三角函数课件

一、基本概念1.正弦sinA=2.余弦ABCacbcosA=3.正切tanA=

锐角A的正弦、余弦、正切、都叫做∠A的锐角三角函数.锐角三角函数的定义:

对于锐角A的每一个确定的值sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。

同样地，

cosA，tanA也是A的函数。rldmm8989889注意sinA、cosA、tanA、是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA、cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比，对边与邻边的比；sinA不表示“sin”乘以“A”，cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”练习1如右图所示的Rt⊿ABC中∠C=90°，a=5，b=12，那么sinA=_____，

tanA=______cosB=______，cosA=______,思考(3)同角的正弦和余弦,与正切有何关系？

(1)互余两角的正弦与余弦有何关系？(2)同角的正弦与余弦的平方和等于？

BACabcsinA=cos（90°-A）=cosBcosA=sin（90°-A）=sinBcABCba二、几个重要关系式tanA·tan(90°-A)=1sin2A+cos2A=1tanA=练习2⑴已知:Rt△ABC中，∠C=90°∠A为锐角，且tanA=0.6，tanB=().⑵sin2A+tanAtanB-2+cos2A=(

)⑶tan44°tan46°=().(4)tan29°tan60°tan61°=().(5)sin53°cos37°+cos53°sin37°=（）3/5

0

11角度tanαcosαsinα60°45°30°三角函数三、特殊角三角函数值1锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？0<sinA<10<cosA<1☆

练一练1.已知角，求值求下列各式的值1.2sin30°+3tan30°+tan45°2.cos245°+tan60°cos30°3.☆

应用练习1.已知角，求值求锐角A的值2.已知值，求角1.已知tanA=，求锐角A.已知2cosA-=0,

求锐角A的度数.解：∵2cosA-=0∴2cosA=∴cosA=∴∠A=30°☆

应用练习1.已知角，求值确定值的范围2.已知值，求角3.确定值的范围1.当锐角A>45°时，sinA的值（）(A)小于(B)大于(C)小于(D)大于B(A)小于(B)大于(C)小于(D)大于2.当锐角A>30°时，cosA的值（）C☆应用练习1.已知角，求值确定角的范围2.已知值，求角3.确定值的范围(A)小于30°(B)大于30°(C)小于60°(D)大于60°1.当∠A为锐角，且tgA的值大于时，∠A（）B4.确定角的范围2.当∠A为锐角，且tanA的值小于时，∠A（）(A)小于30°(B)大于30°(C)小于60°(D)大于60°C☆

应用练习1.已知角，求值2.已知值，求角3.确定值的范围当∠A为锐角，且cosA=那么（）4.确定角的范围(A)0°＜∠A≤30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A≤90°确定角的范围4.当∠A为锐角，且sinA=那么（）(A)0°＜∠A≤30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A≤90°DA

思考：在Rt△ABC中，∠C=90°斜边AB=2，直角边AC=1，∠ABC=30°,延长CB到D，连接AD使∠D=15°求tan15°的值。DACB1、解直角三角形的定义：

由直角三角形中除直角外的已知两个元素（至少有一个是边），求出其余的三个未知元素的过程，叫做解直角三角形．四、解直角三角形解直角三角形角与角的关系：∠A＋∠B＝90°边与边的关系：a2+b2=c2（勾股定理）边与角的关系：三角函数关系式ABaC

b┌

c2、几个常用关系（依据）：在直角三角形的5个元素中（除直角外），根据以上关系只要已知两个（至少有一个是边），就可求出其余的三个来例1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线，解这个直角三角形。DABC6解：因为AD平分∠BAC例2、如图，在△ABC中，∠A=30度，求AB。ABCD解：过点C作CD⊥AB于点D∠A=30度，在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（1）a=30,b=20;练习解：根据勾股定理ABCb=20a=30c（2）、在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：

1、测高问题

【例1】、操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度，小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为30度，并已知目高为1.65米．然后他很快就算出旗杆顶到地面的高度了（保留0.01，）。你想知道小明怎样算出的吗？

1.65米10米?30°五、锐角三角函数的应用解：如图，在Rt△ABC中

想一想：此类实际问题用什么方法解决？此法解题的一般过程是什么？（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方的角叫做仰角。视线在水平线下方的角叫做俯角。强调：仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。仰角与俯角450米

合作与探究解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中答：大桥的长AB为【例2】如图直升飞机在跨江大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB.βαPABO答案:

米

合作与探究变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO.ABO30°45°400米P45°30°OBA200米

合作与探究例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.LUD答案:

米P

合作与探究45°30°POBA200米C例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.2、

从20米高的甲楼顶A处望乙楼顶C处的仰角为30°，望乙楼底D处的俯角为45°，求乙楼的高度。（精确到0.1米）AC水平线DB甲乙20m30°45°建筑物塔ABCD20m30°45°ABCD20m30°45°3、由一座建筑物的底部A测得一座塔的顶部D的仰角是30°。由该塔的底部C测得该建筑物的顶部B的仰角是45°。如果塔CD的高度是20m，求(1)A和C之间的距离；(2)该建筑物的高度。

4、如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各边的长,各角的度数和△ABC的面积.ABC4503004cm5、如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各边的长,各角的度数和△ABC的面积.ABC4503004cmD┌方向角北东西南A5828B北偏东58°南偏西28°2、航海问题例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？A北南西东北南西东某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45°的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？（2）轮船要继续前进多少千米？

练习1：如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．北东ABCD练习2：如图所示，气象台测得台风中心在某港口A的正东方向400公里处,向西北方向BD移动，距台风中心300公里的范围内将受其影响，问港口A是否会受到这次台风的影响？ABD东北45°C新概念：坡度、坡比ABhL如图：坡面的垂直高度h和水平宽度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为，坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）

则tanα=α3、坡度问题例题：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度I’=1∶2.5，求斜坡坝底宽AD和斜坡AB的长．解：（1）∵AB=36×0.5=18，∠ADB=60°，∠DBC=30°，∴∠ACB=30°．又∵∠CAB=30°，∴BC=AB=18＞16，∴B点在暗礁区域外．（2）过C点作CH⊥AF，垂足为H，在Rt△CBH中，∠BCH=30°，令BH=x，则CH=x，在Rt△ACH中，∠CAH=30°，∴AH=CH，∴18＋x=-x，∴x=9，∴CH=9<16，∴船继续向东航行有触礁的危险．答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危险．练习1:修建一条铁路要经过一座高山，需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量，西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点C的俯角为60°，AC的长为60m，如图所示，试求隧道BC的长.ABCi=5：3练习2：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60方向航行，那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间（精确到1分）？OA30°60°南东BC北西练习3

已知，如图，C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°的方向上，又在C城市的南偏东56°方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：计划修筑的这种高速公路会不会穿越保护区？为什么？1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他五个元素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的过程.2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是把实际问题转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角形的知识.3.当遇到30º,45º,60º等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题.4.应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行:⑴寻找直角三角形,若找不到,可构造;⑵找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,利用题中的数量关系,设x求解.【应用点睛】:

rldmm8989889注意sinA、cosA、tanA、是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；sinA、cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比，对边与邻边的比