概率统计实验指导书v

《概率论与数理统计实验指导书》计算机学院2010年10月目录前言……………………3第一章MATLAB的基本使用方法……………………4第二章概率分布(概率密度)、分布函数和上分位点的数值计算………………12第三章统计图及概率密度与分布函数作图…….22第四章随机变量的数字特征……………………..33第五章正态分布……………………39第六章参数估计…………………..50第七章假设检验………….……………………..56第八章实验选题、示例及实验报告模版………..61附录1MATLAB的固有常数与常用数学函数……..73附录2MATLAB数理统计工具箱简介……………..75附录3MATLAB常见问题及其解决方法………….80前言概率论与数理统计是研究随机现象并找出其统计规律的一门学科,它广泛应用于社会、经济、科学等各个领域.随着社会生产力与科学技术的发展,这门学科的理论和应用也得到了迅速发展,特别是计算机技术及数学软件的发展使得我们不需要过多担心统计分析,即参数估计、假设检验、方差分析和回归分析等问题中的复杂的计算；也不需要过多担心大量的统计数据带来的计算量等问题.当今社会是一个信息高度发达、人们的社会经济活动日益频繁的社会,大量的信息、数据需要人们处理.如何从这些海量的信息中提取有用的信息,用来指导人们的社会实践活动,越发显得必要而迫切,从而为数理统计提供了日益广阔的舞台.社会实践对数理统计的日益广泛而迫切的需求,对我们的教学活动提出了这样的要求：加强数理统计的教学,充实其内容,为社会实践提供更好的服务.但要将这一要求体现到数理统计的教学中颇为困难.这是因为,目前一般工科院校均将概率论与数理统计列为一门课程.这样做的优越性自不待言,它能让学生清楚地体会二者的密切关系,将两者的思想方法融会贯通.但弊端也由此而来,由于将二者列为一门课,分配给它们的课时就相对较少,这使得教与学双方均感到这门课教学困难,学完之后也是感到没有完全理解和掌握,应用起来自然也感到较为困难.如何解决这一问题,增加课时固然是一个选择,但在目前各门学科的课时均在压缩的大趋势下不太现实,剩下的选择只能是向先进的教学方式要效益.掌握数学软件的一些基础的操作,无疑会给每一个概率统计工作者提供了极大的方便.目前的一些概率统计新编教材也都或多或少地增加了部分数学软件内容.在概率统计课程教学中介绍数学软件的一些相关用法已成为教学改革发展的趋势.考虑到概率统计这门课的学时较紧,学生的数学软件基础不尽相同,如何在较短的时间内让学生能使用某一数学软件处理相关的概率统计问题已成为一个教改研究问题.概率论与数理统计这门课的课时一般安排46学时,其中概率论与数理统计部分的学时分配大致是：概率论30学时,数理统计16学时.现在我们要加强数理统计统计的教学,虽然可以适当地压缩一下概率论的学时,但概率论重要而且难学,因而压缩的空间有限.如何在此基础上较大幅度地充实数理统计的教学内容而又不致使教学效果受到影响甚或是提高?引入数学工具软件MATLAB,将大量繁重的计算任务交由MATLAB处理,应当是一个出路.将MATLAB引入概率统计的教学后,概率统计中的数据处理数值计算变得轻而易举,使得我们可以将精力集中于讲清处理问题的思想方法,极大地提高教学效率.用MATLAB软件辅助《概率论与数理统计》课程的教学《概率统计》是研究随机现象统计规律的一门数学学科,该课程在处理问题的思想方法上跟学生已学过的其他数学课程有着很大的差异,学生学习时感到难以掌握,根据多年的教学实践,在教学过程中要注意这门课程的特殊性,即把培养学生掌握概率统计的基本思想方法,以及解决实际问题的能力放在首位,而解决实际问题需要进行大量的数值计算.为解决以上问题,我们可以利用MATLAB辅助教学,在MATLAB7．x版本中,仅统计工具箱(StatisticToolbox)中的函数就达200多个,功能已足以赶超任何其他专用的统计软件.在应用上,MATLAB具有其它软件不可比拟的操作简单、接口方便、扩充能力强等优势.第一章MATLAB的基本使用方法一、实验问题1.问题背景概率论与数理统计是研究大量随机现象统计规律的一门数学学科.如何对现实中的随机现象进行模拟和处理数据,成为概率论与数理统计实验课程的重要内容.在各种数据处理软件中,MATLAB以其功能强大、操作方便著称,赢得了广大用户的青睐.本实验学习MATLAB的经常使用的操作,掌握这些基本操作将大大提高进行实验的效率.2.实验目的与要求(1)熟练掌握MATLAB软件的基本操作;(2)熟练掌握MATLAB中数据输入的基本方法;(3)熟练掌握数据加、减、乘和除四则运算的基本方法;(4)熟练掌握函数求导数、求微分和积分运算的基本方法;(5)熟悉与排列、组合有关的操作命令．二、实验操作过程1.MATLAB的基本操作(1)启动与退出通常安装MATLAB的计算机,在其桌面上都有MATLAB的图标.双击MATLAB图标,就可以启动MATLAB.也可以从“开始”菜单中启动.启动MATLAB后,在MATLAB的主窗口中有几个小窗口.最常用的窗口是：命令窗口(CommandWindow);命令历史窗口(CommandHistory);工作空间窗口(Workspace).见图1-1.图1-1MATLAB启动画面在MATLA中,主要的操作都在命令窗口中进行.在命令窗口中运行过的命令存储在命令历史窗口中.运行命令产生的结果存储在工作空间窗口中.命令窗口是MATLAB中最重要的窗口.命令窗口中有命令提示符“>>”,所有的命令都在命令提示符后面输入.对命令历史窗口中存储的命令,可以用三种方式重新使用:①在命令历史窗口中双击该命令;②在命令历史窗口中,选定命令后,再回车,就会重新运行该命令;③把命令从命令历史窗口中拖拉到命令窗口中,经过修改,再回车.(2)MATLAB的常用命令在MATLAB中,最常用的命令有：help,clc,clear.(a)命令help这是MATLAB中使用最多的一个命令.用它可以查寻命令或函数的使用方法.比如,要知道正弦函数sin的使用方法,只要在命令窗口中输入：helpsin,回车即可显示出正弦函数的使用方式.(b)命令clc命令clc用来清空命令窗口.在命令窗口中输入:clc,再回车,即可清空命令窗口.(c)命令clear命令clear用来清空工作空间窗口.在命令窗口中输入:clear,再回车,就可以清空工作空间窗口.2.数据的输入在MATLAB中,所有的数据都是按矩阵的形式处理的,即便是一个标量,也看作是一行一列的矩阵.(1)标量的输入对于标量数据,只要在命令窗口中直接输入即可.例1在命令窗口中输入:a=4%将数值4赋给变量a.回车后显示:a=4在工作空间窗口中,可以看到变量a的图标,在命令历史窗口可以看到已经输入的命令:a=4.(2)行向量的输入(a)直接输入:数据放在方括号“[]”内，其间加逗号“,”或空格分开.例2在命令窗口中输入:a1=[1,3,6,8]%将行向量(1368)赋给变量a1.回车后显示:a1=1368(b)等差数列:以确定的步长等分区间,得到等差数列.如果向量中的数据构成等差数列,则可以用冒号算符来创建.例3在命令窗口中输入:a2=1:0.5:3%将区间[1,3]以0.5为步长等分,赋给变量a2.回车后显示:a2=1.00001.50002.00002.50003.0000当步长为1时,还可以省略步长.