理论力学考研备考期末复习专业课第九章刚体的平面运动

第九章

刚体的平面运动刚体平面运动动画一：行星齿轮刚体平面运动动画二：车轮运动情况§9-1刚体平面运动的概述和运动分解运动学一、刚体平面运动的概述例如：曲柄连杆机构中连杆AB的运动、车轮C的运动、行星齿轮机构中行星齿轮A的运动，它们在运动的过程中,其上既没有一条和原位置始终平行的直线也没有一条始终不动的直线。因此，它们的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动。1、平面运动的实例运动学2．刚体平面运动的定义

刚体在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变．也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动．具有这种特点的运动称为刚体的平面运动．运动学3．平面运动的简化

刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动．⒈简化过程

⑴作定平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与刚体相交成一平面图形S。当刚体运动时，平面图形S始终保持在定平面Ⅱ内。定平面Ⅱ称为平面图形S自身所在平面。

⑵在刚体上任取⊥平面图形S的直线A1A2

，A1A2作平动，其上各点都具有相同的运动。

⑶A1A2和图形S的交点A的运动可代表全部A1A2的运动，而平面图形S内各点的运动即可代表全部刚体的运动。⒉结论运动学

二．平面运动分解为平动和转动

⒈证明

任取直线AB，AB的运动即代表了S的运动。由AB→A’B’可视为由两步完成：

⑴AB平动至A’B”

；

⑵再绕A’点转一个角B”A’B’

最后到达位置A’B’。合成分解平面运动平动和转动⒉结论故刚体平面运动可视为平动和转动的合成运动。

运动学

为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们在平面图形上选一基点A,再以基点A为原点取作平动的动坐标系Ax’y’三．刚体平面运动方程⒈刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动

平面图形S相对于静系的平面运动（绝对运动）可视为随同以基点A为原点的动坐标系Axy相对静系的平动（牵连运动）与平面图形S绕基点A（动系

Axy）的转动（相对运动）的合成运动。运动学刚体的平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动⒉刚体平面运动方程

基点的运动即代表了刚体的平动其运动方程为：由于动坐标轴的方向始终∥静坐标轴，所以绕基点的转动即代表了刚体的转动部分，其方程为：由于刚体平面运动可视为平动和转动的合成，于是刚体的平面运动方程为：对于每一瞬时

t

，都可以求出对应的，图形S在该瞬时的位置也就确定了。运动学四．平面图形的角速度及角加速度

图形内基点A的选取是完全任意的，图形内任一点都可取为基点。所选基点不同，图形随其平动的速度和加速度都不同，但图形对于不同基点转动的角速度及角加速度都是一样的。

设平面图形Ｓ在ｔ时间间隔内从位置I运动到位置II以A为基点:随基点A平动到A'B''后,绕基点转角到A'B'以B为基点:随基点B平动到A''B'后,绕基点转角到A'B'图中看出：ABA'B''A''

B'，于是有：运动学

在任一瞬时，图形绕其平面内任何点转动的角速度及角加速度都相同，因此，称其为平面图形的角速度及角加速度。运动学§9-2平面图形内各点的速度

一．基点法（合成法）的运动可视为牵连运动为平动和相对运动为圆周运动的合成

取A为基点,将动系固结于A点,动系作平动。取B为动点,则B点由转向确定。指向⒈公式的导出运动学

已知：图形S内一点A的速度，图形角速度求：动点：M绝对运动：待求牵连运动：平移任意A,B两点动系：(平移坐标系)相对运动：绕点的圆周运动

即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动的速度的矢量和．这种求解速度的方法称为基点法，也称为合成法．它是求解平面图形内一点速度的基本方法．根据速度合成定理则Ｂ点速度为：⒉讨论⑵共包括大小﹑方向六个要素，已知任意四个要素，能求出另外两个要素。⑴是矢量式，符合矢量合成法则；运动学二、

速度投影定理沿AB连线方向上投影

同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。

例9-1椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。解：1AB作平面运动,基点:A

例9-2图所示平面机构中，AB=BD=l=300mm。在图示位置时，BD∥AE，杆AB的角速度为ω=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。解：1BD作平面运动，基点：B

例9-3曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=。如曲柄OA以匀角速度ω转动。解：1AB作平面运动,基点：A

例9-4图所示的行星轮系中，大齿轮Ⅰ固定，半径为r1

；行星齿轮Ⅱ沿轮Ⅰ只滚而不滑动，半径为r2。系杆OA角速度为。求：轮Ⅱ的角速度ωⅡ及其上B，C两点的速度。解:1轮Ⅱ作平面运动,基点：AⅡωⅡⅡωⅡ３

例9-5图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。求：此瞬时点E的速度。

已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。解：1

AB作平面运动，基点：A2CD作定轴转动，转动轴：C3DE作平面运动

若选取速度为零的点为基点，求速度的问题会大大简化。某一瞬时图形是否有一点速度为零？若存在的话，该点如何确定？运动学§9－3求平面图形内各点速度的瞬心法1定理基点：A

