物理分辨率与计算分辨率的探讨

HarbinInstituteofTechnology数字信号处理报告题目：物理分辨率与计算分辨率的探讨院（系）电子与信息工程学院学科信息与通信工程（51）学生学号哈尔滨工业大学物理分辨率与计算分辨率的探讨摘要：本文研究了有限长序列在进行DFT变换后的频谱泄漏问题，对于产生这种现象的原理进行了方针和分析，重点介绍了物理分辨率和计算分辨率，明确了二者的定义，分析了他们的区别和联系，并从分辨率的角度解释了有限长序列频谱的一些“奇怪”的现象，最后对减小频率泄漏的方法做了简单说明。关键词：频谱泄漏物理分辨率计算分辨率分辨率是信号处理课程中一个基本的概念，它包括频率分辨率和时间分辨率，这里我们重点来研究前者。频率分辨率可从两个方面来定义：第一，某个算法（如谱分析方法、功率谱估计方法等）将原信号中两个靠的很近的谱峰仍然能保持分开的能力，即物理分辨率；第二，在进行DFT时，频率轴上所能得到的最小频率间隔，即通常所说的计算分辨率。一般说的频率分辨率是指物理分辨率。下面针对具体问题做出分析。（文中所有图的横坐标均采用归一化角频率）1频谱泄漏问题DFT是有限长序列的傅里叶变换，有限长数据就相当于原来的无限长数据在时域乘了一个矩形函数（数据截断），时域相乘对应频域卷积，必然会造成得到的频谱与原来的频谱不相同，主要的表现为频谱的扩散，也就是通常所说的频谱泄漏。可以设想如果窗谱是冲击函数，频域卷积之后与原来的频谱将相同，但是冲击函数对应的时域窗为无穷宽的均匀函数，相当于没有进行数据截断，所以，只要窗函数有一定宽度，频谱泄漏是必然要发生的。但是我们在MATLAB中运行材料中给的程序时发现了一个奇怪的现象，即非整数周期的信号采样的DFT结果会“走样”（频谱泄漏），如图1；而整数周期的，不管我们怎么调整周期个数却不会出现频谱泄漏的问题，如图2、图3和图4，这似乎是与理论分析相矛盾的，这是怎么回事呢？图1非整数周期图2一个整数周期图3两个整数周期图4三个整数周期2从分辨率的角度分析在给出的材料中，从时域和频域两个角度对以上的现象进行了分析，其中时域的分析是很好理解的，频域的分析相对要复杂一下。下面我将结合材料中的频域分析，从分辨率的角度对这个问题进行讨论。首先，需要明确的是DTFT和DFT的关系。DTFT是离散时间序列的傅里叶变换，把序列映射到连续归一化频率域；DFT是离散时间序列的离散傅里叶变换，把序列映射成离散的频率序列。DTFT是具有物理意义的变换，DFT则是用于近似计算DTFT的工具，而FFT只是DFT的快速算法。最终我们看到的DFT结果是由两部分合成出来的，一部分是具有物理意义的信号的DTFT结果，另一部分是分析手段（加窗，补零等）所带来的误差信号。从材料中，我们已经认识到“DTFT是有限长离散序列的灵魂”。本文开头简单介绍过物理分辨率和计算分辨率的定义，下面做具体按说明。物理分辨率是指两个靠的很近的频谱峰值能够分辨的能力，可用来表示。一般来说，在时域抽样率一定的情况下，信号长度越长，即抽样点越大，则物理分辨率越高。有这样的关系（1）其中是时域抽样间隔。需要注意的是，这个是指真正实际的信号长度，抽样点数也是指这个长度上的抽样点数，而不是补零以后的长度或抽样点数。也就是说物理分辨率只取决于时域信号的长度。计算分辨率是指对于一个点序列做点DFT，所得到的每两根谱线间的距离（2）而这里的不再是实际的点数，而是计算DFT时候的点，如果经过补零的话，将是补零以后的点数。在MATLAB程序中，物理分辨率是实际的分辨率，可是我们看到的都是DFT之后的结果，也就是计算分辨率。所以，当物理分辨率足够高的时候，我们可以适当提高计算分辨率，这样看不到的谱分量就能看到了。但是当时域信号长度不足时，物理分辨率低，即使再怎么提高计算分辨率，也是无济于事的。这样，所有的理论依据都已经形成，可以用来解释频谱泄漏时的“奇怪现象”了。整数周期的信号采样的DFT结果真的“不会”出现频谱泄漏的现象吗？