(3)列向量的输入(a)直接输入:数据放在方括号“[]”内，其间加分号“;”分行.例4在命令窗口中输入:b1=[1;3;6;8]%将列向量(1368)'赋给变量b1.回车后显示:b1=1368(b)把行向量转置成列向量:加转置运算符号“'”.例5在命令窗口中输入:b2=[1,3,6,8]'%将行向量(1368)转置后赋给变量b2.回车后显示:b2=1368(4)矩阵的直接输入简单的矩阵可以直接输入.其行间数据用逗号“,”或空格分隔，用分号“；”分行.例6在命令窗口中输入:A=[1,2,3;4,5,7]回车后显示:A=123457注意:在MATLAB中,无论是向量,还是矩阵,直接输入的时候都是用方括号“[]”括了进来.在方括号中的数据,如果是用逗号“,”分隔的,则数据在同一行中;如果是用分号“；”分隔的,则数据在不同行中.3.数组加、减、乘、除四则运算及其幂、开方、指数与对数运算(1)数组运算①数组与标量的四则运算数组与标量之间的四则运算是指数组中的每个元素与标量进行加、减、乘、除运算.例7对数组进行乘、除与加、减一个数的运算.在命令窗口中输入:x=[134;265;324];a=2*x-2c=x/2回车后显示:a=0462108426c=0.50001.50002.00001.00003.00002.50001.50001.00002.0000②数组间的四则运算在MATLAB中,数组间进行四则运算时,参与运算的数组必须具有相同的维数,加、减、乘、除运算是按元素的方式进行的.其中,数组间的乘、除运算符号为“.*”,“./”或“.\”.注意,运算中的小点号不能少,否则将不会按数组运算规则进行.若没有小点号,将按矩阵的乘和求逆矩阵运算,关于矩阵间的四则运算将在下面讨论.例8进行数组间的加、减法、乘法与除法运算.在命令窗口中输入:a=[134;265;324];b=[231;412;453];c=a+bd=a./b%注意比较没有小点号时的d=a/b矩阵运算.回车后显示:c=365677777d=0.50001.00004.00000.50006.00002.50000.75000.40001.3333由于数组的除法运算有点特殊,为了便于读者使用,我们对数组的除法运算规则总结如下:(a)数组间的除法运算为参与运算的数组中对应元素相除,结果数组与参与运算的数组大小相同.(b)数组与标量的除法运算为数组中的每个元素与标量相除,结果数组与参与运算的数组大小相同.(c)数组的除法运算符号有两个,即左除号“./”与右除号“.\”,它们的关系是:a./b=b.\a.4.矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括矩阵的四则运算、矩阵与标量的运算、矩阵的幂运算、指数运算、对数运算、开方运算以及矩阵的逆运算、行列式运算等.下面仅对矩阵的四则运算、矩阵与标量的运算进行说明.(1)矩阵的四则运算矩阵的四则运算与前面讲的数组运算基本相同,但也有一些差别.其中,矩阵的加、减运算与数组的加、减运算完全相同,要求进行运算的两个矩阵的大小完全相同,使用的运算符号也是“+”与“-”.例9进行矩阵加减运算.在命令窗口中输入:a=[12;35;26];b=[24;18;90];c=a+b回车后显示:c=36413116设矩阵A是一个i×j大小的矩阵,则要求与之相乘的矩阵B必须是一个j×k大小的矩阵,此时A与B矩阵才能进行相乘.矩阵的乘法运算使用的运算符号是“*”.例10进行矩阵乘法运算.在命令窗口中输入:a=[12;35;26];b=[241;890];c=a*b%注意比较d=b*a,可见a*b≠b*a.d=b*a回车后显示:c=182214657352622d=16303561当然,矩阵乘法也可以像数组乘法那样,进行矩阵元素的相乘,此时要求进行相乘的两矩阵大小完全相同,用的运算符号为“.*”.例11进行矩阵乘法“*”运算,比较矩阵元素间乘法“.*”运算.在命令窗口中输入:a=[120;25-1;410-1];c=[124;2510;0-1-1];d=c.*a%注意比较e=a.*c,可见a.*c=c.*a.e=a.*c回车后显示:d=140425-100-101e=140425-100-101在MATLAB中,矩阵的除法运算有两个运算符号,分别为左除“\”与右除“/”.矩阵的右除运算速度要慢一点,而左除运算可以避免奇异矩阵的影响.对于方程Ax=b,若此方程为超定方程,则使用除法运算符“\”与“/”可以自动找到使误差Ax-b的平方和最小的解.若此方程为不定方程,则使用除法运算符“\”与“/”求得的解至多有Rank(A)(矩阵A的秩)个非零元素,而且求得的解是这种类型的解中范数最小的一个.例12进行矩阵除法运算:解矩阵方程Ax=b.在命令窗口中输入:a=[213420;57820;211417;343138];b=[10203040]';x=b\a%方程x=A-1b,A存在逆矩阵.回车后显示:x=0.76671.18670.8767上例的方程Ax=b为超定情况.注意,结果矩阵X是列向量形式.(2)矩阵与标量的四则运算矩阵与标量间的四则运算和数组与标量间的四则运算完全相同,即矩阵中的每个元素与标量进行加、减、乘、除四则运算.需要说明的是,当进行除法运算时,标量只能做除数.例13进行矩阵与标量的四则运算.在命令窗口中输入:b=[213420;782021;173431];c=b+2d=b/2回车后显示:c=233622802223193633d=10.500017.000010.000039.000010.000010.50008.500017.000015.50005.函数求导数、微分和积分(1)数值微分与符号微分微分是高等数学中最基础的内容之一.在MATLAB中,符号微分由函数“diff”来实现.diff函数可同时计算数值微分和符号微分.当输入的参数是数值时,MATLAB能非常巧妙地对其进行数值微分;当输入的参数是符号字符串时,MATLAB同样能非常巧妙地对其进行符号微分.diff函数的调用格式如下:·diff(f)%对findsym函数返回的独立变量求微分,f为符号表达式;·diff(f,'a')%对a变量求微分,f为符号表达式;·diff(f,n)%对findsym函数返回的独立变量求n次微分,f为符号表达式;·diff(f,'a',n)或diff(f,n,'a')%对变量a求n次微分,f为符号表达式.例14对函数求一阶导数和.在命令窗口中输入:symsx;%syms创建变量x.f=sym('(x-1)^3/(x-1)');%sym和单引号创建变量符号表达式.b=diff(f);c=diff(f,'2')回车后显示:b=2*x-2c=2.0000同样地,函数diff也可对符号矩阵进行运算.此时,它是对符号矩阵中的每个元素进行微分.(2)数值积分与符号积分由高等数学可知,积分比微分复杂得多,很多情况下,积分不一定能成功.当在MATLAB中进行符号积分找不到原函数时,它将返回未经计算的命令.符号积分由函数“int”来实现.int函数的调用格式如下表示:·int(f)%对findsym函数返回的独立变量求不定积分,f为符号表达式;·int(f,v)%对v变量求不定积分,f为符号表达式;·int(f,a,b)%对findsym函数返回的独立变量求从a到b的定积分,f为符号表达式;·int(f,v,a,b)%对v变量求从a到b的定积分,f为符号表达式.