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110.3格林公式及其应用一、格林公式二、平面曲线积分与路径无关的条件三、二元函数的全微分求积四、全微分方程第十章曲线积分与曲面积分2一、格林公式

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD1.区域连通性的分类32、格林公式（Green公式）定理14边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.5证明(1)yxoabDcdABCE6同理可证yxodDcCEBA7证明(2)D两式相加得89GDFCEAB证明(3)由(2)知10说明2.它是Newton-Leibniz公式在二重积分情形下的推广.1.Green公式的实质：沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与该闭曲线所围的闭区域上的二重积分的之间的联系。11计算L是圆周:如把圆周写成参数方程:化为定积分计算,用格林公式易求.分析则过程较麻烦.解由格林公式(1)简化曲线积分的计算例13、简单应用再将线积分1212.其中L为圆周解由格林公式有对称性的正向.练习1313解由格林公式练习14对平面闭曲线上的对坐标曲线积分,比较简单时,常常考虑通过格林公式化为二重积分来计算.格林公式及其应用15例2

计算分析但由可知非常简单.其中AO是从点⌒的上半圆周到点此积分路径⌒不是闭曲线!16为应用格林公式再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单,使之构成闭曲线.所以因而这里补加直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的L不闭合+边L＊,使L+L＊闭合,再用格林公式.由格林公式解的方程为故所以,17（2）简化二重积分xyo1819（3）计算平面面积20解2122解23xyoLyxo24xyo(注意格林公式的条件)25练习（提示：L为非封闭曲线，补上线段ABO后，即可使用格林公式）26解2728使用格林公式时要注意：1、要分清哪个是P，哪个是Q。且D与L是正向联系。2、若L为封闭曲线，则可直接用格林公式。3、若L不是封闭的，可补上一些辅助曲线，使之成为封闭的，再用格林公式。而原积分=闭路上积分（二重积分）--所补曲线上的积分。4、利用格林公式将曲线积分化为二重积分后，被积函数则不能用L的表达式代入，因为此时是在区域D上的二重积分。小结29

若区域

如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。思考题30思考题解答由两部分组成外边界：内边界：31作

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