中南大学塑性加工课件第01章

金属塑性加工力学

中南大学材料科学与工程学院王孟君教授第1章应力分析与应变分析§1.1应力与点的应力状态§1.2点的应力状态分析§1.3应力张量的分解与几何表示§1.4应力平衡微分方程§1.5应变与位移关系方程§1.6点的应变状态§1.7应变增量§1.8应变速度张量§1.9主应变图与变形程度表示§1.1应力与点的应力状态外力P(Load)：指施加在变形体上的外部载荷。可以分成表面力和体积力两大类。表面力即作用于工件表面的力，它有集中载荷和分布载荷之分，一般由加工设备和模具提供。体积力则是作用于工件每一质点上的力，如重力、磁力、惯性力等等。内力Q(Internalforce)：内力是材料内部所受的力，它的产生来自于外界作用和物体内维持自身完整性的力。§1.1.1应力应力S是内力的集度

内力和应力均为矢量

应力的单位：1Pa=1N/m2=1.0197Kgf/mm2

1MPa=106N/m2应力是某点A的坐标的函数，即受力体内不同点的应力不同。应力是某点A在坐标系中的方向余弦的函数，即同一点不同方位的截面上的应力是不同的。应力（Stress）：应力是单位面积上的内力（见右图）。其定义式为：Sn=dQ/dA

应力可以分解为切应力和正应力，与坐标轴的选

取有关：符号的定义：正正得正，负负得正，正负得负，

负正得负。

边界法线：根据X，Y，Z方向力的平衡有：

或者

任意截面上的应力分析应力可以进行分解Sn

n、n

（n—法向）

某截面（外法线方向为n）上的应力：

截面应力分解一点的应力状态：是指通过变形体内某点的单元体所有截面上的应力的有无、大小、方向等情况。一点的应力状态的描述

数值表达：x=50MPa，xz=35MPa

图示表达：在单元体的三个正交面上标出（如图1-2）

张量表达：

(i,j=x,y,z)

§1.1.1一点的应力状态及应力张量

应力分量图示

应力的分量表示及正负符号的规定

ij

xx、xy、xz、yx、yy、yz、zx、zy、zzi——应力作用面的外法线方向j——应力分量本身作用的方向当i=j时为正应力i、j同号为正（拉应力），异号为负（压应力）当i≠j时为剪应力i、j同号为正，异号为负

表示某点六面体各面上各主应力有无及其方向的图叫主应力图。根据应力的张量分解，有主应力是指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向。这样就有：主应力上式是一三元一次线性方程组，有非零解，则主切应力改变方向，总有若干方向使tn达到极值成为主切应力，其作用面为主切平面。由八面体应力和等效应力八面体表面上：因此就有

等效应力表示在应变能相等的情况下，将一般应力状态折合成单向应力状态的作用值。特殊应力总结三组特殊截面：1三对主平面，应力空间中构成平行六面体，只有主应力无切应力。2六对主切平面，在应力空间构成十二面体，其上有主切应力。3四对八面体面，构成正八面体，其上作用有大小相等的八面体应力。总共十三对特殊应力平面。应力坐标变换

实例：直角坐标与柱面坐标变换例1：直角坐标与柱面坐标变换已知直角坐标下某点的应力分量，试求其圆柱坐标系下

的应力分量表达式。实例：作用在滑移系位错上的力例2：作用在滑移系位错上的力金属材料发生塑性变形主要是由于外力作用下驱动滑移系上位错运动的宏观表现，b和n分别为滑移方向和滑移面法向的单位向量，求单轴拉伸时作用在滑移系上的正应力和沿滑移方向上的切应力。§1.2点的应力状态分析§1.2.1主应力及应力张量不变量§1.2.2主剪应力和最大剪应力§1.2.3八面体应力与等效应力§1.2.1主应力及应力张量不变量

主应力（Principalstress

）：指作用面上无切应力时所对应的正应力，该作用面称作主平面，法线方向为主轴或主方向

设主应力为σ，当为主方向时，有，，，代入整理，有：

求解lx、ly、lz的非零解，必有系数行列式值为零，最终可得：该面叫做主平面，法线方向为主方向

式中I1、I2、I3称作应力张量的第一、二、三不变量。

讨论：

1.可以证明，在应力空间，主应力平面是存在的；2.三个主平面是相互正交的；3.三个主应力均为实根，不可能为虚根；4.应力特征方程的解是唯一的；5.对于给定的应力状态，应力不变量也具有唯一性;6.应力第一不变量I1反映变形体体积变形的剧烈程度，与塑性变形无关；7.应力不变量不随坐标而改变。主应力的求解主应力的图示

§1.2.2主切应力和最大剪切应力主切应力(Principalshearstress)：极值切应力（不为零）平面上作用的切应力。最大剪应力(Maximunshearstress)：

通常规定：则有最大剪应力：

或者：

其中：

且有：02,2,2},,max{312312133132232112312312max=++-±=-±=-±==tttsstsstssttttt主应力空间的｛110｝面族。§1.2.3八面体应力与等效应力