例15计算含参变量的不定积分.在命令窗口中输入:symsualpha;%syms创建变量(sin(alpha*u),alpha)；回车后显示:ans=-1/u*cos(alpha*u)例16计算不定积分.在命令窗口中输入:symsxint(1/(1+x^2))回车后显示:ans=actan(x)例17计算不定积分.在命令窗口中输入:int('log(x)/exp(x^2)')回车后显示:Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.InC:\MATLAB6p5\toolbox\symbolic\@sym\int.matline58ans=int(log(x)/exp(x^2),x)上例中,当找不到原函数时,返回未经计算的函数.与函数diff一样,函数int也可对符号矩阵进行运算.此时,它是对符号矩阵中的每个元素进行积分.5.概率计算中常用的函数在古典概型中,计算概率时,经常要用到阶乘、组合数等,在MATLAB中,有相应的函数可以计算阶乘、组合.(1)计算阶乘在MATLAB中,用函数factorial计算阶乘.基本调用格式:·N=factorial(n)%计算出n的阶乘,并赋给N.例18计算阶乘3!.在命令窗口中输入:N=factorial(3)%计算3!,赋给变量N.回车后显示:N=6在使用这一函数时,要注意,当n不超过170时,可以正确地计算出n的阶乘;当n超过170后,因为超过了计算机中整数的表示范围,所以显示为Inf(即无穷大).(2)双阶乘的计算在MATLAB没有直接计算双阶乘的函数,但可以用连乘积函数prod来计算.当n是偶数时,双阶乘n!!=2*4*…*n.计算双阶乘用N=prod(2:2:n).例19计算偶数双阶乘8!!.在命令窗口中输入:N=prod(2:2:8)%计算偶数双阶乘8!!.回车后显示:N=384当n是奇数时,双阶乘n!!=1*3*…*n.计算双阶乘用N=prod(1:2:n).例20计算奇数双阶乘9!!.在命令窗口中输入:N=prod(1:2:9)%计算奇数双阶乘9!!.回车后显示:N=945也可以用prod函数计算阶乘.比如计算n的阶乘,只要在命令窗口中输入:N=prod(1:n),回车后就得到了n的阶乘.使用这个函数也要注意n不能过大.(3)计算组合数计算组合数的函数是nchoosek.其基本调用格式是:·N=nchoosek(n,k)%计算从n个元素中取k个的组合数:例21计算组合.在命令窗口中输入:N=nchoosek(7,3)%计算组合.回车后显示N=35第二章概率分布(概率密度)、分布函数和上分位点的数值计算一、实验问题1.问题背景在MATLAB中,对常见概率分布都有相应的概率密度函数(probabilitydensityfunction,简记为pdf);分布函数也叫累积分布函数(cumulativedistributionfunction,简记为cdf);还有逆累积分布函数.逆累积分布函数就是分布函数的反函数.例如,随机变量X在x处的分布函数值是p=F(x)=P{X≤x};反过来,给定概率值p,求出x就是在p点的逆累积分布函数值.在MATLAB中,所有的概率密度函数都带有后缀pdf;所有的累积分布函数都带有后缀cdf;所有的逆累积分布函数都带有后缀inv.常见的离散型随机变量的概率分布有:二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布.常见的连续型随机变量的概率分布有:均匀分布,指数分布,正态分布.还有统计函数(又叫抽样分布):t分布,χ2分布,F分布.本实验学习一些经常使用的关于概率分布的基本操作,掌握这些基本操作将大大提高进行实验和实际应用的能力.2.实验目的与要求(1)会利用MATLAB软件计算离散型随机变量的概率、连续型随机变量概率密度值,以及产生离散型随机变量的概率分布(即分布律);(2)会利用MATLAB软件计算分布函数值,或计算形如事件{X≤x}的概率;(3)给出概率p和分布函数,会求上α分位点,或求解概率表达式中的待定参数.二、实验操作过程1.二项分布X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数,事件A在一次试验中发生的概率是p,则在n次试验中A恰好发生k次的概率为,k=0,1,2,…,n.则称X服从参数为n,p的二项分布,记作X~B(n,p).(1)计算在x处,参数是n,p的二项分布的概率P{X=x}以及分布律在MATLAB中,二项分布的分布密度函数(分布律)是binopdf,其调用格式是:·y=binopdf(x,n,p)%计算在x处,参数是n,p的二项分布的概率.输入参数x,n,p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个或两个是标量,另外的输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例1事件A在每次试验中发生的概率是0.3,计算在10次试验中A恰好发生6次的概率.解在命令窗口中输入:p=binopdf(6,10,0.3)回车后显示:p=0.0368结果表明：参数是n=10,概率是p=0.3的二项分布在X=6处的概率为0.0368.例2事件A在每次试验中发生的概率是0.3,求在4次试验中A发生次数的概率分布.解在命令窗口中输入:p=binopdf(0:4,4,0.3)%0:4产生步长为1的等差数列0,1,2,3,4.回车后显示:p=0.24010.41160.26460.07560.0081计算的结果是:参数是n=4,概率是p=0.3的二项分布的分布律(当x=0,1,2,3,4时).(2)计算在x处,参数是n,p的二项分布的分布函数值或概率P{X≤x}二项分布的分布函数是binocdf,其调用格式是:·y=binocdf(x,n,p)%计算在x处,参数是n,p的二项分布的分布函数值.输入参数x,n,p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个或两个是标量,另外的输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例3事件A在每次试验中发生的概率是0.3,计算在10次试验中A至少发生6次的概率.解在命令窗口中输入:p=binocdf(6,10,0.3)%比较例2-1命令binopdf(6,10,0.3).回车后显示:p=0.9894结果表明：参数是n=10,概率是p=0.3的二项分布在x=6处的分布函数值F(6)=P{X≤6}=0.9894.2.泊松分布参数是λ的泊松分布P(λ),在X=x处的概率是(1)计算在x处,参数是λ的泊松分布的概率P{X=x}以及分布律在MATLAB中,泊松分布的分布密度函数是poisspdf,其调用格式是:·y=poisspdf(x,lambda)%计算在x处,参数是lambda的泊松分布的概率.