大物45振动的合成

§4.5

简谐振动的合成与分解

§4.5.1

同方向、同频率的简谐振动的合成§4.5.2同方向、不同频率的简谐振动的合成§4.5.3

相互垂直的简谐振动的合成§4.5.4振动的频谱分析（振动的分解）线性叠加结论：合振动x仍是简谐振动,振动频率仍是§4.5.1

同方向、同频率的简谐振动的合成两谐振动合振动旋转矢量法处理谐振动的合成1A1A2xoωA2A2A1cos1A1sin1A2sin2A2cos2

由余弦定理，合振动的振幅为合振动的初相：22-11A1A2①

合振动仍然为简谐振动；合振动的振幅与分振动的振幅及其初相有关；合振动的角频率与每一分振动的角频率等②

当时,合振幅达到最大讨论：③当时,合振幅达到最小可见，简谐振动的相位、相位差对振动的合成有重要作用

合振动的初相等于振幅大的分振动的初相

1.公式法=0.5=143.14o=2.5rad

合振动方程：x

=0.5cos(t+2.5)cm已知：A1=0.3,A2=0.4,1=/2,2=

解:

x

=Acos(t+)

例4.5.1

x1=0.3cos(t+)cmx2=0.4cos(t+)cm

求合振动方程。

解:

x

=Acos(t+)

x1

=0.3cos(t+)cm,x2

=0.4cos(t+)cm2.旋转矢量法x0.40.3A=36.86°=0.64rad=-=2.5rad

合振动方程：x

=0.5cos(t+2.5

)cm例4.5.2

两个同方向、同频率的谐振动合成后，合振幅A=20cm,合振动与第一个振动的相差为

/6,A1=17.3cm,求：(1)A2=?(2)两振动的相差(2-1)=?A1=17.31A=20/6A2xo=10cm

由余弦定理：A22

解:直接用公式是无法求解的：因A=20,A2=10,由上式可求出：(2-1)A1=17.31A=20/6A2xoA22(2)两振动的相差(2-1)=?用正弦定理有：例4.5.3：求n个同方向、同振幅、同频率、相位差依次为的简谐振动的合振动解：设n个简谐振动的振动方程为……………其合振动可以用多边形法则求解所以合振动为OBD:OBC:ABRnxoDCaa合振动为①当时此时振幅最大②

当时此时振幅最小即：当各分振动构成一个封闭的多边形时，合振动为零讨论：§4.5.2同方向、不同频率的简谐振动的合成

分振动：x1=A1cos(1t+1)x2=A2cos(2t+2)讨论:(1)振幅、相位和角频率是时间函数，合振动不再是一个简谐振动(2)当A1=A2=A0，2=1=

时(3)当A1=A2=A0，2=1=

，且随

t缓变随t快变两分振动的频率都较大而频差很小的同方向的谐振动在合成时，产生合振动的振幅时而加强、时而减弱的现象称为拍。由于|2-1|<<1+2,即此时振幅强弱缓慢变化，而振子振动较快.xx2x1ttt拍频:单位时间内振幅加强、减弱的次数

拍的现象OOO§4.5.3

相互垂直的简谐振动的合成设两个简谐振动分别在x、y方向上振动，振动频率相同在上式中消去时间t，可得合振动的轨迹方程讨论：①

一般情况下，合振动的轨迹为一椭圆，椭圆的形状由决定(1)振动频率相同为一条直线，任意t时刻质点离平衡位置的位移为：即合振动为简谐振动。当时，轨迹方程为：，为一条直线，合振动为简谐振动。②

当时，xyA1A2O轨迹方程为：xyA1A2Oxy2-1=/2xy2-1=-/2合振动不是谐振动。左旋右旋如果此时两分振动的振幅相等，则合振动的轨迹是圆。③当时，上式为一椭圆：

当两个分振动的频率具有简单倍数关系时，合振动形成稳定的封闭曲线——李萨如图形。实践中常常用李萨如图形来测频率(2)振动频率不同小结（谐振动合成）同方向、同频率同方向、不同频率互相垂直、同频率互相垂直、不同频率谐振动（振向、频率均不变）拍2-12+1

拍频轨迹一般为椭圆李萨如图直线（谐振动）正椭圆（旋转方向不同）取其他值时，斜椭圆利用傅里叶分解可将任意振动分解成若干S.H.V.的叠加(合成的逆运算）§4.5.4振动的频谱分析（振动的分解）1.周期性振动的分解——傅里叶级数法：傅里叶级数定理：设f(t)是以T为周期的函数，并在[-T/2,T/2]上满足狄利克雷条件，则在[-T/2,T/2]区域内的连续点上，该函数可以分解为以下谐波的叠加：其中叫基频，n为谐频例4.5.1

设f(t)

是以2为周期的非简谐振动，其波形函数为用傅里叶级数方法，将该非简谐振动分解为若干简谐振动的叠加解：依傅里叶级数定理，f(t)

的傅里叶级数为方波的分解图v03v05v0（基频为v0）x1+x3+x5方波OOOOO任何非周期性非简谐振动都可以视为若干简谐振动的叠加；非周期性非简谐振动频谱