若△ABC∽△A′B′C′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B′等于（）A．30°B．50°C．40°D．70°3、三角形三边之比3：5：7，与它相似的三角形最长边是21cm，另两边之和是（）A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm4、如图AB∥CD∥EF，则图中相似三角形的对数为（）A．1对B．2对C．3对D．4对5、△ABC∽△A1B1C1，相似比为2：3，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为5：4，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A．B．C．D．6、在比率尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实质距离是（）A．200cmB．200dmC．200mD．200km7、已知线段a=10，线段b是线段a上黄金切割的较长部分，则线段b的长是（）A．B．C．D．8、若则以下各式中不正确的选项是（）A．B．C．D．9、已知△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且AE=，EC=，AD=，DB=1，则以下式子正确的选项是（）A．B．C．D．10、如图：在△ABC中，DE∥AC，则DE：AC=（）A．8：3B．3：8C．8：5D．5：811、计算（1）若求的值.（2）已知：且2a－b＋3c=21，求a，b，c的值.12、在等边△ABC中，P是BC上一点，AP的垂直均分线分别交AB、AC于M、N，求证：△MBP∽△PCN.相似三角形经典大题分析1.如图，已知直线l1:y2x8与直线l2:y2x16订交于点C，l1、l2分别交x轴于33A、B两点．矩形DEFG的极点D、E分别在直线l1、l2上，极点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．1）求△ABC的面积；2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；3）若矩形DEFG从原点出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设挪动时间为t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

S，求S关于yl1DCAO（）BxFG【答案】（1）解：由2x8，得x4．A点坐标为，．33040由2x160，得x8．B点坐标为8，0．∴AB8412．y28，x，由．33解得y∴C点的坐标为5，6．．y2x616∴S△ABC1·1126．2AByC236288（2）解：∵点D在l1上且xDxB8，yD8．33∴D点坐标为8，8．又∵点E在l2上且yEyD，2xE．．8168xE4∴E点坐标为4，8．OE844，EF8．（3）解法一：①当0≤t3时，如图1，矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（t0时，为四边形CHFG）．过C作CMAB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB．yyyEl1EDl1EDl1CDCCRRRAOFMGBxAFOGMBxFAGOMBx（图）（图2）（图3）1∴BGRG，即tRG，∴RG2t．BMCM361128t．∴SS△ABCS△BRGS△AFH36t2t8t223即S4t216t44．333282t当3t8时，如图2，为梯形面积，∵G（－）∴,8t,0GR=(8t)8∴s14[2(4t)882t]8t80333233333当8t12时，如图3,为三角形面积，s1(82t)(12t)t28t482332．如图，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）．动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC运动，速度是1厘米／秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q．当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．1）若a4厘米，t1秒，则PM______厘米；2）若a5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；（4）能否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明原由．【答案】解：（1）PM3DQCD，

QC4（2）tPN2，使△PNB∽△PAD，相似比为3:2

P

NAMBA（3）QPM⊥AB，CB⊥AB，AMPABC，△AMP∽△ABC，PMAM即PMat，QPMt(at)，BNABtaa当梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，即(QPAD)DQ(MPBN)BM223t(at)3(a1)t(at)tt6aaa，22化简得ta6Qt≤3，6a≤3，则a≤6，3a≤6，a4）Q3a≤6时梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CNPMt(at)3t，把t6a代入，解之得a23，因此a23．a6a因此，存在a，当a23时梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN

MB的面积相等．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，此中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答以下问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明原由；2（2）设△BPQ的面积为S（cm），求S与t的函数关系式；（3）作QR由于∠B=600,因此△BPQ是等边三角形.(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,因此S△BPQ=1×BP×QE=1(6-t)×3t=－3t2+33t；222000(3)由于QR∥BA,因此∠QRC=∠A=60，∠RQC=∠B=60，又由于∠C=60,因此△QRC是等边三角形,因此QR=RC=QC=6-2t因.为BE=BQ·cos600=1×2t=t,2因此EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,因此EP∥QR,EP=QR,因此四边形EPRQ是平行四边形,因此PR=EQ=300由于△APR～△PRQ,t,又由于∠PEQ=90,因此∠APR=∠PRQ=90.因此∠QPR=∠A=600,因此tan600=QR,即62t3,因此t=6,PR3t5因此当t=6时,△APR～△PRQ5．在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA＝90o，CB＝3，OA＝6，BA＝35．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．1）求点B的坐标；2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的分析式；3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内能否存在另一个点N．