输入参数x,lambda可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个是标量,另一个输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例4设随机变量X服从参数是3的泊松分布,求概率P{X=6}.解在命令窗口中输入:p=poisspdf(6,3)回车后显示:p=0.0504结果表明：参数是λ=3的泊松分布在x=6处的概率为0.0504.例5写出参数为3的泊松分布的前6项的概率分布.解在命令窗口中输入:p=poisspdf(0:5,3)%0:5产生步长为1的等差数列0,1,2,3,4,5.回车后显示:p=0.04980.14940.22400.22400.16800.1008计算的结果是,参数为λ=3的泊松分布的前6项的概率(当x=0,1,2,3,4,5时).(2)计算在x处,参数是λ的泊松分布的分布函数值或概率P{X≤x}泊松分布的分布函数是poisscdf,其调用格式是:·y=poisscdf(x,lambda)%计算在x处,参数是lambda的泊松分布的分布函数值.输入参数x,lambda可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个标量,另外一个输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例6设随机变量X服从参数是3的泊松分布,计算概率P{X≤6}.解在命令窗口中输入:p=poisscdf(6,3)%比较例2-4命令poisspdf(6,3).回车后显示:p=0.9665结果表明：参数是λ=3的泊松分布在x=6处的分布函数值F(6)=P{X≤6}=0.9665.3.超几何分布超几何分布的分布律是(1)计算在x处超几何分布的概率P{X=x}以及分布律在MATLAB中,超几何分布的分布密度函数是hygepdf,其调用格式是:·y=hygepdf(x,M,K,N)%计算在x处超几何分布的概率.输入参数x,M,K,N可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个,两个或三个是标量,另外的输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例7如果10件产品中有7件次品,从中任取5件,求其中有3件次品的概率.解在命令窗口中输入:p=hygepdf(3,10,5,7)回车后显示:p=0.4167例8如果10件产品中有7件次品,从中任取5件,求其中次品数的分布律.解在命令窗口中输入:p=hygepdf(0:5,10,5,7)回车后显示:p=000.08330.41670.41670.0833计算的结果是：当x=0,1,2,3,4,5时次品数的分布律.(2)计算在x处超几何分布的分布函数值或概率P{X≤x}超几何分布的分布函数是hygecdf,其调用格式是:·y=hygecdf(x,M,K,N)%输入参数x,M,K,N可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个,两个或三个是标量,另外的输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例910件产品中有7件次品,从中任取5件,求其中次品数不超过3的概率.解在命令窗口中输入:p=hygecdf(3,10,5,7)%比较例2-7命令hygepdf(3,10,5,7).回车后显示:p=0.5000结果表明:从中任取5件,其中次品数不超过3的概率F(3)=P{X≤3}=0.5.4.几何分布参数是p的几何分布,在X=x处的概率是(1)计算在x处,参数是p的几何分布的概率P{X=x}以及分布律在MATLAB中,几何分布的分布密度函数是geopdf,其调用格式是:·y=geopdf(x,p)%计算在x处,参数是p的几何分布的概率.输入参数x,p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个是标量,另一个输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例10设随机变量X服从参数是0.3的几何分布,求X=6时的概率.解在命令窗口中输入:y=geopdf(6,0.3)回车后显示:y=0.0353例11设随机变量X服从参数是0.3的几何分布,求X=1,2,…,5时的概率分布.解在命令窗口中输入:p=geopdf(1:5,0.3)回车后显示:p=0.21000.14700.10290.07200.0504计算的结果是:当x=1,2,3,4,5时前5项的概率,或者说概率分布.(2)计算在x处,参数是p的几何分布的分布函数值或概率P{X≤x}几何分布的分布函数是geocdf,其调用格式是:·y=geocdf(x,p)%计算在x处,参数是p的几何分布的分布函数值.输入参数x,p可以是标量、向量、矩阵.输出参数与输入参数的形式一致.其中输入参数中可以有一个标量,另外一个输入参数是向量或矩阵,这时,输出形式是向量或矩阵.例12设随机变量服从参数是0.3的几何分布,求概率P{X≤6}.解在命令窗口中输入:y=geocdf(6,0.3)%比较例2-10命令geopdf(6,0.3).回车后显示:y=0.9176结果表明:参数p=0.3的几何分布在x=6处的分布函数值是F(6)=P{X≤6}=0.9176.5.均匀分布(1)计算均匀分布的概率密度函数值若连续型随机变量X的概率密度为则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b),a,b为分布参数,且a<b.在MATLAB中,用函数unifpdf计算均匀分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=unifpdf(x,a,b)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数(参见例16),可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.例13设随机变量X服从区间[2,6]上的均匀分布,求X=4时的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=unifpdf(4,2,6)回车后显示:y=0.2500(2)计算均匀分布的分布函数值或概率P{X≤x}区间(a,b)上的均匀分布的分布函数是在MATLAB中,用函数unifcdf计算均匀分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=unifcdf(x,a,b)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数(参见例2-16),可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.例14设随机变量X服从区间(2,6)上的均匀分布,求事件{X≤4}的概率.解在命令窗口中输入:y=unifcdf(4,2,6)%比较例2-13命令unifpdf(4,2,6).