第二十六讲功率谱估计基础理论

江江：第14章：功率谱第二十六讲：14.1、 著)3.6基于有限长信号观察的功率谱估计（掌握（周期图法、离 变换第二十七讲：14.2功率谱估计的非参数化方法（掌握（改进的周期图法第二十八讲：14.3～14.4功率谱估计的参数化方法（掌握（AR、MA、ARMA模型滤波器组方法（掌握 第14章：功率谱回顾：利用DFT进行谱分

FT

回顾：利用DFT进行谱分xa

t

xN

Xa(jf

fs

X(ejω)

Ffs

XNXX(ejω)1X(j2πfjk2πTakT (k)NN NXN(ejω)X(ejXN(ejω)X(ejω) 回顾：利用DFT进行谱分

xa0

t

Xa(jf0X(ejω

XN(e

0xN

N

XN(k

ω

N

N

k第二十六相关性（函数）《-》DTFT（频谱）能量谱密度 第二十七能量信号的能量谱能量信号的能量谱TT

E

xa

2dt

x(n)xa

t

xa(nT Xa(F)

aa

x(t)ej2πF

ff

X(f)x(n)ej2π1/x(n)1/x(n)X(f)ej2πx(t)Xa(FXa(F1/X(f)FsXa(FkFsr

XX(f)FsXa(F

FFs/能量信号的能量谱

序列x(n)的rxx(m)

x(nm)x

x(n)x*(n

m0,1,

r*(m)r

(0)

x*(n)x(n)

=E <rxxrxx(m)x(m)x*(m)能量信号的能量谱密 自相关的DTFT Sxx(ω)

(m)]

r(m)ejωmmr(m) (ω)]

π

2π E=r(0)

π

1/

(f

2π

1/ rr(m)x(m)x* X(ω)X*(ω)X(ω) (f)X(f) F2X(f

XX(f)FsXa(F能量信号的能量谱

? 截取（加窗）无限长序 ? 截取（加窗）

X(f)X(f)W(f

1/21/2

X(α)W(fα

(f)

能量信号的能量谱

X(f)

|f|

X(f)X(f)W(f能量信号的能量谱

能量信号的能量谱

1、给定阻带衰减确定窗函数类2、给1、给定阻带衰减确定窗函数类2、给定过渡带宽上确定N小窗函窗函过渡阻带最小衰窗汉宁(窗汉宁(升余弦)窗

NN

曼曼能量信号的能量谱周期序列：

N j2π

k

N j2π X(k x(

n

0kN1 m-1个0，谱线幅度扩大m倍第二十七随机信号的功率谱2随机信号的功率谱密

能量信号x(n)的rxx(m)

x(nm)x

m0,1,γxx(m)Ex(nm)x* DTFT：xx(ω)DTFT[γxx(m)]

m

(m)eP=r(0)

π

1/ (f

2π

γγ(m)2随机信号的功率谱密γ(m)σ2δ

xx(ω)σx n0,1,...,Nxrr

'(m) N x(nm)x* Nr'(m)r

*

m0,1,...,N

Nγ(m)γ(m) x(nm)x*

(f) nN

r'(m)ej2π2随机信号的功率谱密

r'(m)

N

γ(m)Ex(nm)x* N

m)x

E[r'(m)]γ limVar[r'(m)]

Var[r'(m)] γ

2

(nm)γ(n (N

近于时，估计数据点少，方差较大2随机信号的功率谱密

Nr'(m) x(nm)x*r Nr(m)

(m)

1N

x(nm)x m0,1,...,N

1Nr(m) x(nm)x* m1,...,N 均值：E[

Nm

n

方差 Var[r(m)]

(nm)γ(n1N 1N

limVar[rxx(m)]

2随机信号的功率谱密

rxx(m)

Nx(nm)x* m0,1,...,Nr

1N1

N1 N

r(m)

x(nm)x*(n)

m1,...,N

n

NP(f)

r(m)ej2π nN P(f)

N x(n)ej2πn

X(f)N2随机信号的功率谱密

NPxx(f)nN

r(m)ej2πN

mE[

(f)] nN1/

1

γ(m)ej2πN1/2

(α)WB(fαE[E[rxx(m)]NN相当于自相关函数加窗（三角形窗）后的2随机信号的功率谱密

N

m

E[Pxx(f)]

1

(m)ej2πnN limE[Pxxfxxf N

sin2πfN22Var[Pxx(f)]xx(f)12

Nsin2πflimVar[Pxx(f)]2(f

r(m)

N

x(nm)x

limVar[rxx(m)]

第二十七随机信号的功率谱DFT进行谱分析的误差DFT进行谱分析的误差

1）要求满足时域采样定理；时域乘积《-》频域卷积，频谱出现差异 近FT，谱线中间部分无法得到 DFT进行谱分析的误差加大Xa(加大

a

G(G(采样s2

c00

ˆa(

ˆa(j0G(

s2

s20s s2c频谱

ˆa(s

Xa(0DFT进行谱分析的误差

4点

|X(ejω)0|X(k)

πN

加大加大ω k8点

|X(k)N= |X(k)

离 N＝4，4k＝8，8N=k

DFT进行谱DFT进行谱分析的误差N=8N=N=N=原始数据16DFT进行谱