其实我想原理已经很明白了，频谱泄漏是肯定存在的，只是抽样点少导致计算分辨率低，使我们没有看到，让人产生没有频谱泄漏的错觉。我们假定时域抽样信号x1长度为N（图中为32），在材料给出的程序中，有这样一条语句y1=fft(x1)，做序列的N点DFT，导致出现“无”频谱泄漏的结果，当我们把此语句替换为y1=fft(x1,n)时（其中n>N，图中为2N），程序将在原始时域序列的末尾不上N个零，我们得到了频谱泄漏的图形。对比如图5所示。图5补零前后的DFT的幅值因为我们利用DFT计算频谱时只能看到离散点上的频谱，也就是只限制在计算分辨率的整数倍处的谱，而不是连续频率函数，这就是通常所说的栅栏效应，减小此效应的方法就是提高计算分辨率，使频域抽样更密，即在不改变是与数据的情况下，在时域的末尾添加一些零值，这样并未改变物理分辨率，却使地谱线更密，谱线变密后以前看不到的谱分量就能看到了，这样就很好地解释了图5中所示的情形。在栅栏效应相差不大时，为什么整数周期的信号采样的DFT结果较为理想，而非整数周期的结果会走样？我们结合材料中给出的频域分析，有限长数据就相当于原来的无限长数据在时域乘了一个矩形函数，时域相乘对应频域卷积。矩形函数的幅频特性为（3）式（3）类似于抽样函数，在处均为零（其中是矩形函数的抽样点数），而在时取最大值。而正弦函数的傅里叶变换为，其中（其中为正弦序列的周期）。当频域卷积之后，相当于将矩形函数频谱左右搬移，然后相加，也就是材料给出的程序中提到的正负频率的问题。若（为正整数），则经DFT变换，抽样出来的那些点除了最高点以后，其他的均为零值，所以出现了图6中那中理想的情况。而当时，则不会取到这些零点。图6DTFT和DFT的结果这样，我们就从理论上解释了频谱泄漏中提出的所有问题。物理分辨率和计算分辨率的关系前面关于物理分辨率和计算分辨率的理论分析已经很多了，下面从仿真的角度谈谈两者的为区别和联系。图7中相对于抽样频率，信号频率（100Hz）较小，使得正负频率分量挨得很近，而我们又把序列的记录长度设定的很小，这样物理分辨率不足，导致频率的两根谱峰区分不出来，DTFT曲线看似只有一个谱峰。此时增加计算分辨率（补零），如图8，只是增加了频域抽样点的个数，不能带来质的改变。图7时域信号、DTFT和DFT图8补零之后的时域信号、DTFT和DFT另外，有一种错误的观点是：提高时域的抽样点数N，能提高物理分辨率。这是不对的。因为如果时域的数据长度不增加，增大N相当于增大抽样频率，抽样点数和抽样频率增加的倍数是相同的，根据公式（1），既不能提高物理分辨率，也不能提高计算分辨率。图9和图10是程序运行结果。图9采样率8kHz时图10采样率16kHz时看似以上两图不一样，是由于横坐标对抽样频率归一化，因为抽样频率不同，造成了横坐标的差别，实际上两图是一样的，物理分辨率和计算分辨率均为400Hz。综上，计算分辨率是做DFT时所得到的最小频率间隔，该分辨率是靠计算得出的,并不能反映真实的频率分辨能力。物理分辨率才是实际的频率分辨率，一般提到分辨率都是只物理分辨率。当做DFT的点数和时域信号实际的点数相同时，二者在数值上相同。3减少频谱泄漏的方法看过了材料中关于窗函数的介绍，简答讨论一下减小泄漏方法。首先是取更长的数据，也就是窗宽加宽，这将带来运算量和存储量增加的负担；其次使用其他的缓变的窗函数，而不是矩形窗，使得数据被缓慢的截断。这里只对hanning窗进行仿真和对比。由图11可知，把矩形窗改为hanning窗，尽管不能防止频谱泄漏，但性能有所改善。图11矩形窗和hanning窗时的频谱泄漏4总结通过对老师给的材料的学习，对于分辨率问题有了很深的体会。在能够解释频谱泄漏中一些奇怪现象的同时，对物理分辨率和计算分辨率有了自己的理解。物理分辨率与数据的长度直接关联，它反映的是真正的频率分辨能力。计算分辨率是通过计算得到的，并不是真正意义上的分辨率，它不能反映真正的频率分辨能力。通过加密数据点或者对原始数据补零，可以使频谱变得较平滑，减小栅栏效应带来的影响，但并不能真正地提高分辨率