清华大学 08导数与微分的基本概念

第4章导数与微分4.1.导数的概念在时刻t

所处的位置为x(t).(变速运动的瞬时速度)质点沿x轴作直线运动,求质点在任一时刻t

的瞬时速度.解质点在这段时间中的平均速度等于:引例1平均速度如果存在极限：那么瞬时速度就等于平均速度的极限.引例2解如果平均密度存在极限，4.1.1导数定义4.1.1设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称在点可导，此极限称为

在点的导数(derivative),注1极限(*)一种等价的形式注2若(*)则极限(*)不存在.这说明若f(x)在某点可导,在该点一定连续.反之不然!例4.1.1在x=0连续，极限不存在，所以f(x)在x=0不可导.注3

在点导数的几何意义:x0即为在点处切线的斜率.在点的法线斜率：例4.1.2求函数在的切线和法线方程.解切线方程:即法线方程:即单侧导数的定义称此极限为

在点的右导数(right-handderivative),设I是一个开区间.则称在I内可导.此时也是定义在I上的函数,称为f(x)的导函数(derivedfunction).若在I上也连续,若在(a,b)可导，在闭区间[a,b]可导.(1)若存在,

称此极限为

在点的左导数(left-handderivative),(2)若存在,在I中的每个点都有导数,若则记作则称记作记作都存在，且命题

在点的导数存在当且仅当都存在且相等.此定理根据函数极限的性质可直接得出.4.1.2常见函数的导数(1)常函数所以,(2)正余弦函数所以,同理,请同学们课后自己推导.(3)对数函数所以,特别地,当a=e时有(4)指数函数所以,特别地,当a=e时有(5)幂函数所以,事实上,例如,例4.1.3求函数在的切线方程.切线方程:即例4.1.4设若在可导,a,b应取何值？解首先在连续,即又因为,所以,解方程组可得基本导数表4.2导数的运算法则4.2.1导数的四则运算定理4.2.1设函数在点x都可导,(1)在点x可导,函数(2)在点x可导,函数(3)则函数在点x可导,证明(1)可由函数极限的性质直接推出.下证(2)和(3).则且且且若所以,所以,同理,例4.2.1设计算解例4.2.2计算解课后练习:4.2.2反函数的导数定理4.2.2(反函数求导)设函数在区间(a,b)连续且严格单调，存在且不等于零,反函数在点处可导,证明由已知条件可以推出反函数也是连续且严格单调的.因此在y0附近，时,由复合函数求极限法则:则并且有例4.2.3计算解可写成:所以,课后练习:4.2.3复合函数的导数定理4.2.3(复合函数求导)对于复合函数若在点x可导,在点可导,在点x可导,或者证明因为在点u可导,其中因为在点x可导,所以当时,所以,而则复合函数并且有所以因此即注复合函数求导法则又称为链式法则(chainrule).例4.2.4设求解令由复合函数求导法则,例4.2.5设求解例4.2.6设求解隐函数的定义？隐函数的求导可用复合函数求导法则进行.4.3.1隐函数求导法例4.3.1由定义的函数已知函数由确定,4.3

若干特殊的求导方法4.3.1隐函数求导法4.3.2参数式函数求导法4.3.3对数求导技巧求例4.3.1函数由确定,解根据复合函数求导法则，即所以即例4.3.2已知曲线L：由方程确定,求L在点(1,1)处的切线方程.解将两端分别对x求导有解得所以因此L在点(1,1)的切线方程为求4.3.2参数式函数求导法假定函数表示.由参数方程？假定可微,则有有反函数且例4.3.3已知椭圆方程求椭圆上任意点的切线.解当时,所求切线方程为:当时,切线方程:当时,切线方程:例4.3.4确定,解？设函数由求例4.3.5设求解将函数y两端取对数化成隐函数的形式:所以有因此,4.3.3对数求导技巧例4.3.6设求解将函数y两端取对数化成隐函数的形式：所以有,因此,注上两例中的求导数方法通常称为对数求导法,适用形如或的函数求导.

作业P1194(4)(6)5(2)(5)6(5)8,10,12(1)(3)P1301(13)(18)(19)4(9)(19)(21)5(2)(4)(5)P1361(2)(5)(6)2(3)(6)3,4(3)(4)5,6Bye!4.4高阶导数二阶导数称为的2阶导函数.若在内可导,则的导函数记作

的导函数称为的三阶导函数.

或

的导函数称为的n+1阶导函数.记作常记作例4.4.1求例4.4.2解Leibniz公式设都有n

阶导数,则证例4.4.3求解例4.4.4求满足的递推关系.已知解

时,从而有即所以例4.4.5设函数由确定,求解所以例4.4.6设函数由确定,求解所以例4.4.7考虑函数取何值时,连续?可导？有连续的导函数?解时,不存在,只需考虑函数在x=0的性态.函数不连续.时,函数连续.时,不存在,函数不可导.时,函数可导.时,时,不存在,

在不连续.时,时,

在连续.4.5微分思考如下问题:对于函数当自变量在x0处有一微小增量Δx时,能否找到Δx的某个线性函数其中a是不依赖Δx的常数,来近似函数值的变化？定义4.5.1设函数在点的某邻域内有定义,Δx是自变量在x0处的增量,常数a称为微分系数(differentialcoefficient).使得则称在点可微(differentiable).称为在点x0的微分(differential),若存在一个与Δx无关的常数a,(**)记作定理4.5.1

函数在点可微的充分必要条件证明假设在点可微,其中a

是在点的微分系数,令有,必要性.充分性.假设在点可导,由极限的性质知即这就说明并且式有由(**)则在点x0可导.是在点x0可微,注1

此定理说明对于一元函数可微与可导是等价的.注2

在点微分的几何意义:x0为在点的注3

若f(x)在某点可微,则在该点一定连续.例4.5.1利用微分求的近似值.解切线上的增量.取由微分与增量的关系可得:用MATLAB计算的更精确结果:并且微分系数等于反之不然!例4.5.2当Δx分别为1,0.1和0.01时,分别求函数在点x=1的Δy和dy.

x3x2x0.010.11ΔxΔy/dyf(x)1/10.1/0.10.01/0.013/20.21/0.20.0201/0.027/30.331/0.30.030301/0.03轻松一下！千万别打瞌睡呦！定理4.5.2(四则运算的微分)设是可微函数,(1)(2)(3)若证明下面仅证明(2)和(3).(2)(3)定理4.5.3(复合函数的微分)设均可微,证明根据微分的定义及复合函数求导法则(*)复合函数的微分公式与将u看作自变量时微分公式在形式上一样