3.3.2简单的线性规划2

xyo简单的线性规划（2）——线性规划的简单应用解线性规划问题的步骤：

（1）画：画出可行域；（2）移:画目标函数并平移，寻找最优解；

（3）求：求出最优解;（4）代入目标函数求最值;

练习例题分析例1:某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t需消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t；生产乙种产品1吨需消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t、消耗B种矿石不超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多少(精确到0.1t),能使利润总额达到最大?

甲产品（1t）

乙产品（1t）

资源限额（t）A种矿石（t）

B种矿石（t）

煤（t）

利润（元）

产品消耗量资源列表：51046004491000300200360解:设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z元例题分析

甲产品（1t）

乙产品（1t）

资源限额（t）A种矿石（t）

B种矿石（t）

煤（t）

利润（元）

产品消耗量资源列表：51046004491000300200360把题中限制条件进行转化：约束条件10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.

目标函数：解:设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z元xtyt例题分析解:设生产甲、乙两种产品.分别为xt、yt,利润总额为z=600x+1000y.

元,那么{10x+4y≤3005x+4y≤2004x+9y≤360x≥0y≥0z=600x+1000y.作出以上不等式组所表示的可行域作出一组平行直线

600x+1000y=Z，解得交点M的坐标为(12.4,34.5)5x+4y=200{4x+9y=360由10x+4y=3005x+4y=2004x+9y=360600x+1000y=0M答:应生产甲产品约12.4吨，乙产品34.5吨，能使利润总额达到最大。(12.4,34.4)经过可行域上的点M时,目标函数在y轴上截距最大.90300xy10201075405040此时z=600x+1000y取得最大值.解线性规划应用问题的一般步骤：2）设好变元并列出不等式组和目标函数

3）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；4）在可行域内求目标函数的最优解1）理清题意，列出表格：5)还原成实际问题(准确作图，准确计算)例题分析例2

要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示

：解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则规格类型钢板类型第一种钢板第二种钢板A规格B规格C规格212131作出可行域（如图）目标函数为

z=x+y今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。X张y张2x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈Ny≥0y∈N例题分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈Ny≥0y∈N直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.

作出一组平行直线z=x+y，目标函数z=

x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)调整优值法246181282724681015但它不是最优整数解.作直线x+y=12答（略）在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下）2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。练习巩固.某家具厂有方木料90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？由上表可知：（1）只生产书桌，用完木工板了，可生产书桌600÷2=300张,可获利润:80×300=24000元,但木料没有用完（2）只生产书橱，用完方木料，可生产书橱90÷0.2=450张,可获利润120×450=54000元,但木工板没有用完产品

资源

书桌（张）

书橱（张）

资源限额

m3方木料m3

0．1

0．2

90

木工板m321600利润（元）80120分析：xy02x+y-600=0300600x+2y-900=0A(100,400)某家具厂有方木料90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元；（1）怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？（1）设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为{0.1x+0.2y≤902x+y≤600x，y∈N*Z=80x+120y作出不等式表示的平面区域，当生产100张书桌，400张书橱时利润最大为z=80×100+120×400=56000元（2）若只生产书桌可以生产300张，用完木工板，可获利24000元；（3）若只生产书橱可以生产450张，用完方木料，可获利54000元。将直线z=80x+120y平移可知：900450求解：Xy084x=8y=47654321321x+y=104x+5y=30320x+504y=03.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元，B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）解：设每天调出的A型车x辆，B型车y辆，公司所花的费用为z元，则x≤8{y≤4x+y≤10x,y∈N*4x+5y≥30Z=320x+504y作出可行域中的整点，可行域中的整点（5，2）使Z=320x+504y取得最小值，且Zmin=2608元作出可行域二元一次不等式

表示平面区域直线定界，

特殊点定域简单的线性规划约束条件目标函数可行解可行域最优解应用求解方法：画、移、求、答例题分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y=02x+y≥15,{x+2y≥18,x+3y≥27,x≥0,x∈N*y≥0y∈N*经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，t=x+y=12是最优解.答:(略)作出一组平行直线t

=

x+y，目标函数t

=

x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法在可行域内打出网格线，当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，将直线x+y=11.4继续向上平移，12121827159781.咖啡馆配制两种饮料．甲种饮料每杯含奶粉9g、咖啡4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g、咖啡5g、糖10g．已知每天原料的使用限额为奶粉3600g，咖啡2000g糖3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？

解：将已知数据列为下表：

消耗量资源甲产品（1杯）乙产品(1杯)资源限额（g）奶粉（g）943600咖啡(g)452000糖(g)3103000利润（元）0.71.2

产品练习巩固设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，则作出可行域：目标函数为：z=0.7x+1.2y作直线l:0.7x+1.2y=0，把直线