第五章技术基础计算机辅助工程分析

第五章技术基础计算机辅助工程分析第1页，共50页。第五章计算机辅助工程分析

ComputerAidedEngineering第2页，共50页。引例计算机辅助工程分析是涉及有限元分析技术、数值计算技术、产品优化设计方法和工程分析与仿真等在内的一个综合性系统。计算机辅助工程分析的核心技术是工程问题的模型化和数值实现方法

。计算机辅助工程分析的理论基础是有限元法、边界元法及结构优化设计技术等计算力学方法。第3页，共50页。引例设计过程费时费力。传统塑料注射模模具设计过程概念设计产品设计模具设计开模试模生产修改第4页，共50页。引例塑料注射模具的计算机辅助工程做法计算机辅助工程概念设计产品设计模具设计开模试模生产减少设计开发新产品时间，降低开发成本第5页，共50页。内容5.1有限元分析技术5.2机械优化设计方法

5.3虚拟样机技术

第6页，共50页。5.1有限元分析技术5.1.1有限元分析方法概述

FiniteElementAnalysis是一种用于求解各类工程实际问题的数值计算方法，广泛应用于解决力学问题和场问题。简称为FEA第7页，共50页。有限元分析的思路和方法：5.1有限元分析技术物体离散化。单元特性分析

。单元组集。求解未知节点位移。5.1.1有限元分析方法概述

第8页，共50页。将某个工程结构离散为由各种单元（每种单元可以是一维、二维或三维的情况）组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连结起来。单元节点的设置、性质、数目等应根据问题的性质、描述变形形态的需要和计算精度而定(一般情况，单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大)。

5.1有限元分析技术5.1.1有限元分析方法概述

1.物体离散化第9页，共50页。选择位移模式：可选择节点位移作为基本未知量；可选择节点力作为基本未知量；亦可取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量。分析单元的力学性质：根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式。计算等效节点力：用等效的节点力来替代所有作用在单元上的力。5.1有限元分析技术5.1.1有限元分析方法概述

2.单元特性分析

第10页，共50页。5.1有限元分析技术5.1.1有限元分析方法概述

3.单元组集

利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新联接起来，形成整体的有限元方程(5.1)K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；F是载荷列阵。第11页，共50页。5.1有限元分析技术5.1.1有限元分析方法概述

4.求解未知节点位移

解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。有限元法的基本思想是“一分一合”，“分”是为了进行单元分析，“合”则是为了对整体结构进行综合分析。第12页，共50页。5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法5.1有限元分析技术直接方法。虚功原理法。能量变分原理方法第13页，共50页。5.1有限元分析技术1.直接方法

图中所示是xoy平面中的简支梁弯曲简图，EI为梁的抗弯刚度。现在，以它为例用直接方法建立单元的刚度矩阵。图5.1平面简支梁和它的计算模型5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第14页，共50页。5.1有限元分析技术1.直接方法

梁在横向外载荷(可以是集中力或力矩或分布载荷等)作用下产生弯曲变形，对于平面弯曲问题，每个点(包括支承点)处的位移有两个，即挠度和倾角；相应地也有两个节点力，即与挠度对应的剪力和与倾角对应的弯矩。我们规定挠度和剪力向上为正，倾角和弯矩逆时针方向为正。为使问题简化，把图示的梁看成是一个单元。当令左支承点为节点i，右支承点为节点j时，则节点位移和节点力可以分别写成Vi、θzi、Vj、θzj和Fyi、Mzi、Fyj、Mzj。也可写成矩阵形式5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第15页，共50页。5.1有限元分析技术1.直接方法

梁的节点力和节点位移是有联系的。在弹性小位移范围内，这种联系是线性的。即它代表了单元的载荷与位移之间(或力与变形之间)的联系，称为单元的有限元方程。式中[K]称为单元刚阵，它是单元的特性矩阵。（5.2）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第16页，共50页。5.1有限元分析技术1.直接方法

单元刚度矩阵中任一元素kij表示j号节点的单位位移对i号节点力的贡献。如[K]中第1列各元素就分别代表当在i节点处挠度方向产生单位位移i=1时，它们对其他各位移(包括vi)方向上引起的节点力Fyi，Mzi，Fyj，Mzj的贡献。由功的互等定理有kij=kji，所以单元刚度矩阵是对称的。对于梁单元平面弯曲问题，可以计算出各系数kij的数值。5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第17页，共50页。5.1有限元分析技术1.直接方法

假设则梁变形情况如图所示：图5.2梁变形图图5.3梁变形图5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第18页，共50页。5.1有限元分析技术1.直接方法

这时，平面弯曲梁单元的刚度矩阵或单元特性矩阵为：（5.3）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第19页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

解题基本步骤：设定位移函数由位移函数求应变根据虎克定律，通过应变求应力由虚功原理求单元的刚度矩阵5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第20页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

以平面问题中的三角形单元为例，说明其方法步骤。图5.4三角形单元5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第21页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

当单元很小时，单元内一点的位移可以通过节点的位移数值来表示。假设单元内位移为x,y的线性函数，即：设三节点三角形单元内的位移函数为：5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第22页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

写成矩阵形式：（5.4）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第23页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

同理，单元的三个节点i，j，k上的位移也可用它来表示：即5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第24页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

其中式中A是三角形面积5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第25页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

（5.5）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第26页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第27页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

上式相乘后，可写成也可简写成此式即为单元内某点的位移用节点位移插值表示的多项式。称[N]为形状函数。（5.6）（5.6a）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第28页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

由弹性力学知（5.7）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第29页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

根据虎克定律，对于平面问题，有其中对于平面问题为（5.8）（5.9）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第30页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

