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文档简介

§3.2向量组及其线性组合

一、n维向量二、向量组与矩阵三、向量组的线性组合四、等价向量组一、n维向量1.定义3.1

n个有次序的数

a1,a2,,an

所组成的数组称为

n

维向量,第i

个数称为第

i

个分量.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.2.n

维向量的表示方法n维向量写成一列,称为列向量.通常用,,,或a,b,c,

等表示.n维向量写成一行,称为行向量.通常用T,T,T,或aT,bT,cT,

等表示.列向量可通过转置变为行向量.列向量可写为:元素全为零的向量称为零向量.记作或

说明1.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.当没有明确说明是行向量还是列向量时,所指向量都当作列向量.2.行、列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；向量加法与数乘运算统称为向量的线性运算.1.若干个同维数的列向量组成的集合叫做列向量组．二、向量组与矩阵(行)(行)

2.一个mn矩阵A=(aij)的每一列都可看成一个m维列向量,向量组

1,2,,m

称为矩阵A的列向量组.3.一个mn矩阵A=(aij)的每一行都可看成一个n维行向量,向量组称为矩阵A的行向量组．矩阵的列向量组和行向量组都是只含有有限个向量的向量组；

反之,一个含有限多个向量的向量组总可以构成矩阵.三、向量组的线性组合与线性表示1.定义3.2线性组合则称向量b能由向量组A

线性表示．例如:2.定理3.5向量b能由向量组

1,2,,m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(1,2,,m)的秩等于矩阵B=(1,2,,m,b

)的秩.例1解四、等价向量组1.定义3.3设有两个向量组

若向量组B中的每个向量都能由向量组A线性表示,就称向向量组B能由向量组A线性表示.若向量组A与向量组B能相互线性表示,则称向量组A

与B

等价.向量组B能由向量组A线性表示有解定理3.6向量组B:1,2,,s

能由向量组A:1,2,,m线性表示的充要条件是矩阵A=(1,2,,m)的秩等于矩阵(A,B)=(1,2,,m,1,2,,s)的秩,即R(A)=R(A,B).推论向量组A:1,2,,m

与向量组B:1,2,,s

等价的充要条件是R(A)=R(B)=R(A,B),其中A和B是向量组A和B所构成的矩阵.

定理3.7向量组B:1,2,,s

能由向量组A:1,2,,m线性表示,则R(1,2,,s)R(1,2,,m).例2证明向量组

1,2

与向量组

1,2

等价.

证明记A=(1,2),B=(1,2),只要证R(

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