一般情况下,在每一瞬时,平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。称为瞬时速度中心，简称速度瞬心。

⑶已知某瞬间平面图形上A,B两点速度

的方向，且

过A,B两点分别作速度的垂线,交点

P即为该瞬时的速度瞬心.2．几种确定速度瞬心位置的方法

⑴已知图形上一点的速度和图形角速度

，可以确定速度瞬心的位置．（P点）

且Ｐ在顺转向绕A点转90º的方向一侧．

⑵已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚动,则图形与固定面的接触点P为速度瞬心．

运动学

另：对⑷种(a)的情况，若vA＝vB，则是瞬时平动．⑸已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与AB连线垂直．此时,图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平动.(此时各点的加速度不相等)⑷已知某瞬时图形上A,B两点速度大小,且(b)(a)运动学

利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法.3速度瞬心法运动学

平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度方向AP，指向由转向确定。

4注意

⑴速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。它可以在平面图形内也可以在平面图形外（平面图形的扩展部分）；⑵速度瞬心处的速度为零,加速度一定不为零。不同于转动；⑶刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度一定不相同。不同于刚体作平动。运动学基点：C5平面图形内各点的速度分布

平面图形内任意点的速度等于该点随图形绕瞬时速度中心转动的速度。例9-7用瞬心法解例9-1。解：AB作平面运动，速度瞬心为点C。

例9-8矿石轧碎机的活动夹板长600mm，由曲柄OE借连杆组带动，使它绕A轴摆动，如图所示。曲柄OE长100mm，角速度为10rad/s。连杆组由杆BG，GD和GE组成，杆BG和GD各长500mm。求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。解:1杆DE作平面运动,瞬心为C12杆BG作平面运动,瞬心为C2§9-5用基点法求平面图形内各点的加速度A：基点

平面运动=随基点Ａ的平移+绕基点A的转动Ax’y’

：平移动参考系

例9-9如图所示，在外啮合行星齿轮机构中，系杆以匀角速度ω1绕O1转动。大齿轮Ⅱ固定，行星轮Ⅰ半径为r，在轮Ⅱ上只滚不滑。设A和B是轮缘Ⅰ上的两点，点A在O1O的延长线上，而点B在垂直于O1O的半径上。求：点A和B的加速度。解:

1轮Ⅰ作平面运动,瞬心为C2选基点为Ｏ√√√√√√

例9-10如图所示，在椭圆规机构中，曲柄OD以匀角速度ω绕O轴转动。OD＝AD＝BD＝l。求：当时，尺AB的角加速度和点A的加速度。解:1AB作平面运动,瞬心为C求：车轮上速度瞬心的加速度。

例9-11车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心O的速度为，加速度为,车轮与地面接触无相对滑动。解:1车轮作平面运动,瞬心为C3选Ｏ为基点[例3]

曲柄滚轮机构滚子半径R=15cm,n=60rpm求：当=60º时(OAAB),滚轮的Ｂ，Ｂ．运动学（）P１为其速度瞬心分析:要想求出滚轮的Ｂ,Ｂ先要求出vB,

aBP2vBP1

解：⒈运动分析：OA定轴转动,AB杆和轮B作平面运动研究AB：⒉研究AB

:⑴速度分析，用速度瞬心法求wAB和vB

：运动学⑵加速度分析，用基点法求eAB和aB：取A为基点，指向O点大小：方向:两未知量可解⑶作加速度矢量关系图求解：将上式投影到x轴上，得：运动学）(P2为轮B速度瞬心⒊研究轮B

:vBP2⑴速度分析，用速度瞬心法求wB

：）(⑵加速度分析，求eB

：运动学§9-6运动学综合应用举例1运动学综合应用：机构运动学分析2已知运动机构未知运动机构3连接点运动学分析求：该瞬时杆OA的角速度与角加速度。

例9-12图示平面机构，滑块B可沿杆OA滑动。杆BE与BD分别与滑块B铰接，BD杆可沿水平轨道运动。滑块E以匀速v沿铅直导轨向上运动，杆BE长为。图示瞬时杆OA铅直，且与杆BE夹角为。解:1杆BE作平面运动,瞬心在O点取E为基点沿BE方向投影绝对运动：直线运动(BD)相对运动：直线运动(OA)牵连运动：定轴转动(轴O)动点：滑块B

动系：OA杆√√√沿BD方向投影沿BD方向投影求：此瞬时杆AB的角速度及角加速度。

例9-13在图所示平面机构中，杆AC在导轨中以匀速v平移，通过铰链A带动杆AB沿导套O运动，导套O与杆AC距离为l。图示瞬时杆AB与杆AC夹角为。解:1动点：铰链A

动系：