回车后显示y=0.5000结果表明:对于区间(2,6)上的均匀分布,在x=4处的分布函数值F(4)=P{X≤4}=0.5000.6.指数分布(1)计算指数分布的概率密度函数值参数为μ的指数分布的概率密度函数是:注意许多教科书上用概率密度函数在MATLAB中,用函数exppdf计算指数分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=exppdf(x,mu)%输入参数可以是标量、向量或矩阵.例15设随机变量X服从参数是6的指数分布,求X=6时的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=exppdf(3,6)回车后显示y=0.1011例16设随机变量X服从参数分别为1,2,6的指数分布,求X=2时的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=exppdf(2,[1,2,6])%[1,2,6]为向量,此处表示参数分别为1,2,6.回车后显示:y=0.13530.18390.1194结果表示:三个参数μ=1,2,6的指数分布在x=2处的概率密度函数值.(2)计算指数分布的分布函数值或概率P{X≤x}参数为μ的指数分布的分布函数是在MATLAB中,用函数expcdf计算指数分布的分布函数值.基本调用格是:·y=expcdf(x,mu)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例17设随机变量X服从参数是6的指数分布,求事件{X≤3}的概率.解在命令窗口中输入:y=expcdf(3,6)%比较例2-15命令exppdf(3,6).回车后显示:y=0.3935计算结果是:参数μ=6的指数分布,在x=3处的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.3935.7.正态分布(1)计算正态分布的概率密度函数值若随机变量X的概率密度为则称X服从参数为μ和σ2的正态分布,记为X～N(μ,σ2),其中μ和σ(σ>0)都是常数.在MATLAB中,用函数normpdf计算正态分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=normpdf(x,mu,sigma)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.注意：调用normpdf时,参数sigma是标准差σ,不是方差σ2.例18设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求X=3时的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=normpdf(3,6,2)回车后显示:y=0.0648计算结果是:参数μ=6,σ=2(即均值为6,方差为4)的正态分布,在x=3处的概率密度值.(2)计算正态分布的分布函数值或概率P{X≤x}参数为μ,σ2的正态分布的分布函数不能用初等函数表示.在MATLAB中,用函数normcdf计算正态分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=normcdf(x,mu,sigma)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数,可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.例19设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求事件{X≤3}的概率.解在命令窗口中输入:y=normcdf(3,6,2)%比较例2-18命令normpdf(3,6,2).回车后显示:y=0.0668结果表明:μ=6,σ=2的正态分布,在x=3处的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.0668.例20设随机变量X服从均值是6,标准差是2的正态分布,求三个随机事件{X≤1},{X≤3},{X≤8}的概率.解在命令窗口中输入:y=normcdf([1,3,8],6,2)%[1,3,8]为向量,此处表示x分别为1,3,8.回车后显示:y=0.00620.06680.8413计算的结果是:参数为μ=6,σ=2的正态分布,分别在x=1,3,8处的分布函数值F(1)=P{X≤1},F(3)=P{X≤3},F(8)=P{X≤8}.(3)计算正态分布的上α分位点,或求解概率表达式中的待定参数正态分布的上α分位点的定义是P{X>zα}=α.在MATLAB中没有直接计算分位点的函数,我们可以通过逆累积分布函数来计算分位点.正态分布的逆累积分布函数是norminv,其基本调用格式是:·y=norminv(p,mu,sigma)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数(参见例20),可以扩展成与其它输入参数相同的常数向量或矩阵.注意:输入参数p是概率,其范围在[0,1]之间,它与α的关系是p=1-α.例21求标准正态分布的上0.05分位点.解在命令窗口中输入:y=norminv(0.95,0,1)%注意1-0.05=0.95,不可与norminv(0.05,0,1)混.回车后显示:y=1.6449结果表明:P{X>zα}=1-0.95=0.05的标准正态分布上α分位点zα=1.6449.8.t分布(1)计算t分布的概率密度函数值设X～N(0,1),Y～,且X与Y相互独立,则称随机变量服从自由度为n的t分布,记为t～t(n).t(n)分布的概率密度函数为在MATLAB中,用函数tpdf计算t分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=tpdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数可以扩展成与另一个输入参数相同的常数向量或矩阵.例22设随机变量X服从自由度是6的t分布,求x=3的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=tpdf(3,6)%比较命令tpdf(3,[2,5,9]).回车后显示:y=0.0155(2)计算t分布的分布函数值或概率P{X≤x}在MATLAB中,用函数tcdf计算t分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=tcdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例23设随机变量X服从自由度是6的t分布,求事件{X≤3}的概率.解在命令窗口中输入:y=tcdf(3,6)%比较例2-22命令tpdf(3,6).回车后显示:y=0.9880结果表明:自由度n=6的t分布,在x=3处的分布函数值是F(3)=P{X≤3}=0.9980.