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文档简介

惯性定理主要内容正定二次型的定义

第七节正定二次型正定二次型的条件举例定理.二次型的标准形显然不是唯一的,只是标准形中所含项数是确定的(即是二次型的秩).不仅如此,在限定变换为实变换时,标准形中正系数的个数是不变的(从而负系数的个数也不变),也就是有以下中正数的个数相等.定理9

设有实二次型f=xTAx,它的秩为r,有两个实的可逆变换x=Cy

及x=Pz使f=k1y12+k2y22+…+kryr2(ki

0),及f=1z12+2z22+…+rzr2(i

0),则k1,k2,…,kr

中正数的个数与1,2,…,r一、惯性定理

这个定理称为惯性定理,这里不予证明.

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数.若二次型f

的正惯性指数为p，秩为r,则f

的规范形便可确定为f=y12+…+yp2–yp+12–…–yn2.科学技术上用得较多的二次型是正惯性指数为n

或负惯性指数为n

的n

元二次型，我们有下述定义.

定义10

设有实二次型f(x)=xTAx,如果二次型,并称对称矩阵A

是负定的.如果对任何x

0都有f(x)<0,则称

f

为负定为正定二次型,

并称对称矩阵A

是正定的;

对任x

0,都有f(x)>0(显然

f(0)=0),则称

f二、正定二次型的定义

定理10

实二次型f(x)=xTAx为正定的充分必要条件是:它的标准形的n

个系数全为正，三、正定二次型的条件

推论

对称矩阵A

为正定的充分必要条件是:A

的特征值全为正.即它的规范形的n

个系数全为1，亦即它的正惯性指数等于n.

定理11

对称矩阵A

为正定的充分必要条对称矩阵A

为负定的充分必要条件是:奇数阶主件是:A

的各阶主子式都为正,即子式为负,而偶数阶主子式为正,即这个定理称为霍尔维茨定理,这里不予证明.

设f(x,y)是二维的正定二次型,则f(x,y)=c

时,f(x,y,z)=c(c>0)的图形是一族椭球.着c

0而收缩到原点.当

f

为三维正定二次型把c

看作任意常数时则是一族椭圆.这族椭圆随(c>0为常数)的图形是以原点为中心的椭圆.当

例26

判定下列二次型的正定性.

例27

求曲线所围的面积

例28

设f(x1,x2,…,xn)=xTAx

为正定二次型,证明:|E+A|>1.

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