在主应力空间中，每一卦限中均有一组与三个坐标轴成等倾角的平面，八个卦限共有八组，构成正八面体面。八面体表面上的应力为八面体应力。正应力剪应力总应力

八面体上的正应力与塑性变形无关，剪应力与塑性变形有关。八面体应力

八面体应力的求解思路：关键

等效应力

为了使不同应力状态具有可比性，定义了等效应力σe（Effectivestress

），也称相当应力。应变能相同的条件下或公式：1.等效的实质？是应变能等效（相当于）。2.什么与什么等效？复杂应力状态（二维和三维）与单向应力状态（一维）等效。3.如何等效？等效公式（注意：等效应力是标量，没有作用面）。4.等效的意义？屈服的判别、变形能的计算等。讨论§1.3应力张量的分解与几何表示

塑性变形时体积变化为零，只有形状变化。因此，可以把σij（Stresstensor

）分解成与体积变化有关的量和形状变化有关的量。前者称为应力球张量(Sphericalstresstensor)

，后者称为应力偏张量(Deviatoricstresstensor)

。设σm为平均应力，则有按照应力叠加原理，σij具有可分解性。因此有式中，当i＝j时，δij＝1；当i≠j时，δij＝0即:

上式第一项为应力偏张量，其主轴方向与原应力张量相同；第二项为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同。

值得一提的是，σmδij只影响体积变化，不影响形状变化，但它关系到材料塑性的充分发挥。三向压应力有利于材料塑性的发挥。

应力偏张量仍然是一个二阶对称张量，同样有三个不变量，分别为，，。表明应力偏张量已不含平均应力成分；与屈服准则有关反映了变形的类型：﹥0表示广义拉伸变形，＝0表示广义剪切变形，﹤0表示广义压缩变形。

讨论：

分解的依据：静水压力实验证实，静水压力不会引起变形体形状的改变，只会引起体积改变，即对塑性条件无影响。为引出形状改变的偏应力张量，为引出体积改变的球张量（静水压力）。§1.4应力平衡微分方程

应力平衡微分方程就是物体任意无限相邻两点间σij关系，可以通过微体沿坐标轴力平衡来得到，一般应力平衡方程在不同坐标系下有不同的表达式。

直角坐标下的应力平衡微分方程*

简记作

推导原理：

静力平衡条件：

静力矩平衡条件：

泰勒级数展开：

圆柱坐标下的应力平衡微分方程

球坐标下的应力平衡微分方程？

平衡微分方程汇总§1.5应变与位移关系方程§1.5.1几何方程

物体变形时，内部各质点都在运动，质点在不同时刻所走的距离称作位移(Displacement)

。而变形则是指两点间距的变化。这种变化有绝对变形与相对变形之分。应变(Strain)属相对变形，它是由位移引起的。研究变形通常从小变形着手。小变形是指数量级不超过10-3～10-2的弹塑性变形。大变形可以划分成若干小变形，由小变形叠加而来。直角坐标系下几何方程：柱坐标系下几何方程：

1.物理意义：表示位移与应变之间的关系；2.位移包含变形体内质点相对位移产生的应变和变形体的刚性位移(平动和转动）；3.工程剪应变:

理论剪应变：

讨论4.应变符号规定：正应变或线应变();

伸长为正，缩短为负；剪应变或切应变（）;

夹角减小为正，增大为负；5.推导中应用到小变形假设、连续性假设及泰勒级数展开等。ne§1.6点的应变状态(i,j=x,y,z)

点的应变状态：指过某一点任意方向上的正应变与切应变的有无情况。可用该点截取的无限小单元体的各棱长及棱间夹角的变化来表示。

表示成张量形式：§1.7应变增量全量应变与增量应变的概念

前面所讨论的应变是反映单元体在某一变形过程终了时的变形大小，称作全量应变。而增量应变则是指变形过程中某一极短阶段的无限小应变，其度量基准不是原始尺寸，而是变形过程中某一瞬间的尺寸。增量应变张量§1.8应变速度张量

设某一瞬间起dt时间内，产生位移增量dUi,则应有dUi=Vidt,其中Vi为相应位移速度。代入增量应变张量，有：

令

即为应变速率张量§1.9主应变图与变形程度表示

变形体内一点的主应力图与主应变图结合构成变形力学图。它形象地反映了该点主应力、主应变有无和方向。主应力图有9种可能，塑性变形主应变有3种可能，二者组合，则有27种可能的变形力学图。但单拉、单压应力状态只可能分别对应一种变形图，所以实际变形力学图应该只有23种组合方式。

变形力学图

应变的表示弹性等效应变：塑性等效应变:八面体应变：

变形程度表示绝对变形量

——指工件变形前后主轴方向上尺寸的变化量。不论变形前后尺寸怎样变化，习惯上绝对变形量总量取正值相对变形

——指绝对变形量与原始尺寸的比值，常称为形变率，它排除了初始尺寸的影响，较绝对变形量科学，习惯上也总是取正值。由于把基准看成恒定的