(3)计算t分布的上α分位点,或求解概率表达式中的待定参数t分布的上α分位点的定义是P{X>tα(n)}=α.在MATLAB中,我们也可以通过逆累积分布函数来计算分位点.t分布的逆累积分布函数是tinv,其基本调用格式是:·y=tinv(p,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数,可以扩展成与另一输入参数相同的常数向量或矩阵.注意:输入参数p是概率,其范围在[0,1]之间,它与α的关系是p=1-α.例24求自由度为6的t分布的上0.05分位点.解在命令窗口中输入:y=tinv(0.95,6)%注意1-0.05=0.95,比较tinv(0.05,6)是-1.9432.回车后显示:y=1.9432结果表明:对于自由度n=6的t分布,P{X>tα(n)}=1-0.95=0.05的上α分位点t0.05(6)=1.9432.9.分布(1)计算分布的概率密度函数值设是来自标准正态总体N(0,1)的样本,则称统计量服从自由度为n的分布,记为.此处,自由度是指式中所包含的独立变量的个数.分布的概率密度为在MATLAB中,用函数chi2pdf计算分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=chi2pdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数,可以扩展成与另一个输入参数相同的常数向量或矩阵.例25设随机变量X服从自由度分别为2,5,9的卡方分布,求x=3的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=chi2pdf(3,[2,5,9])%比较命令chi2pdf(3,2).回车后显示:y=0.111570.154180.039646(2)计算分布的分布函数值或概率P{X≤x}在MATLAB中,用函数chi2cdf计算卡方分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=chi2cdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.一个常数输入参数可以扩展成与另一输入参数相同的常数向量或矩阵.例26设随机变量X服从自由度为6的分布,求事件{X≤3}的概率.解在命令窗口中输入:y=chi2cdf(3,6)%比较命令chi2pdf(3,6)和chi2cdf([1,3,8],6).回车后显示:y=0.1912结果表明:自由度n=6的分布,当x=3时的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.1912.(3)计算分布的上α分位点,或求解概率表达式中的待定参数分布的上α分位点的定义是.在MATLAB中,我们也可以通过逆累积分布函数来计算分布的分位点.分布的逆累积分布函数是chi2inv,其基本调用格式是:·y=chi2inv(p,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.注意:输入参数p是概率,其范围在[0,1]之间,它与α的关系是p=1-α.例27求自由度为6的分布的上0.05分位点.解在命令窗口中输入:y=chi2inv(0.95,6)%比较chi2inv(0.05,6)是1.6354.回车后显示:y=12.5916结果表明:对于自由度n=6的分布,的上α分位点是10.F分布(1)计算F分布的概率密度函数值设,,且U,V相互独立,则称随机变量服从自由度为的F分布,记为.分布的概率密度为在MATLAB中,用函数fpdf计算F分布的概率密度函数值.其基本调用格式是:·y=fpdf(x,n1,n2)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例28设随机变量X服从第一自由度是2,第二自由度是6的F分布,求x=3的概率密度值.解在命令窗口中输入:y=fpdf(3,2,6)回车后显示:y=0.0625结果表明:自由度n1=2,n2=6的F分布,在x=3处的概率密度值是0.0625.(2)计算F分布的分布函数值或概率P{X≤x}在MATLAB中,用函数fcdf计算F分布的分布函数值.其基本调用格式是:·y=fcdf(x,n)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例29设随机变量X服从第一自由度是2,第二自由度是6的F分布,求随机事件{X≤3}的概率.解在命令窗口中输入:y=fcdf(3,2,6)%比较例2-28命令fpdf(3,2,6).回车后显示:y=0.8750结果表明:自由度n1=2,n2=6的F分布,在x=3处的分布函数值F(3)=P{X≤3}=0.8750.例30设随机变量X服从第一自由度是4,第二自由度分别是2,4,6的F分布,求事件{X≤1},{X≤3}{X≤8}的概率.解在命令窗口中输入:y=fcdf([1,3,8],4,[2,4,6])%注意命令中两个向量[1,3,8],[2,4,6]的含义.回车后显示:y=0.44440.84380.9861(3)计算F分布的上α分位点,或求解概率表达式中的待定参数F分布的上α分位点的定义是.在MATLAB中,我们可以通过逆累积分布函数来计算F分布的分位点.F分布的逆累积分布函数是finv,其基本调用格式是:·y=finv(p,n1,n2)%输入参数可以是标量、向量、矩阵.例31设随机变量X服从第一自由度是4,第二自由度是6的F分布,求上0.05分位点.解在命令窗口中输入:y=finv(0.95,4,6)%比较finv(0.05,4,6)是0.1632.回车后显示:y=4.5337结果表明:对于自由度n1=4,n2=6的F分布,满足的上α分位点F0.05(4,6)=4.5337.第三章统计图及概率密度与分布函数作图一、实验问题1.问题背景对实验数据进行处理，其中包括数据统计作图，是我们在学习和工作以及科研中必须经常进行的一项几何上的分析方法.通过对实验数据的统计图形分析,我们可以观察或发现一些随机事件(或随机变量)的性质.利用概率密度函数图形和分布函数图形,我们可以观察或发现一些随机事件(或随机变量)的规律.本实验学习一些经常使用的统计数据的作图命令,掌握这些作图命令将会帮助读者大大提高进行实验数据处理和作图分析的能力.2.实验目的与要求(1)熟练掌握MATLAB软件的关于统计作图的基本操作;(2)会进行常用的概率密度函数和分布函数的作图;(3)会用命令计算概率,画出分布律图形;(4)会操作交互式经验分布函数和概率密度函数图形的工具箱;(5)会在图形中标注文字,填充颜色等操作;(6)提高观察实验现象或处理数据方面的能力.二、实验操作过程1．常用统计图(1)直方图根据实验数据,绘出直方图,来显示数据的分布特征,进而观察实验数据所反映的统计规律.调用格式:·n=hist(Y)%n=hist(Y)将Y中的元素分到10个间隔相同的条形中,并返回每个条形中元素的个数.若Y是矩阵,则hist函数对每一列生成直方图.·n=hist(Y,x)%n=hist(Y,x)中x为向量,返回Y的分布.如,若x为一个5元素向量,则hist函数将Y中的元素分配到五组分组中.