数学三真题-2010年考研

数学三试题分析、详解和评注考研数学专家曹显兵、教授解若lim11aex=1,a (B) (C) (D) 【答案 x 1(1ax)e 1e 【详解】

(a)

lim lim( aex0

所以a=2 因此应选

limex0

+a=1+a原题见《经典讲义》微积分部分的例题 以及强化班第一讲中的例题设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y+p(x)y=q(x)的两个特解.若常数,y1y2是该方程的解 y1y2是对应的齐次方程的解,1,1 (B)1,1 2,1 2,2 【答案(A【详解y1y2是方程y+p(xy=0的解,(y1y2)+p(x)(y1y2)即因为q(x[y1+p(x)y1][y2+p(x)y2]=0()q(x)=0,又y1y2是非齐次y+p(x)y=q(x)的解故(y1+y2)+p(x)(y1+y2)=q(x)即[y1+p(x)y1][y2+p(x)y2]=q(x)因为q(x(+)q(x)=q(x)+=1解 1,1 【评注】此题属反问题，题目构造较新原题见《经典讲义》微积分部分的第八章解的性质和解的结构设函数f g(x)具有二阶导数,且满足等g(x)小于零,g(x0)=a是g(x)的极值,f(g(x))在x0取极大值的(一个充分)f (B)f(a)>0 f(a)<0 (D)f(a)<0 【答案【详解[f(g(x))]fg(xg[f(g(x))]={[f(g(x))]g(x)}=f(g(x))[g(x)]2+f(g(x))g(x)由g(x0ag(x)的极gx0)=0.于是 fg(x)|xx0,fg(x)|xxfg(x0)g(x0)fag(x0 要使[f(g(x0))]<0 只要f(a)>0因此应选【评注】本题主要考查导数的应用原题见《经典讲义》微积分部分的第三章定理3.8、x设f(x)=ln10xg(xxh(x)=e10,则当xg(x)<h(x)<f(x) h(x)<g(x)<f(x) f(x)<g(x)<h(x) g(x)<f(x)<h(x) 【答案【分析】计算两两比的极

limex

【详解】因 x x

ln9x f

ln10

lnlim

lim10 10lim x ln8x

109 x 10 2limlnx10!lim10 x xxf(x)g(x)h(x【评注】(1)本题类似于无穷小阶的比较，实质上是无穷大阶的比较(2)x设向量组I12r可由向量组II:12s线性表示,若向量组I线性无关,则r (B)若向量组I线性相关,则r>(C)若向量组II线性无关,则r (D)若向量组II线性相关,则r> 【答案】应选(A)r(1,2,,r）r(1,2,,s)s而向量组Ir(12rrrs.选【评注】这是线性代数中的一个重要定理，对定理熟悉的考生可直接得正确答案原题见《经典讲义》线性代数部分的第三章§1中的推论设A4阶实对称矩阵,且A2+A=O,若A3,则A

(C)(D

(D)

【详解】设为A的特征值，由于A2+A=O2+0，得10.由于A为实对称矩阵，故A可相似对角化，即A~，r（A）=r（）=3，因此 A~=

D

【评注】(1)Ar（A）=A的非零特征值的个数(2)本题由 2+A=O即可得到A可对角化，因此题设条件A为实对称矩阵可去掉几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题5.30，5.39,以及强化班第一讲中的例8、冲刺辅导班讲义线性代数部分例题4. , ,设 量的分布函数F(x) 1ex

x0xx

【答案】

1 2

1e1 2【分析】本题考查如何利用分布函数来计算随量取值的概率.属基本题【详解】根据分布函数的性质,故选(C)

P{X=1}=P{X1}P{X<1}=F(1)F(10)=1e11=1e1 几乎原题见《经典讲义》概率统计部分的例题 以及强化班第二讲中的例设f1(x)为标准正态分布的概率密度 f(x)af1 x (a>0,b>0)为概率密度,abbf

x (A) a+b=1 【答案】【分析】本题考查连续型随量概率密度的性质，属基本题 【详解】由已知 f1(x)1

x2

f2(x)

1x 1=f(x)dxaf1(x)dx0 bf2(x)dx 22a+3b=4,选(A

f1(x)dxb04dx24b几乎原题见《经典讲义》概率统计部分的例题 以及强化班第二讲中的例题二、填空题：914小题，每小4分24分，请将答案指定位置上设可导函数y=y(x)由方

xyet2dt

xxsin2tdt确定,

dx【分析x0y0x求导，属基础题型 【详解】由xyet2dt xxsin2tdt，令x=0，得 等式两端对x求导 e(xy)2(1dy)xsin2tdtxsin2x x=0，y=0代入上式，得1dx|x00,dx|x0=几乎原题见《经典讲义》微积分部分习题精选二解答题的第21设位于曲线y (ex<+)下方,x轴上方 区域为G,则G绕x1x(1ln2旋转一周所得空间区域的体积 【答案24V y2dx dx d(ln【详解

x(1ln2 e1ln2

)==arctan

( 【评注】计算时须注意这是一个反常积设某商品的收益函数为R(P),1+P3,其中P为价格,且R(1)=1,则R(P.【答案

1(P3Pe 【分析】利用弹性的定义列方程，然后解此微分【详解】由弹性的定义

dRP1P3 dR1P2dPdP 两边积分 lnR=lnP+1P33R(1)=11(P3故应填Pe

C

3

1(P3RPe 【评注】此题考查弹性的定义及可分离变量微分方程的解法，属基本题型几乎原题见《经典讲义》微积分部分第九章的例题若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(1,0),则b 【答案【详解yx3ax2bx+1在整个实数区间上可导,y=3x2+2ax+b y=6x+2a 62a0 即a=3.又点(1,0)在曲线上,于01)331)2b(1)+1,得b=3故应填3设AB3阶矩阵,且|A|=3,|B|=2|A1+B|=2,则【分析】本题考查矩阵的运算、行列式的性质【详解】由 |A+B1|=|(AB+E=|A因此应填3【评注】也可以由|A||A1B||EAB||AB1||B|类似的问题见《经典讲义》线代部分的例题若X1,X2,,Xn为来自正态总体N(, 【答案2+

