高一数学平面向量的数量积 新课标 人教A

平面向量的数量积浙江省安吉县昌硕高中编辑ppt定义：一般地，实数λ与向量

的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λ

，它的长度和方向规定如下：(1)|λ

|=|λ||

|(2)当λ>0时,λ

的方向与

方向相同；当λ<0时,λ

的方向与

方向相反；特别地，当λ=0或=时,λ

=.编辑ppt

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量以及任意实数恒有运算律：设,为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：

①λ(μ

)=(λμ)

②(λ+μ)=λ+μ

③λ(+)=λ+λ

编辑ppt已知两个非零向量a和b

，作OA=a

，

OB=b

，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与b垂直，记为a⊥b.OAab编辑ppt我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。编辑ppt定已知两个非零向量

与

，它们的夹角为θ，我们把数量|

||

|cosθ叫做与的数量积（或内积），记作·

·=|

||

|cosθararararararbrbrbrbrbrbr注意：向量的数量积是一个数量。规定:零向量与任一向量的数量积为0。

叫做向量在方向上（或向量在方向上）的投影。编辑ppt向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：

·=|

||

|cosθararbrbr当θ=90°时

为零。arbr·当90°＜θ≤180°时

为负。arbr·当0°≤θ＜

90°时

为正；arbr·编辑ppt重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθ

abB1编辑ppt解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2编辑ppta·b的几何意义：OABθ|b|cosθabB1等于的长度与的乘积。编辑ppt练习：1．若a=0，则对任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√编辑ppt二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：编辑ppt

则(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)编辑ppt例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.编辑ppt例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.编辑ppt例4、的夹角为变式１：求变式２：当且仅当k为何值时，垂直编辑ppt思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即。解：设则，由此可得：即，∠ACB=90°编辑ppt小结已知两个非零向量

与

，它们的夹角为θ，我们把数量|

||

|cosθ叫做与的数量积（或内积