·n=hist(Y,nbins)%n=hist(Y,nbins)中nbins为标量,使用nbins组条形.·[n,xout]=hist(…)%[n,xout]=hist(…)返回包含频数和条形位置的向量n和xout.可以使用bar(xout,n)来绘直方图.·hist(…)%无输出变量的hist函数创建一个上面描述的直方图输出.hist函数在y的最小值和最大值之间沿x分配条形.Y向量或Y矩阵某列中所有元素根据它们的数值范围进行分组.每一个组用一组条形表示.直方图的x轴反映Y中值的范围.直方图的y轴显示落到组中的元素个数;所以,在任意条形组中,y轴包括0到最大元素个数的范围.直方图用添加阴影的图形对象创建.若希望改变图形颜色,可以设置阴影属性.例1创建服从正态分布的数据的钟形直方图,设置图形颜色,使得条形为红色,条形的边为白色.解在命令窗口中输入:x=-2.9:0.1:2.9;y=randn(10000,1);%生成10000个正态分布的随机数.hist(y,x)h=findobj(gca,'type','patch');%gca表示获得当前图形窗口内当前坐标轴的句柄值.“句柄”,每个图形对象都用一个数字来标识,这个数字叫“句柄”.set(h,'FaceColor','r','EdgeColor','w')%设置条形颜色和边框颜色.回车后显示图3-1所示.图3-1正态分布的随机数的直方图(2)经验累积分布函数图形基本数学原理：设是总体X的一个容量为n的样本观察值.先按自小到大的次序排列,并重新编号,设为记则Fn(x)叫做总体X的经验累积分布函数.调用格式：·cdfplot(X)%作样本X(向量)的累积分布函数图形.·h=cdfplot(X)%h表示曲线的句柄.·[h,stats]=cdfplot(X)%stats表示样本的一些特征:样本最小值、最大值、平均值、中位数和标准差.例2产生50个标准正态分布的随机数,指出它们的分布特征,并画出经验累计分布函数图(输出图见3-2).解在命令窗口中输入:X=normrnd(0,1,50,1);%产生50×1标准正态分布的随机数,用命令normrnd(0,1,1,50)也可以,这时产生1×50标准正态分布的随机数.[h,stats]=cdfplot(X)回车后显示:h=152.0016stats=min:-2.1707%样本最小值.max:2.1832%样本最大值.mean:0.0393%样本平均值.median:0.1196%样本中位数.std:0.9760%样本标准差.图3-2经验累积分布函数图形(3)绘制正态分布概率图形——判断总体或样本是否服从正态分布如果数据来自正态分布,则正态分布概率图形显示为直线,而其它分布可能在图中产生弯曲.调用格式:·normplot(X)%若X为向量,则显示正态分布概率图形,若X为矩阵,则显示每一列的正态分布概率图形;样本数据在图中用加号“+”显示.·h=normplot(X)%返回绘图直线的句柄.例4产生50个标准正态分布的随机数和指数分布的随机数,并画出它们的正态分布概率图形(分别可见图3-3,图3-4).解在命令窗口中输入:X=normrnd(0,1,1,50);%产生50个标准正态分布的随机数.Y=exprnd(1,1,50);%产生50个参数是1的指数分布的随机数.normplot(X)%标准正态分布的随机数及其拟和直线.normplot(Y)%指数分布的随机数及其拟和直线.图3-3正态分布概率图形图3-4指数分布概率图形(4)样本数据的箱形图箱形图可以比较清晰地表示数据的分布特征.它由5个部分组成:1)箱形上、下的横线为样本的25%和75%分位数,箱形顶部和底部的差值为内四分位极值;2)箱形中间的横线为样本的中值.若该横线没在箱形中央,则说明存在偏度;3)箱形向上或向下延伸的直线称为“触须”.若没有异常值,样本的最大值为上触须的顶部,样本最小值为下触须的底部.默认情况下,距离箱形顶部或底部大于1.5倍内四分位极值的值称为异常值;4)图中顶部的加号表示该处数据为一异常值.该值的异常可能是输入错误、测量失误或系统误差引起;5)箱形两侧的“V”形槽口对应于样本中值的置信区间.默认情况下,箱形图没有“V”形槽口.调用格式:·boxplot(X)%产生矩阵X的每一列的箱形图和“触须”图,“触须”从箱形末端延伸出来,表示数据向极大和极小方向延伸的程度.如果“触须”的外面没有数据,则在“触须”的底部有一个点.·boxplot(X,notch)%当notch=1时,产生一个带刻槽的箱形图.默认时notch=0,产生一个矩形箱形图.·boxplot(X,notch,'sym')%sym表示图形颜色和符号,默认值为蓝色和“+”.·boxplot(X,notch,'sym',vert)%当vert=0时,生成水平箱形图;vert=1时,生成竖直箱形图(默认值vert=1).·boxplot(X,notch,'sym',vert,whis)%whis定义“触须”图的长度.若whis=0,则boxplot函数通过绘制sym符号图来显示箱形图以外的数据值.例5产生100个均值为5,标准差为1的正态分布的随机数,再产生100个均值为6,标准差为1的正态分布的随机数,用箱形图比较它们均值大小.解在命令窗口中输入:x1=normrnd(5,1,100,1);x2=normrnd(6,1,100,1);x=[x1x2];%形成100行2列正态分布的随机数.boxplot(x,1,'g+',1,0)%产生矩阵X的每一列的箱形图和“触须”图.回车后显示(见图3-5):图3-5两个正态样本的箱形图比较(5)样本的概率图形——获得概率分布和落入区间概率利用“样本的概率图形”,可以获得随机变量落在指定范围内的概率,获得样本分布的概率密度图形.调用格式:·p=capaplot(data,specs)%data为所给样本数据,specs指定范围,p表示在指定范围内的概率.例6产生30个标准正态分布的随机数,计算这些数据落入区间[-2,2]的概率.解在命令窗口中输入:data=normrnd(0,1,30,1);p=capaplot(data,[-2,2])回车后显示(见图3-6):p=0.9199图3-6落入指定区间的样本概率图片(6)附加有正态分布概率密度曲线的直方图调用格式:·histfit(data)%data为向量,返回直方图和正态曲线.·histfit(data,nbins)%nbins指定bar的个数,缺省时为data中数据个数的平方根.例7产生100个均值为10,标准差为1的正态分布的随机数,画出它们的直方图并附加正态密度曲线,观察它们之间的拟合程度.解在命令窗口中输入:r=normrnd(10,1,100,1);histfit(r)回车后显示(见图3-7):图3-7直方图与正态分布概率密度曲线(8)在指定的界线之间画正态分布概率密度曲线并求概率调用格式:·p=normspec(specs,mu,sigma)%specs指定界线,mu,sigma为正态分布的均值和标准差,返回参数p为样本落在上、下界之间的概率.例8画出区间[10,+∞)上均值为11.5,标准差为1.25的正态密度曲线,并计算样本落在[10,+∞)上的概率.