1 的简单随机样 n 的简单随机样 n【分析】本题考查重要统计量的数字特征，是一道非常基本的题1 【详解】ET= Xi) E(Xi) )=E(X)= 2+ (本题满分10分 limxx1)lnx11xx1ln x limxx lim1ln limln(xx x x ln【详解】limxx1)lnx

ex ln x(exlim1lnxxln x==e1【评注（1）

limlnxxexx1，本题是未定式00型 ln ln（2）xx1ex1 x(本题10分1y(xy3d,1yD

y=0及 22所围成22【分析】被积函数展开，利用二重积分【详解】，显然D关于x,且DD1∪D2,1y1yD1={(x,y)|0 2yx },D2={(x,y)|1y0, 21y1yD(xy)3D

(x33x2y3xy2y3D(x33xy2)dxdy(3x2yy3D 2(x33xy2dxdy+03x2y+y3关于y是奇函数D1y 1y20dy2 (x3xy)dx20(4219y42y21dy140 4 0

2 1y)x2)x22 【评注】二重积分的对称性的一直是考试的重要测试内容原题见《经典讲义》微积分部分第六章的6.14等,类似的问题见强化班第九讲中的5、8、9题.(本题10分求函数uxy+2yzx2y2z2=10【分析】本题为条件极值问题,【详解】F(xyzxy+2yz+(x2y2z Fxy2xFx2z2y

Fz2y2zx2y2z210 x=1,y5,z=2 或x=1,y5,z=55由u(1,5,2)u(1, 5,2) u(1,5,2) 5,2) 5555得所求最大值为 ,最小值为 55【评注】求多元函数的极值已连续几年考查，仍属基本题型原题《经典讲义微积分部分第五章的例 类似的问题见强化班第八讲中的例15题(本题10分比较1|lnt|[ln(1tndt与1tn|lnt|dt(n=1,2)的大小,说明理由0记un=1|lnt|[ln(1tn0

n(n=1,2,求极限limun【分析】对(I)比较被积函数的大小，对(II)用分部积分法计算积分1tn|lnt|dt0定理求极限【详解】(I)当0<t<1时 0<ln(1+t)<t,|lnt|[ln(1+t)]n<|lnt|tn

1|lnt|[ln(1t)]ndt

1tn|lnt

(n=1,2,)

1t

|lnt|dt

1t

lntdt

1[tn1lnt|11tn11 (n1)

tn1|1

n (n1)

010于是 0<un<(n1)2 (n=1,2,) 定理 0limun =0，故limun0 n(n (本题满分10分f(x)在闭区间[0,3]上连续,在开区间(0,3)内二阶可导,22f(0)=0f(x)dx=f(2)+f(0,2),f(f(0)(0,3),f()=0【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值【证明(I)f(x)在闭区间[0,2]上连续,由积分中值定理得，至少存在一点(0,2),20f(x)dt=f()2 2f(0)=2

f(x)dx， f()=f(0)即存在(0,2),f(f(Ⅱ) 2f(0)=f(2)+f(3)，

f(2)ff(0) 2f(x)在闭区间[2,3]上连续,[2,3],f()=f于是至少存在点1（0,）,2（）, f(1)=f(2)=0由f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内二阶可导,知f(x)在[1,2]上连续,在(12)可导用罗尔中值定理,至少存在一点(12(0,3),f()=0f(x在[ab]ax1x2 xnb,(i1, ,n)则存在[a,b]，使 f()f(x1)f(x2) f(xn)n原题见《经典讲义》微积分部分第三章的例 及强化班第五讲中的例(本题满分11分 1 a 设A 0,b1,已知线性方程组Ax=b存在2个不同解 1求a

a

【详解】(I)方法 A 1

1 1

1

a由线性方程组Ax=b存在2个不同解,得= a=22Axb2个不同的解,r(ArAb)<3,因此方程组的|A|1

0=(1)2(+1)=0得=1或1；而当=1时r(A)=1rAb)=2,此时，Axbr(ArA,b)得a23(2)当= a=23 2A 2

1 0

1 3

0 2 故方程组Ax=b的通解:x1k0 k为任意常数 2 0 几乎原题见《经典讲义》线性代数部分的例题 以及强化班第四讲中的例题(本题满分11分A

4 a

正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵 若Q的一列

1(1,2,1T,求4a 04a6.以及对应的特征值,然后由A可求出其另外两个线性无关的特征向量，于是最终求出Q.6 1【详解】记

12

6 16

2 1 4

得a= =2 A 0 0 |EA|

1

1

1

2

1=(+4)(2)(得A的特征值为1=2 2= 3=5，且对应于1=2的特征向量161 6

当24时

0

0

由(4EA)x0得对应于2=421,01T 当25时

5

0

0

0由(5EA)x0得对应于25的特征向量为3(1,1,1T将1,

2,

3单位化得：1

126 2126

(1,0,1)T

1313正交向量组.令 1 Q=(,,)

,则Q为正交矩阵，Q

13 13

2 2 3完全类似的问题见《经典讲义》线性代数部分的例题5.15，6.12, 例题10.(本题满11分设二维 量(X,Y)的概率密度为f(x,y)Ae2x22xyy2,<x<+,<y<+求常数AfY|X(x|y【详解】由联合概率密度的性质 1 f(x,y)dxdy