根据虚功原理，当结构受载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的节点虚位移下，外力(节点力){F}及内力{σ}所做的虚功之和应等于零，即5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第31页，共50页。5.1有限元分析技术2.虚功原理法

经推导得平面应力问题三角形单元刚度矩阵为：（5.16）5.1.2有限元分析方法中单元特性的导出方法第32页，共50页。5.1有限元分析技术5.1.3有限元法的解题步骤1单元剖分和插值函数的确定根据构件的几何特性、载荷情况及所要求的变形点，建立由各种单元所组成的计算模型。再按单元的性质和精度要求，写出表示单元内任意点的位移函数u(x,y,z)，v(x,y,z)，w(x,y,z)或{d}=[S(x,y,z)]{a}。上式是用节点位移表示单元体内任意点位移的插值函数式。第33页，共50页。5.1有限元分析技术5.1.3有限元法的解题步骤2单元特性分析根据位移插值函数，由弹性力学中给出应变和位移关系，计算出应变。由物理关系，得应变与应力的关系式。由虚位移原理，可得单元的有限元方程，或力与位移之间的关系式，即式中，[K]是单元特性，即刚度矩阵第34页，共50页。5.1有限元分析技术5.1.3有限元法的解题步骤3单元组集把各单元按节点组集成与原结构相似的整体结构，得到整体结构的节点与节点位移的关系：式中，K是整体结构的刚度矩阵；F是总的载荷列阵；q是整体结构所有节点的位移列阵。4解有限元方程可采用不同的计算方法解有限元方程，得出各节点的移。5计算应力第35页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.1机械优化设计问题的数学模型1设计变量一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。对某个具体的优化设计问题，并不是要求对所有的基本参数都用优化方法进行修改调整。一些参数，可以根据已有的经验预先取为定值。这样，对这个设计方案来说，它们就成为设计常数。而除此之外的基本参数，则需要在优化设计过程中不断进行修改、调整，这些基本参数称为设计变量，又叫做优化参数。第36页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.1机械优化设计问题的数学模型1设计变量设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示称作设计变量向量。向量中分量的次序完全是任意的．可以根据使用的方便任意选取。一旦规定了这样一种向量的组成，则其中任意一个特定的向量都可以是一个“设计”。第37页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.1机械优化设计问题的数学模型2约束条件一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。在工程问题中，根据约束的性质可以把它们分成性能约束和侧面约束两大类，针对性能要求而提出的限制条件称作性能约束。不是针对性能要求，只是对设计变量的取值范围加以限制的约束称作侧面约束。第38页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.1机械优化设计问题的数学模型3目标函数倘若需要优化的性质可以表示成设计变量的一个可计算函数，这个用来使设计得以优化的函数就称作目标函数。建立目标函数是整个优化设计过程中重要的问题。当对某一个性能有特定的要求，而这个要求又很难满足时，则若针对这一性能进行优化将会取得满意的效果。但在某些设计问题中，可能存在两个或两个以上需要优化的指标，这将是多目标函数的问题。第39页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.1机械优化设计问题的数学模型4优化问题的数学模型优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。在实际优化问题中，对目标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化f(x)→min或目标函数级大化f(x)→max。由于求f(x)的极大化与求-f(x)极小化等价，所以优化问题的数学表达一般采用目标函数极小化形式。第40页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.2机械优化设计问题的基本解法1解析解法与数值解法解析解法就是把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法(如微分方法)求出优化解。但是，在很多情况下，优化设计的数学描述比较复杂．因而不便于其至不可能用解析方法求解。数值解法不仅可用于求解复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数学解析表达式的优化设计问题。因此，它是实际问题中常用的方法。第41页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.2机械优化设计问题的基本解法2优化准则法与数学规划法优化准则法是从一个初始设计xk出发，着眼于在每次迭代中满足的优化条件，按着迭代公式得到一个改进的xk+1，而无需再考虑目标函数和约束条件的信息状态数学规划法是从一个初始设计xk出发，对结构进行分析，但是按照如下迭代公式得到一个改进的设计xk+1（5.20）（5.21）第42页，共50页。5.2机械优化设计方法

5.2.2机械优化设计问题的基本解法3迭代终止条件准则1：当相邻两设计点的移动距离已达到充分小时，即：准则2：当函数值的下降量已达到充分小时，即：准则3：当某次迭代点的目标函数梯度已达到充分小时，即：采用哪种收敛准则，可视具体问题而定。第43页，共50页。5.2机械优化设计方法

例题：平面四连杆机构的优化设计。图5.5所示是一个曲柄摇杆机构。图中x1,x2,x3,x4分别是曲柄AB、连杆BC、摇杆CD和机架AD的长度。φ是曲柄输入角，ψ0是摇杆输出的起始位置角。这里，规定φ0为摇杆的右极限位置角为ψ0时的曲柄起始位置角，它们可以由x1,x2,x3,x4确定。通常规定曲柄长度x1=1，而在这里x4是给定的，并设x4=5，所以只有x2和x3是设计变量。图5.5曲柄摇杆机构第44页，共50页。5.2机械优化设计方法

例题：平面四连杆机构的优化设计。在给定最大和最小传动角的前提下，当曲柄从φ0位置转到φ0+90°时，要求摇杆的输出角最优地实现一个给定的运动规律f0(φ)。要求对于这样的设计问题，可以取机构的期望输出角ψ=f0(φ)和实际输出角ψj=fj(φ)的平方误差积分准则作为目标函数，使最小。第45页，共50页。5.2机械优化设计方法

例题：平面四连杆机构的优化设计。当把输入角φ取s个点