解在命令窗口中输入:p=normspec([10Inf],11.5,1.25)回车后显示(见图3-8):p=0.8849图3-8指定范围内的正态分布概率密度曲线及概率2.常见分布的概率密度函数图形关于常见分布的分布律、概率密度函数作图命令和图形,我们只就二项分布(离散型)、正态分布和t分布(连续型)为例介绍.其它分布操作与此类似.(1)二项分布基本数学原理:设X~B(n,p).具体概率分布见第二章.例9设随机变量X=0,1,…,10,计算X的服从二项分布B(10,0.5)的概率,并画出二项分布分布律图形，指出取概率最大的X的值.解在命令窗口中输入:x=0:10;y=binopdf(x,10,0.5);plot(x,y,'+')回车后显示(见图3-9):图3-9二项分布的分布律图形(2)正态分布基本数学原理:设X～N(μ,σ2),具体概率密度见第二章.例10设随机变量X取区间[-3,3]上步长为0.2的各值,计算X的服从标准正态分布的概率,并画出概率密度函数图形.解在命令窗口中输入:x=-3:0.2:3;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y)回车后显示(见图3-10):图3-10正态分布密度函数图形(3)t分布基本数学原理:设X服从自由度为n的t分布,具体概率密度见第二章.例11设随机变量X取区间[-5,5]上步长为0.1的各值,计算X的服从参数为5的t分布的概率,并画出概率密度函数图形，同时画出标准正态概率密度曲线，观察二者的区别.解在命令窗口中输入:x=-5:0.1:5;y=tpdf(x,5);z=normpdf(x,0,1);plot(x,y,'-',x,z,'-.')回车后显示(见图3-11):图3-11t分布密度函数图形和标准正态曲线例12某人向空中抛掷一枚硬币100次,落下后“正面向上”的概率为0.5.这100次中正面向上的次数记为X.(1)试计算{X=45}的概率和{X≤45}的概率;(2)绘制分布律图形和分布函数图像.解在命令窗口中输入:clear;px=binopdf(45,100,0.5)%计算{X=45}的概率.回车后显示:px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算{X≤45}的概率.回车后显示:fx=0.1841x=1:100;p1=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p1,'+');title('分布律图形')(见图3-12)x=1:100;p2=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p2,'*r');title('分布函数图')(见图3-13)回车后显示:图3-12概率密度函数图形图3-13分布函数图形例13设X~N(2,0.25).(1)求概率P{1<X<2.5};(2)绘制分布函数图像和概率密度函数图像;(3)画出区间[1.5,1.9]上的概率密度曲线的下方区域.解在命令窗口中依次输入程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)%计算概率P{1<X<2.5}.回车后显示:p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,'+b');holdon;plot(x,fx,'*r');legend('正态分布函数','正态分布密度');(见图3-14)(3)specs=[1.5,1.9];pp=normspec(specs,2,0.5)回车后显示(见图3-15):图3-14正态分布图形3-15区间概率密度函数图形3.交互式经验分布函数和概率密度函数工具箱MATLAB提供了生成多种概率分布的函数图形(或概率密度图形)的交互式工具箱.使用图形用户界面,可以交互式地生成常用的各种概率密度图形和分布函数图形.调用格式:·disttool说明:disttool命令打开一个图形用户界面,通过观察在CDF(即分布函数)图和PDF(即概率密度函数)图上改变参数带来的变化.在图中单击并拖拉垂线可以交互地在整个区域上进行评价.通过在x轴编辑框中输入值或在图中拖拉垂向参考线可以评价绘图函数.对于CDF(即分布函数),可以通过在“probability”编辑框中输入值或在图中拖拉水平参考线来评价逆函数.当鼠标穿过垂线或水平线时,鼠标形状由箭头变为“+”字形,表示该参考线是可以拖拉的.在图形左上方的函数弹出式菜单“Distribution”中进行选择,可以改变分布函数的类型.在图形右上方的弹出式菜单“Function”中进行选择,可以在CDF(即分布函数)和PDF(即概率密度函数)之间切换.通过移动滚动条或在参数名下的编辑框中输入数值,可以改变参数设置.在下方滚动条的顶部或底部编辑框中输入数值,可以改变参数的上下界设定.完成以上操作后,单击右上角“×”(即关闭)按钮,关闭界面.例14用交互式经验分布函数和概率密度函数图形工具箱,生成均值为6,标准差1的正态分布的分布函数图形和概率密度函数图形;生成参数为6的泊松分布的累积分布函数图形和分布律.解输入disttool命令以后,打开交互式经验分布函数工具,如图3-16所示.图3-16概率分布图形工具箱第四章随机变量的数字特征一、实验问题1.问题背景随机变量的数字特征能够描述随机变量的重要性质和人们最关心的特征,如数学期望、方差、协方差、相关系数等.它们在应用和理论上都非常重要.但随机变量的数字特征的计算比较繁杂.MATLAB软件提供了计算随机变量的数字特征的相关函数,计算起来方便、快捷、准确.2.实验目的与要求(1)熟练掌握随机变量数字特征的有关操作命令;(2)利用软件求边缘概率密度，求随机变量函数的数字特征;(3)利用软件处理简单的概率问题.二、实验操作过程1.样本均值格式:·Y=mean(X)%X是向量,返回的Y是X中元素的算术平均值。例1随机抽取6个滚珠,测得直径(单位:mm)如下:14.70,15.21,14.90,14.91,15.32,15.32.试求该样本均值.解在命令窗口中输入:X=[14.7015.2114.9014.9115.3215.32]；mean(X)%计算样本均值.回车后结果如下:ans=15.06002.随机变量的数学期望(1)离散型随机变量的数学期望基本数学原理:设随机变量的分布律为则随机变量函数的数学期望:在MATLAB中,离散型随机变量的数学期望函数是求和函数sum.调用格式·EX=sum(X.*P)%计算随机向量X与对应概率向量P的乘积之和.例2设随机变量X的分布律为X-2-1012P0.10.3求E(X),E(X2-1).解在命令窗口中输入:X=[-2-1012];p=[0.10.3];EX=sum(X.*p)%数组X与p对应元素相乘,不可缺运算点“.”.Y=X.^2-1%数组X自身元素平方,不可缺运算点“.”.EY=sum(Y.*p)回车后显示：EX=0Y=30-103EY=1.6000结果表明：随机变量X的数学期望为0，随机变量函数Y=X2-1的数学期望为1.6000.(2)连续型随机变量的数学期望基本数学原理:设随机变量的概率密度为f(x),则随机变量函数的数学期望:在MATLAB中,连续型随机变量的数学期望函数是积分函数int.调用格式·